Меню

Условие непрерывности для плотности тока



12. Электрический ток и условия его существования

Электрическим током проводимости называется упорядоченное движение свободных носителей зарядов в веществе или вакууме. электрический ток может быть обусловлен движением как положительно, так и отрицательно заряженных носителей. За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители.

Постоянный электрический ток – электрический ток, не изменяющийся со временем ни по силе, ни по направлению.

Упорядоченное движение свободных носителей зарядов возникает под действием сил электрического поля и характеризуется средней скоростью u. В то же самое время носители зарядов находятся в тепловом хаотическом движении со средней скоростью v.

При наличии электрического тока нарушается равновесное распределение зарядов в проводнике: поверхность проводника уже не является эквипотенциальной и силовые линии электрического поля не направлены перпендикулярно ей. Для движения зарядов необходимо, чтобы на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не равнялась нулю. Такое электрическое поле создается поверхностными зарядами, плотность которых изменяется по длине проводника (имеется градиент поверхностной плотности заряда). Внутри проводника поверхностными зарядами создается электрическое поле, силовые линии которого повторяют форму проводника.

Необходимыми условиями для существования постоянного тока являются:

– наличие свободных носителей зарядов, которые могли бы перемещаться на макроскопическое расстояние;

– наличие замкнутой проводящей цепи;

– наличие электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение электрических зарядов. Для того, чтобы ток был длительным, энергия поля должна все время пополняться, то есть, нужен источник электрической энергии.

4.2. Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности

Сила тока I скалярная величина, равная заряду, переносимому носителями в единицу времени через поперечное сечение проводника. Если за время dt переносится заряд dq, то по определению сила тока I равна

(4.1)

Электрический ток может быть распределен в пространстве неравномерно. Более детально можно описать распределение тока с помощью векторной величины – плотности тока . Модуль плотности тока равен отношению заряда, переносимого за единицу времени через поверхность, перпендикулярную к направлению движения носителей, к площади этой поверхности.

Выделим внутри проводника с током поверхность площадью dS (рис.4.1). За время dt эту поверхность пересечет заряд

,

где e – заряд электрона; n – концентрация электронов; u – средняя скорость упорядоченного движения;  – угол между нормалью к поверхности dS и направление движения носителей.

Тогда модуль плотности тока по определению равен

.

Направление вектора плотности тока совпадает с направлением вектора средней скорости упорядоченного движения носителей

. (4.2)

Сила тока dI через поверхность dS равна

,

а сила тока в проводнике находится интегрированием последнего выражения по всей поверхности сечения проводника:

. (4.3)

Линии, вдоль которых движутся носители зарядов в проводниках, называются линиями тока. Касательные к линиям тока совпадают с направлением вектора в точке касания.

Если внутри проводника с током мысленно выделить трубку, боковая поверхность которой образована линиями тока, то носители зарядов не будут пересекать боковую поверхность трубки и не будут ни выходить из трубки наружу, ни входить в трубку извне (рис. 4.2.).

Рассмотрим внутри проводника с током произвольную замкнутую поверхность S (рис. 4.3). Пусть jn – проекция вектора плотности тока на нормаль к элементу поверхности dS. Тогда величина положительного заряда, уходящего из объема, ограниченного поверхностью S, за единицу времени, равна убыли заряда в этом объеме:

. (4.4)

Последнее выражение называется уравнением непрерывности и представляет собой закон сохранения заряда. В случае постоянных токов распределение зарядов стационарно, т. е. = 0, так что уравнение непрерывности принимает вид:

. (4.5)

Воспользовавшись теоремой Гаусса, можем записать

.

Ввиду произвольности объема интегрирования V отсюда следует, что

Читайте также:  Как называется рыба которая бьет током где водятся

. (4.6)

Это уравнение является наиболее общим выражение того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии тока всегда замкнуты, либо уходят в бесконечность. Электрическое поле постоянных токов, как и поле электростатическое является потенциальным, вектор напряженности поля может быть выражен через градиент потенциала

.

Поскольку распределение зарядов в случае постоянных токов стационарно, то их поле должно быть тождественно с электростатическим полем соответственно распределенных неподвижных зарядов. То обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плотность зарядов каждой точке пространства остается постоянной.

Источник

Плотность тока, сила тока, уравнение непрерывности

Электрический ток – это упорядоченное движение зарядов – носителей тока.

Носители тока: в металлах – свободные электроны,

в электролитах – ионы обоих знаков,

в газах – электроны и ионы, в полупроводниках – электроны и дырки.

