Меню

Вид магнитного поля кругового тока



Магнитное поле кругового тока

что линии магнитной индукции поля кругового тока не являются правильными окружностями , они замыкаются, обходя проводник, по которому идет ток. Направление линий магнитной индукции можно определить с помощью правила правого винта (правило буравчика): если головку винта вращать в направлении тока в проводнике, то поступательное движение острия винта покажет направление магнитной индукции в центре кругового тока.

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.

При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид.

где I ток в контуре гамма контур, по которому идет интегрирование r0 произвольная точка

Циркуляцией магнитного поля вдоль замкнутого контура l называется интеграл:

где — проекция вектора на направление касательной к линии контура в данной точке.

Соответствующий интеграл для электрического поля в электростатике, как мы знаем, равен нулю, что отражает свойство потенциальности электростатического поля:

Магнитное поле не являетсяпотенциальным, оно, как было показано выше, является соленоидальным. Поэтому следует ожидать, что циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого контура в общем случае отлична от нуля. Чтобы найти ее величину, выполним сначала некоторые вспомогательные действия.

Поле соленоида и тороидаСоленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на сердечник. Тороидможно рассматривать как длинный соленоид, свернутый в кольцо

внутри соленоида поле однородно, а вне соленоида не однородно и очень слабое (можно считать, равным нулю).

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, охватывающему все N витков, согласно (4.12) равна: .

Магнитное поле внутри тороида, так же, как в соленоиде, однородно, сосредоточено внутри; вне тороида магнитное поле, создаваемое круговыми токами тороида, равно нулю. Величина магнитного поля в тороиде определяется выражением причем длина тороида l берется по средней длине тороида (среднему диаметру).

где μ0 – постоянная величина, которую называют магнитной постоянной. Введение магнитной постоянной в СИ упрощает запись ряда формул. Ее численное значение равно

μ0 = 4π·10–7 H/A2 ≈ 1,26·10–6 H/A2.

Магни́тный пото́к — поток как интеграл вектора магнитной индукции через конечную поверхность . Определяется через интеграл по поверхности

Также магнитный поток можно рассчитать как скалярное произведение вектора магнитной индукции на вектор площади:

где α — угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости площади

В соответствии с теоремой Гаусса для магнитной индукции поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Или, в дифференциальной форме — дивергенция магнитного поля равна нулю:

Это означает, что в классической электродинамике невозможно существование магнитных зарядов, которые создавали бы магнитное поле подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле.

Источник

Магнитное поле прямого и кругового токов

Билет №9

1. Принцип относительности Галилея — всякое механическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

1. Система отсчета представляет собой совокупность системы координат для определения положения тела в пространстве и часов для определения времени.

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых сохраняет свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсировано. Системы отсчёта, в которых выполняется закон инерции, называют инерциальными системами отсчёта. Все другие системы отсчёта называются соответственно неинерциальными. Системы, которые вращаются или ускоряются, неинерциальные. Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчета равноправны; ход времени, масса, ускорение и сила в них записываются одинаково. Все ИСО эквивалентны с точки зрения механических явлений.

2. Магнитное поле — особый вид материи, передающий магнитные взаимодействия. Оно существует независимо от нас и нашего сознания. Оно непрерывно в пространстве.

Читайте также:  Расчет тока автомата по мощности калькулятор

Магнитное поле возникает в пространстве, окружающем проводники с током. Источниками магнитного поля являются также движущиеся электрические заряды (токи) и постоянные магниты.

Магнитное поле оказывает силовое действие только на движущиеся заряды (токи).

Силовые линии магнитного поля – воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлением вектора магнитной индукции в данной точке. Силовые линии всегда замкнуты, нигде не обрываются.

Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции. За положительное направление вектора принимается направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно ориентирующейся в магнитном поле.

Магнитное поле прямого и кругового токов

Магнитное поле прямого тока, т.е. тока текущего по прямому проводу бесконечной длины

— магнитное поле элемента тока ,dl – элемент длины провода

— проинтегрировав в этих пределах последнее выражение получим магнитное поле равное:

-магнитное поле прямого тока

от всех элементов тока будет образовываться конус векторов , результирующий вектор направлен вверх по осиZ. Сложим проекции векторов на осьZ, тогда каждая проекция имеет вид:

угол между и радиус вектором r равен .

Интегрируя по dl и учитывая , получим

— магнитное поле на оси кругового витка

Сила Лоренца — сила, действующая со стороны магнитного поля на отдельную движущуюся в нём заряженную частицу.

Где q — заряд частицы; V — скорость заряда; B — индукции магнитного поля; a — угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Циклотрон – циклический ускоритель заряженных частиц (протонов, ионов), в котором частицы двигаются в постоянном и однородном магнитном поле, а для их ускорения используется высокочастотное электрическое поле неизменной частоты. В 1930 году Э. Лоуренсом (США) был создан и первый циклический ускоритель – циклотрон на энергию протонов 1 МэВ (его диаметр был 25 см).

