Меню

Уравнение неразрывности для трубки тока жидкости



Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.

Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и1. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и2. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:

Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.

Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q1=Q2= const, делаем вывод:

Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:

Найдем отсюда скорость для выходного сечения:

Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.

Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?

Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u2 = u1 w1 / w2 равняться 4.

Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.

Источник

Линии и трубки тока. Неразрывность струи

date image2015-03-27
views image2221

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

5.1 Линии и трубки тока

Гидродинамика – раздел физики жидкости, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твёрдыми телами.

Существуют два метода описания движения жидкостей:

метод Лагранжа, который связан с описанием каждой частицы жидкости с помощью функций времени;

метод Эйлера, который связан с наблюдением отдельных точек пространства, заполненных жидкостью и фиксацией скорости прохождения через данные точки пространства отдельных частиц жидкости.

Состояние жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости . Совокупность этих векторов образуют поле вектора . Касательная, проведённая из точек начала векторов и совпадающая с вектором, называется линией тока (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Трубка тока с линиями тока

Количеством линий , проходящих через площадку , определяется густота линий тока. Будем считать, что густота линий тока пропорциональна величине скорости течения , т.е. там, где скорость течения жидкости больше, там больше густота линий тока. При условии течение называется установившемся или стационарным.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой тока.

Пусть через сечение течёт жидкость в течение времени . Тогда за время через данное сечение проходит объём жидкости равный . Если взять два разных сечения, имеющие площади и , будет наблюдаться следующее. Поскольку жидкость несжимаема и её плотность постоянна во всех точках, то в единицу времени через оба сечения пройдёт одинаковое количество жидкости по объёму, т.е.

Таким образом, для несжимаемой жидкости выполняется условие:

Выражение (5.2) является аналитической записью теоремы о неразрывности струи (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Прохождение жидкости через а) сечение за время ; б) разные сечения и

При изменении площади сечения частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. Если взять трубку тока, то данное ускорение вызвано только непостоянством давления вдоль оси трубки. Там где скорость частиц меньше, давление должно быть больше и наоборот.

5.2 Уравнение Бернулли

Жидкость, в которой нет внутреннего трения, называется идеальной.

Рассмотрим трубку тока, изображенную на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 – Трубка тока с разными поперечными сечениями

В силу неразрывности струи, заштрихованные объёмы и будут равны . Если выполняются условия и , то выражение для приращения энергии струи будет иметь вид:

Приращение энергии должно быть равно только работе, совершаемой силами давления, т.к. трение отсутствует. Силы давления на боковую поверхность направлены перпендикулярно струе, поэтому их работа равна нулю. Работа сил давления, приложенных к сечениям и , равна

Приравниваем правые части выражений (5.3) и (5.4) и, сокращая на , получаем

После преобразований получаем окончательный вид выражения:

Таким образом, в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

Выражение (5.6) является уравнением Бернулли.

Для горизонтальной линии тока, где выполняется условие , выражение (5.5) приобретает упрощённый вид

а уравнение Бернулли записывается:

Таким образом, давление оказывается меньше там, где выше скорость течения.

5.3 Истечение жидкости из отверстия

В случае истечения жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде (рисунок 5.4) уравнение Бернулли запишется в следующем виде:

В выражении (5.9) величина означает скорость истечения жидкости из отверстия.

Пусть высота жидкости над отверстием определяется как

Выразим скорость , получим формулу Торричелли:

Читайте также:  Как бить током от кроны

Рисунок 5.4 – Истечение жидкости из отверстия в широком открытом сосуде

Как показано на рисунке 5.5, струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде, уносит с собой за время импульс величиной

В выражении (5.11):

— – скорость истечения струи из отверстия;

Рисунок 5.5 – Реакция вытекающей струи

Тогда сила реакции вытекающей струи определяется по формуле:

На реакции вытекающей струи основано реактивное движение.

Источник

7. Уравнение неразрывности. Понятие линии и трубки тока

Кинематика занимается изучением движения жидкости без выяснения причин, которые его вызвали. Принципиально можно использовать два подхода к составлению картины течения. Первый из них был предложен Лагранжем, и в нем изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты , и . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т. е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц.

По методу Эйлера индивидуальное поведение отдельных частиц не принимается во внимание, а изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства x, y, z. Математически обычно задаются зависимости, связывающие три проекции скорости на прямоугольные оси координат (в необходимых случаях также давление и плотность) с пространственными координатами и временем.

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т. е.

Если это условие не соблюдается и параметры в точке меняются с течением времени: , движение называют неустановившимся.

В этих формулировках следует обратить внимание на то, что речь идет о параметрах в точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рисунке. В гидромеханике такие каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. Исходя из чисто интуитивных представлений, ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившимся движение в таком канале? Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени. Определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.

Уравнение неразрывности (или сплошности) выражает один из фундаментальных законов природы – закон сохранения массы применительно к жидкой среде.