Будем пока что считать, что все носители одинаковы (электроны в металлах).

В отсутствие электрического поля носители участвуют только в тепловом движении и средний вектор их скорости равен нулю.

В электрическом поле появляется отличный от нуля вектор средней скорости электронов, направленный против поля (т.к. заряд носителей отрицательный). Эту скорость называют дрейфовой (или скоростью упорядоченного движения носителей). Обозначим ее .

Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением , называют линиями тока. Линии тока, проходящие через некоторый замкнутый контур, образуют трубку тока.

Плотность тока j – это заряд, переносимый за единицу времени через единицу площади нормального сечения трубки тока.

Пусть n – концентрация носителей, dS – площадь нормального (т.е. перпендикулярного линиям тока) сечения трубки тока. За время dt через эту площадку протечет заряд dq=env·dt·dS. Плотность тока

Плотность тока принято считать вектором, направленным в сторону вектора дрейфовой скорости положительно заряженных носителей или противоположно скорости отрицательных носителей, поэтому в металлах

Если нормаль сечения трубки тока образует угол с линиями тока, то .

Сила тока – это скалярная физическая величина, равная заряду, протекающему через произвольное сечение S проводника за единицу времени:

Единица измерения силы тока – Ампер – основная в СИ. Ее определение будет дано позже, при рассмотрении магнитного взаимодействия токов.

Источник

Условие непрерывности для плотности тока

Если через некоторую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, то говорят, что через эту поверхность течет электрический ток. Ток может протекать в твердых телах, в жидкостях и в газах. Для протекания тока необходимо наличие в данном теле (или в данной среде) заряженных частиц, которые могут перемещаться в пределах всего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могут быть электроны, ионы либо макроскопические частицы (например, заряженные пылинки, капельки), несущие избыточный заряд.

Направлением тока условились считать направление движения положительно заряженных частиц. Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, названы линиями тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока.

Плотность тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единицу поверхности, которая перпендикулярна к линиям тока. Пусть в единице объема содержится положительных носителей тока и отрицательных.

Алгебраическая величина зарядов носителей тока равна, соответственно, и . Если под действием поля носители тока приобретают средние скорости движения и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей тока, которые перенесут заряд . Аналогично отрицательные носители перенесут в противоположную сторону заряд . Таким образом, для плотности тока получается следующее выражение:

Читайте также:  Зажимы для сосков с током

.

Или в векторном виде вектор плотности тока j определяется следующим образом

.

Если в поперечном сечении проводника выделить бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную вектору плотности тока j, то заряд dq, проходящий через нее за время dt, равен

.

Сила тока в проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если заряд dq, проходящий через сечение проводника за время dt, то

.

Сила тока скалярная величина. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока

.

Размерность силы тока — ампер (А), единица измерения плотности тока — ампер на метр квадратный (). Если сила тока не меняется во времени, то ток, протекающий в проводнике, называют постоянным. Силу постоянного тока будем обозначать буквой I.

Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S (рис. 4.1). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем


В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме

.
Это соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд

,

получим . Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса — Остроградского), находим

.

Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие

,

которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности.

Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить равным нулю. Тогда , следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

1) Что называется силой тока, плотностью тока, каковы их единицы измерения
2) Покажите, что в однородном проводнике при протекании по нему постоянного тока объемная плотность зарядов равна нулю. Какие заряды создают поле внутри проводника.
3) Может ли стационарная плотность тока j в однородном изотропном проводнике выражаться формулой , где а — константа,а x, y — декартовы координаты

Источник

Плотность тока — что это такое и в чем измеряется

Проходя по длине проводникового элемента, электроток распределяется по его поверхности неравномерно. Плотность электрического тока характеризует распределение токовых зарядов по поперечному сечению проводящего материала.

Неравномерное распределение электротока по проводнику

Виды электротока, условия протекания

Частицы, несущие заряд, могут перемещаться в толще проводника беспорядочно или целенаправленно двигаться в определенном направлении. Во втором случае говорят о наличии электрического тока. Основная его характеристика – наличие вектора перемещения. Вектор токового движения идентичен направлению заряженных частиц.

Хаотичное и направленное перемещение заряженных частиц

Важно! Токовый ход может быть постоянным и переменным. В первом случае поток частиц перемещается четко в одном направлении по прямой, без колебаний и возмущений. Во втором – имеют место синусоидальные колебания с определенной частотой. Для трансформации (выпрямления) переменного электротока применяют специальные устройства. Вообще для существования константного тока требуется, чтобы с одного конца проводникового элемента все время имел место избыток отрицательно заряженных частиц, а со второго – дефицит. Также требуется сила, которая будет эти заряды перемещать.