Источник

Вид магнитного поля кругового тока

Вы будете перенаправлены на Автор24

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($\mu$ — магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

где $d \vec l ⃗$ — вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $\vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $\vec r$ и $\vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Готовые работы на аналогичную тему

Величину вектора $\vec$ из выражения (1) найдем как:

где $ \alpha $– угол между векторами $\vec r$ и $\vec l$ .

Конкретное направление $\vec$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $\vec$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$\vec=\sum\limits_^N \vec_ \left( 3 \right). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

  1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
  2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
  3. Определить направление элементарного поля $\vec$ в избранной точке.
  4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

Из рис.1 мы видим:

  1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
  2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $\vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$L=2πR$ — длина окружности витка.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка — $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

$d\vec\times \vec=d\vec\times \vec+d\vec\times \vec(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $\vec$ не изменяется. Кроме этого вектор $\vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$\oint\limits_L \times \vec> =(\oint\limits_L )\times\vec> =0\, \left( 11 \right),$

так как ( $\oint\limits_L )=0.>$

Вычислим интеграл: $\oint\limits_L \times \vec.>$ Введем единичный вектор ($\vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$\oint\limits_L \times \vec=\oint\limits_L <\vecRdl=\vecR>> \oint\limits_L R> 2\pi R=2\pi R^<2>\vec\left( 12 \right)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

где при записи окончательного результата мы учли, что:

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

Если $z=\frac<2>\quad$ , подставим в (15), имеем:

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=\frac<2>)$, получаем:

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.

Источник

Магнитное поле кругового тока

Линии магнитной индукции поля кругового тока имеют вид, показанный на рисунке 70.1. Направление вектора с направлением тока I связано правилом правого винта: направление вращения винта совпадает с направлением тока, поступательное движение винта укажет направление вектора . Рассчитаем индукцию в точках, лежащих на оси кругового тока (рис. 70.2). Разделим мысленно контур на элементарные участки . Выделим участок в верхней части контура. Элемент тока создает в точке А, отстоящей от плоскости тока на расстоянии d, элементарную индукцию , численное значение которой определяется законом Био–Савара. Так как , то из формулы (68.2) находим:

Элемент тока, выделенный в нижней части контура симметрично первому, создает в точке А индукцию . Разложим векторы и на составляющие и . Составляющие компенсируют друг друга, а составляющие оказываются параллельными. Множество векторов , и т. д. полей, создаваемых одинаковыми элементами проводника , образуют в точке А конический веер, ось которого совпадает с осью кругового тока. Это позволяет сделать вывод, что вектор результирующего поля в точке А направлен вдоль оси. Поэтому можно суммировать проекции на ось кругового тока: . Из рисунка 70.2 находим:

Тогда из формул (70.1) и (70.2) получаем:

Для индукции поля кругового тока имеем:

Из рисунка (70.2) видно, что , поэтому

Для точки, находящейся в центре кругового тока, и для нее из формулы (70.4) находим:

Умножив числитель и знаменатель выражения (70.3) на число , находим:

называется магнитным моментом контура. Вектор перпендикулярен плоскости контура и связан с направлением тока в контуре правилом правого винта (буравчика) (рис. 70.3). Направление вектора совпадает с направлением положительной нормали к контуру. Единица магнитного момента – ампер-метр в квадрате ( ). Если контур составлен из N витков, то его магнитный момент . Из формул (70.8) и (70.9) получаем:

Выражение (70.8) аналогично формуле (26.5) для расчета напряженности электрического поля диполя. Но тогда следует ожидать аналогию поведения кругового тока в магнитном поле с поведением диполя в электрическом поле. Это означает, что магнитное поле должно определенным образом ориентировать круговой ток, создавая некоторый вращающий момент.

Полученные в этом параграфе результаты можно использовать для расчета магнитного поля катушки с током. Выделим малый участок катушки длиной , который ввиду малости можно рассматривать как круговой контур, сила тока в котором равна (рис. 70.4). Применяя формулу (70.4), вычислим индукцию поля, созданного на оси в точке А выбранным элементом катушки:

где R – радиус витка катушки.

Сила тока , где – число витков соленоида на участке ; I – сила тока в одном витке. Величину можно выразить через r, , с применением тригонометрических формул:

Тогда . Кроме того, .

Используя полученные результаты, формулу (70.9) приведем к виду, удобному для интегрирования:

Векторы полей, созданных различными участками катушки, направлены одинаково и совпадают с ее осью. Поэтому для определения модуля вектора индукции результирующего поля проинтегрируем выражение (70.10) по переменной в пределах от до :

Выполнив интегрирование, получим:

где и – углы, под которыми из точки наблюдения видны радиусы оснований катушки.

Если катушка длинная, то для точки А,находящейся в ее средней части, можно принять , и тогда, согласно формуле (70.11), индукция равна

Согласно формуле (70.12) индукция магнитного поля длинного соленоида пропорциональна числу ампер-витков , приходящихся на единицу длины катушки. В точке А, находящейся в центре одного из оснований такой катушки,

Если катушка с сердечником, то в выражении для магнитной индукции появится множитель, равный относительной магнитной проницаемости вещества сердечника.

Для получения сильных полей используют магнитные материалы с большой магнитной проницаемостью. К ним относятся ферромагнетики (железо, никель, кобальт), их сплавы и соединения.

Источник