Р ассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S. Выделим элемент поверхности dS. Пусть – орт внешней нормали, а – вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости – (знак «минус», т. к. направления и противоположны). Масса, проникающая в объем за единицу времени через всю поверхность:

С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом поскольку выделенный объем является постоянным, то изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как

либо с учетом того, что , можно записать

Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т. е.

Применяя преобразование Гаусса–Остроградского, получим

Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии

Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при его выводе не вводилось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движения сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости и газа.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При установившемся движении все производные по времени равны нулю, что следует из самого определения этого понятия, поэтому

Если движение установившееся и жидкость несжимаема, т. е. , то

Или в проекциях на декартовы оси координат

Определим физический смысл этого соотношения. Частные производные , , характеризуют скорость относительного удлинения жидкой частицы. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и y, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в это уравнение, должна быть отрицательна, т. к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю.

Следует отметить, что поле, в котором , носит название соленоидального.

Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке по направлению совпадают с касательными.

В векторной форме это условие может быть записано как , т. е. векторное произведение должно быть равно ну-лю. Это, как известно, может быть записано в виде определителя

Раскрывая определитель, получаем дифференциальное уравнение линии тока в виде

Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальное уравнение траектории:

Из сопоставления уравнений линий тока и траекторий следует, что в общем случае, т. е. при неустановившемся движении, линии тока и траектории не совпадают.

В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур и через все точки его периметра проведем линии тока.

Образованная таким образом поверхность носит название трубки либо поверхности тока. Ясно также, что поскольку контур намечался в пространстве, занятом движущейся жидкостью, то какая-то ее часть должна находиться и внутри поверхности тока.

Читайте также:  От ламината бьет током что делать

Под струйкой тока понимают жидкость, протекающую внутри трубки тока. Если вспомнить, что границами боковой поверхности трубки тока являются линии тока, т. е. линии, к которым векторы скоростей частиц жидкости касательны в любой данный момент времени, то ясно, что ни одна частица не может проникнуть извне в струйку либо, наоборот, выйти из нее через боковую поверхность, т. е. поверхность трубки тока непроницаема. Действительно, вектор скорости частицы, пытающейся, например, проникнуть в струйку извне, должен быть ориентирован к ее границе под каким-то углом, но на самой границе трубки тока он ориентирован по касательной, что следует из самого определения линии тока.

П оперечное сечение струйки тока мало, поэтому можно допустить, что в пределах сечения все частицы движутся с одинаковыми скоростями либо, что то же самое, эпюра скоростей в сечении представляет собой цилиндр для трехмерной струйки или прямоугольник – для двумерной.

На рисунке показаны эпюры для двух произвольно выбранных сечений плоской струйки. Заметим лишь, что равномерность распределения скоростей в сечении, т. е. движение с одной и той же скоростью всех находящихся в нем частиц, вовсе не означает, что в другом сечении эти скорости должны быть такими же, т. е. не обязательно, чтобы . Совокупность струек, заполняющих поперечное сечение канала конечных размеров, образует поток.

Важное свойство струйки тока, говорящее о том, что боковая поверхность непроницаема для частиц, по существу выражает закон сохранения секундной массы. Действительно, если через сечение 1–1 в единицу времени вошла масса , то за то же время через сечение 2–2 должна выйти масса , равная . Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени, называют элементарным массовым расходом и обозначают .

Легко убедиться в том, что

где dA – площадь поперечного сечения струйки.

Действительно, выражая параметры, входящие в это соотношение, через единицы физических величин, получаем .

Из сказанного выше следует, что

Это и есть уравнение неразрывности для струйки. Если жидкость несжимаема, т. е. , то и

При этом произведение udA выражает элементарный объемный расход dQ.

Запишем выражение для проекции ускорения жидкой частицы на какую-либо координатную ось, например, x. Имеем

Для нахождения этой величины следует учесть, что проекция скорости (как и две другие проекции) является функцией координат x, y, z, которые, в свою очередь, в общем случае зависят от времени t. Представим величину в виде полного дифференциала:

Разделим обе части на dt. Имея в виду, что , и , получим

Аналогичные соотношения можно записать и для двух других компонент.

Выражение носит название полной либо субстанциональной производной. Установим смысл величин, входящих в нее. Производная – проекция локального ускорения, которое характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространства. Локальное ускорение обусловлено нестационарностью процесса, из чего следует, что если движение стационарное (установившееся), то локальное ускорение отсутствует, т. е. . Три остальных члена – проекции конвективного ускорения, которое возникает при переходе частицы от одной точки пространства к другой, оно обусловлено неравномерностью скоростного поля, т. е. неравномерным распределением скоростей.

Источник

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

уравнение неразрывности

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

Читайте также:  Что такое плотность тока при хромировании

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

уравнение неразрывности

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 2 / 2 — m * υ 2 1 / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 2 / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 1 / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести AТ равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления АД , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

уравнение неразрывности

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

уравнение неразрывности

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

уравнение неразрывности

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Источник