Переменный ток, в противоположность постоянному, не требует соблюдения полярности. В отличие от постоянного, он имеет частоту – так называется количество смен направления перемещения частиц за единицу времени. В стандартной бытовой сети число таких смен равно 50 в секунду. Различные приборы, питающиеся от аккумуляторных элементов и батарей, а также бытовая техника, ноутбуки, стационарные компьютеры потребляют постоянный электроток. Сама батарея является генератором постоянного токового хода, но его можно инвертировать в переменный с помощью специальных устройств.

Читайте также:  Мощность тока холодильника в ваттах

Ток, вызываемый электрополем, принято называть током проводимости. Элементарные частицы, переносящие заряд, отличаются у разных типов проводниковых материалов. В случае металлических элементов это свободные электроны, у части полупроводниковых материалов – целенаправленно движущиеся ионы. В электролитах (в том числе применяемых в аккумуляторных батареях) ионы с плюсовым и минусовым зарядами движутся в разные стороны. Последнее характерно для всех проводников, представляющих собой жидкости.

В конвекционном электротоке электроны перемещаются под действием инерции. Еще одна разновидность тока – протекающий в вакуумных условиях (такое явление применяется в электронных лампочках). Основными характеристиками электротока являются сила и плотность тока.

Направленное перемещение электронов в проводнике

Плотность тока и мощность

Работа, которую электрополе совершает над источниками токового движения, может быть охарактеризована плотностью мощности (она равна энергии, деленной на произведение объема проводника и временного периода). Самый распространенный путь данной мощности – рассеивание во внешнее пространство в качестве тепловой энергии. Но некоторая ее доля может превращаться в механическую энергию (например, при работе электрического двигателя) или в разные типы излучения.

Закон Ома

Для токопроводящей среды, обладающей изотропными характеристиками, данный закон имеет следующий вид:

где j – плотность идущего электротока, Е – полевая напряженность в рассматриваемой точке (скалярная величина, как и предыдущая), а σ – удельная проводимость средового окружения.

Что касается работы электрополя для такой среды (w), то она может быть выражена следующими формулами:

w= E2* σ=j2/σ=p*j2 (p здесь – удельное сопротивление).

Выражение для работы в этом случае примет вид:

w=E* σ *E=j*p*j (E и j в данном случае – скалярные величины).

В матрице справа налево умножают столбчатый вектор на строчной и на матрицу. Тензорные величины р и σ генерируют релевантные им квадратичные формы.

Единица измерения плотности электротока

Для выражения плотностной величины применяется производная от единиц измерения токовой силы (Ампер) и площади поперечного разреза (квадратный метр), а также дольных и кратных указанным. Обычно плотность измеряется в амперах, разделенных на квадратный метр (А/м2). Вместо слова «плотность» иногда используют «насыщенность электрического тока».

Важно! Поскольку величина имеет направление, она относится к категории векторных (или скалярных). Этот вектор проходит вдоль оси электрического тока.

Формула вычисления

Рассматриваемая величина находится в обратной зависимости от размеров сечения (чем больше площадь, тем меньше плотность тока) и временного периода прохождения электрозаряда и в прямой – от величины этого заряда.

Это можно записать так:

j=Δq/ΔtΔS (q тут – элементарно малый заряд, t – бесконечно малый промежуток времени, а S – площадь сечения).

Так как токовая сила выражается как частное заряда и временного промежутка его прохода, формулу можно записать и так:

Формула плотности тока с опорой на параметры перемещающихся зарядов будет выглядеть так:

j=q*n*V (V тут – скорость, а n – концентрация электронных частиц).

4-вектор плотности тока

Данное обозначение из теории относительности призвано обобщать явление плотности на пространственно-временной континуум, оперирующий четырьмя измерениями. Такой четырехвектор включает в себя трехвекторное выражение токовой плотности (скалярной величины) и имеющей объем плотности электрического заряда. Использование четырехвектора дает возможность формулировать электродинамические уравнения ковариантным образом.

Рассматриваемая величина необходима для описания концентрации и равномерности распределения заряженных микрочастиц по проводниковому материалу, в котором существует та или иная форма электротока. При оперировании с выражениями, содержащими величину, нужно не забывать о ее скалярности.

Видео

Источник