Меню

Закон био савара лапласа закон ампера взаимодействие параллельных токов



Магнитное поле постоянных токов. Магнитная индукция. Закон Био-Савара-Лапласа. Теоремы о магнитном потоке и о циркуляции магнитного поля. Закон Ампера. Сила Лоренца.

Источником магнитного поля являются движущиеся электрические заряды, т.е. электрические токи.

Электрический ток – всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток называют постоянным, если скорость их направленного движения не меняется со временем (сила и направление).

Сила и плотность тока.

Сила тока численно равна заряду, прошедшему через рассматриваемую поверхность за единицу времени (предел отношения Δq/Δt). I = dq/dt.

Вектор плотности j тока направлен по скорости упорядоченного движения положительных носителей тока и численно равен силе тока через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока. j = ΔI/ΔS.

Магнитное поле. Взаимодействие между проводниками, по которым течет электрический ток, осуществляется посредством магнитного поля. Если проводники неподвижны и токи в них постоянны, то со временем не меняются все характеристики порождаемого ими поля.

Элементарным источником магнитного поля б/м элемент проводника с током, который характеризуется вектором jdV, где dV – объем элемента, j – плотность тока в нем. Idl – элемент тока.

Вектор магнитной индукции. В каждой точке поля существует некоторое физически выделенное направление, которое замечательно тем, что:

Модуль силы dF пропорционален синусу угла α между этим направлением и направлением элемента тока: dF = BIdlsinα, где В – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств поля в точке расположения пробного элемента тока.

Направление силы dF связано с направлением элемента тока и физически выделенным направлением правилом правого винта.

Закон Ампера: dF = [Idl, B]. Вектор В не зависит ни от модуля, ни от направления пробного элемента тока и является характеристикой поля и называется магнитной индукцией. Закон Ампера выражает силу, действующую на элемент тока в магнитном поле через магнитную индукцию.

При ориентации элемента тока Idl перпендикулярно вектору В (α = π/2, sinα = 1) сила dF максимальна по модулю и равна dFmax = IdlB так, что В = dFmax/ Idl. отсюда следует, что модуль магнитной индукции численно равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока Idl = 1А∙м. [B] = 1 Тл.

Линии магнитной индукции не имеют начала и конца – они представляют собой как правило замкнутые линии, охватывающие электрические токи. Вихревое поле – это векторное поле, линии которого замкнуты. Постоянное магнитное поле – вихревое.

Принцип суперпозиции: магнитная индукция в каждой точке поля, порождаемого системой проводников с токами, равна сумме магнитных индукций, создавемый в этой точке отдельными частями системы. В = ∫dB.

Закон Био-Савара-Лапласа:

Теорема о потоке: поток магнитной индукции через любую замкнутую поверхность S равно 0.

Теорема о циркуляции: циркуляция магнитной индукции по любому контуру L пропорциональная алгебраической сумме сил токов, пересекающих поверхность S, ограниченную этим контуром.

Правило выбора знаков сил токов: токи, пересекающие поверхность под острым углом с нормалью к ней, берутся со знаком «+» (1, 3), под тупым углом – со знаком «-» (2).

Предполагается, что направление нормалей и направление обхода контура согласованы друг с другом правилом винта: если головку винта вращать в соответствие с принятым направлением обхода контура, то нормали следует направить в сторону поступательного движения винта.

Вид теорем о потоке и циркуляции определяет характер поведения линий магнитного поля.

Сила Лоренца – это сила, действующая на всякий заряд, движущийся в магнитном поле: f = q[v, B].

Сила Лоренца перпендикулярна как магнитной индукции В поля, так и скорости v движущегося заряда и имеет модуль f = qvBsinα, где α – угол между векторами скорости и магнитной индукции.

Сила Лоренца не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, поэтому при движении заряда в магнитном поле его кинетическая энергия остается постоянной, что следует их (1) факта перпендикулярности силы Лоренца скорости заряда и второго закона Ньютона (ускорение заряда, движущегося в магнитном поле, нормально траектории). (2) Работа силы Лоренца равна 0, поскольку будучи перпендикулярной скорости, сила Лоренца всегда перпенликулярна малым перемещениям: dl = vdt.

Источник

Физика / ЛЕКЦИИ_2-ой_семестр / 3_Магнитное поле / ЛК-№7-Законы_Био-Савара-Лапласа_Ампера

Тема 3. Магнитное поле.

1. Магнитное поле и его характеристики.

2. Закон Био — Савара — Лапласа.

3. Закон Ампера, взаимодействие параллельных токов.

1. Магнитное поле и его характеристики.

Магнитным полем называется силовое поле, возникающее в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты,

Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него провод­ники с током или постоянные магниты.

Название «магнитное поле» связывают с ориен­тацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом (1777—1851)).

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды.

Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.

При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле.

Ориентация контура в простран­стве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определя­ется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направ­лении тока, текущего в рамке (рисунок слева).

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом.

Этот результат использу­ется для выбора направления магнитного поля.

Определение 2.

За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положитель­ная нормаль к рамке (рисунок слева).

Примечание. За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на север­ный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующее на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачи­вающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.

Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля.

Магнитным моментом плоского контура с током называется физическая величина, равная где S — площадь поверхности контура (рамки), n — единичный вектор нормали к по­верхности рамки.

Примечание. Направление рm совпадает с направлением по­ложительной нормали.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение Мmaxm (Мmax — максимальный вращающий момент) для всех контуров будет одинаковым!

И, следовательно, данное отношение может служить характеристикой магнитного поля!

Магнитной индукцией магнитного поля называется физическая величина, равная отношению максимального вращающего момента, действующего на плоский контур с током, к магнитному моменту этого контура, то есть,

Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.

Примечание. Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнит­ным стрелкам.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми.

На рисунке слева изображены линии магнитной индукции полосового магнита; они выходят из северного полюса и входят в южный, но «замыкаются» на бесконечности!

Примечание. опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделить нельзя. Это означает, что, в отличие от электрических зарядов, свободные магнитные «заряды» не существуют!.

Поле в веществе.

Согласно предположению французского физика А. Ампера (1775—1836), в лю­бом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Эти микротоки создают свое маг­нитное поле. И если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах будут ориентироваться определенным образом, усиливая внешнее магнитное поле . макротока.

Читайте также:  Двигатель в электровозе постоянного или переменного тока

Вектор магнитной индукции В харак­теризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками.

Магнитное поле макротоков описывается, так называемым, вектором напряженности Н.

1.Силовой характеристикой магнитного поля в вакууме является вектор напряжённости магнитного поля – .

2.Силовой характеристикой магнитного поля в веществе является вектор индукции магнитного поля – .

3. Связь между напряжённостью и индукцие магнитного поля даётся, так называемым, материальным соотношением где — магнитная постоянная, — безразмерная величина — магнитная проницае­мость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Примечание. Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и магнитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е является вектор напряженности Н магнитного поля. Аналогом вектора электрического смещения D является вектор магнитной индукции В, так как векторы D и В зависят от свойств среды.

2. Закон Био — Савара — Лапласа.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж.Био (1774—1862) и Ф.Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке т.А (рисунок слева) индукцию поля dB, записывается в виде

(1)

где dl — вектор, совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку т.А поля.

Направление dB перпендикулярно плоскости векторов и , и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

Примечание.Это направление может быть найдено по «правилу правого винта». Направление враще­ния головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

где — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции.

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током в отдельности:

3. Закон Ампера, взаимодействие параллельных токов.

Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, французский физик Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

(1)

где d l—векторный элемент с током, В — вектор магнитной индукции.

Направление вектора силы взаимодействия – dF может быть найдено по определению векторного произведения векторов.

Примечание. Направление вектора dF может быть найдено по правилу левой руки. Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

(2)

где — угол между векторами dl и В.

Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2, расстояние между которыми равно R.

Согласно закону Ампера сила взаимодействия двух элементарных токов (элементов длины – dl) будет равна

(3)

Знак плюс в формуле (3) соответствует притяжению, минус – отталкиванию.

Собственно знак определяется взаимной ориентацией токов в проводниках,

Два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой, определяемой выражением (3).

Если токи имеют противоположные направления, то между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (3).

Примечание. Силовое взаимодействие параллельных токов используется в современных

обрабатывающих технологиях автомобильного производства («Ford

Motor Comp», США, «Volkswagen», Германия), а также в создании

оборудования для внешнего бесконтактного удаления вмятин в

автомобильных кузовах («Beulentechnik AG», Швейцария, Австралия).

Источник

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию воля dВ, записывается в вид

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dВ перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dВ, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dВ определяется выражением

где a — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля,как и для электрического, справедливпринцип суперпозиции:магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторнойсумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и H) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому провод бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника

Рис. 164Рис. 165

на расстояние R, векторы dВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (“к нам”). Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a(угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

Таккак угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

2. Магнитное поле в центрекругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложениемих модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Магнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле,прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию В:

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следуетправило левойруки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

Читайте также:  Простейшая цепь переменного тока схема

где a — угол между векторамиdI и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2; (направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора B1 задается правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равен

Направление силы dF1, с которой полеВ1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол a. между элементами тока I2 и вектором В1 прямой, равен

,

или, подставляя значение для В1, получим

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF1 с которой магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника с током I1, направлена в противоположную сторону и по модулю равна

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).

§ 112. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m=1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна

Для нахождения числового значения m воспользуемся определением ампера, согласно которому при I1=I2=1A и R=1 м =2·10 -7 Н/м. Подставив это значение в формулу (112.1), получим m=4p·10 -7 Н/А 2 =4p·10 -7 Гн/м, где генри (Гн) — единица индуктивности (см. § 126).

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде

Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины

прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Таккак m=4·10 -7 Н/А 2 , а в случае вакуума (m=1), согласно (109.3), В=mН, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля —ампер наметр (А/м): 1 А/м — напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p·10 -7 Тл.

§ 113. Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q, к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле

где a — угол междувекторами v и г.

Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:

Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при малых скоростях (váác) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Рис. 168

Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q. надо заменить на —Q. Скорость v — относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда.

Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Московского университета А. А. Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно движущихся зарядов было измерено академиком А. Ф. Иоффе, доказавшим эквивалентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и тока проводимости.

§ 114. Действие магнитного поля на движущийся заряд

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током (см. § 111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой

где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощьюправила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил векторВ, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q>0 направления I и v совпадают, дня Q 100МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены бетатроны на энергии 20—50 МэВ (выпускаются серийно).

§ 117. Эффект Холла

Эффект Холла* (1879) — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, перпендикулярное j (рис. 172). При данном направлении j скорость носителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца (см. § 114), которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность EB, этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где a ширина пластинки, Dj — поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I=jS= пеvS (S — площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п — концентрация электронов, v — средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле

(117.1) R=1/(еп) — постоянная Холла, зависящая от вещества. По измеренному значению постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей); 2) судить о природа проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому — наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках. Он применяется также для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла) и т. д.

§ 118. Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля (см. § 83) введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bl=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

Читайте также:  Если чайник бьет током

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,

Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направлен

Рис. 173

ного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиусом r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). О циркуляция вектора В равна

Согласно выражению (118.1), получим B·2pr=mI (в вакууме), откуда

Таким образом, исходяиз теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).

Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и . между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле являете потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется. вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном о значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.

§ 119. Магнитные поля соленоида и тороида

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым

На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточен целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямо тур АВСВА. как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру АВСDА, охватывающему все N витков, согласно (118.1), равна

Интеграл по АВСDА можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA:

Рис. 174

На участках АВ и СD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Вl==0. На участке вне соленоида B=0. На участке DА циркуляция вектора В равна В1 (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

(119.1)

Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био — Савара — Лапласа;

в результате получается та же формула (119.2).

Важное значение для практики имеет также магнитное полетороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 176). Магнитное поле,как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае,как следует из соображений симмет­рии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса г. Тогда, по теореме о циркуляции (118.1), откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и В·2pr=0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).

Источник

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ — магнитная постоянная; r,r — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Закон Био Савара Лапласа

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.

Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r от провода. Из рис. 1 видно, что

r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin 2 α.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ μ/4π) I R sinα sin 2 α dα /R 2 sin 2 α = (μ μ/4π) I sinα dα /R.

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от до π. Следовательно,

B = ∫ dB = (μμ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ μ/4π) 2I/R.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ 0 μ/4π) 2I/R,

где R кратчайшее расстояние от оси проводника.

Закон Био Савара Лапласа Закон Био Савара ЛапласаАналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

dB=(μ μ/4π) I/R 2 dl. Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ 0 μI/2R.

Источник