Меню

У игрока есть 3 одинаковых кубика с буквами ток



Задачи с кубиками, содержащие буквы

Истинный педагог постарается сделать учение занимательным, но никогда не лишит его характера серьезного труда, требующего усилия воли.

Данная статья является продолжением цикла статей, посвященных различным заданиям с кубиками и изданный ранее (https://urok.1sept.ru).

Напомним, что задачи с использованием кубиковможно рассматривать как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математике.Они способствуют: развитию пространственного воображения; формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении; обучению логическим обоснованиям геометрических фактов; развитию конструкторских способностей, моделированию; развитию исследовательских навыков.

Рассмотрим ряд задач, где на гранях кубика или его вершинах нанесены буквы русского или латинского алфавита.

Задача № 1. Дано изображение кубика, на гранях которого проставлены буквы Б, В, Н (рис. 1 а). Расставьте на развертках этого кубика (рис. 56 б-г) буквы в соответствии с уже намеченными. Перерисуйте данные изображения, вырежьте их, расставьте на них буквы и проверьте свой ответ.

Задача № 2. Куб (рис. 3 а) перевернули без проскальзывания так, что он встал на окрашенную грань. Укажите новое положение точки А?

Задача № 3. Кубик с выделенными вершинами А и В (рис. 4а) насадили на ось, проходящую через середины противоположных граней, и повернули вокруг этой оси. Новое положение точки А отмечено на рисунке 4 б) с изображением того же кубика. Отметьте на втором рисунке новое положение точки В.

Задача № 4. На рис. 6а,б изображены куб и его развертка. Обозначьте на развертке точки, соответствующие вершинам куба А, В, С.

Задача № 5. На гранях непрозрачного кубика написаны буквы так, как показано на рис. 7а. Кубик подбросили, и он упал так, что одна из букв стала располагаться, как показано на рис. 7б. Нанесите на остальные грани кубика соответствующие буквы (они могут оказаться повернутыми). Проверьте свой ответ с помощью модели куба.

Задача № 6. Подбросили кубик (рис. 8а) так, что он упал, как показано на рис. 8б заполните пустые видимые грани куба.

Задача № 7. Все кубики на рис. 9а одинаковы. Перечертите развертку одного из кубиков (рис. 9б) и нанесите не нее недостающие буквы.

Задача № 8. Правильно изобразив сдвинутые между собой три прямоугольные проекции кубиков с буквами, прочтите русскую народную мудрость (рис. 10а).
Ответ.Леность – мать пороков (рис. 10б).

Задача № 9. Какие фигуры являются разверткой куба (рис. 11), а какие нет? Объясните. По каким ребрам нужно разрезать куб (рис. 11д), чтобы получить развертки?

Ответ. Фигура а) (рис. 11) не является разверткой куба, поскольку если одну из граней считать за нижнюю грань (рис. 12 а), то, отметив боковые грани (б), убедимся, что их пять, а не четыре.

Фигура г) (рис. 11) разверткой куба не является, так как у куба в каждой вершине должно сходиться три ребра, в то время как у фигуры б) (рис. 12) в точке А это требование нарушается.
Для случая б) (рис. 12) предложенная фигура является разверткой куба. Выберем нижнюю грань (закрашенная) как на рис. 13 а), остальные будут боковыми (б), одна – верхняя (в). Такой куб можно разрезать по выделенным ребрам ВА, МА, МК, KD, MN, NP и РС так, как показано на рис. 13 б). Это одно из возможных решений.

Если в фигуре б) (рис. 11) принять за нижнюю другую грань куба, как показано на рис. 14 а), то разрез по ребрам будет другим: АМ, MN, NP, NB, KP, BC, CD (рис. 14 б).

На рис. 11 разверткой куба является фигура в). Получение такой развертки изображено на рис 15 а).
Тогда данный куб можно разрезать по ребрам, составляющим ломанную CDAMKPNB (рис. 15 б).

Задача № 10. Из картона склеен кубик, на гранях которого нанесены буквы. На рис. 16а дан один вариант развертки этого кубика с изображением букв на его гранях.

Нанесите буквы на пустые грани другого варианта развертки этого кубика (рис. 16б-г).

Задача № 11. Если вы догадаетесь, как расположить буквы на кубиках (на передних гранях), то буквы на верхних гранях составят новое слово (рис. 18).
Ответ.KITTEN – MONKEY.

Задача № 12. По каким ребрам можно разрезать куб (рис. 19 а), чтобы получить изображенную на рис. 19 б развертку?

Источник

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации.

Всем добрый вечер, сегодня поговорим о том, какие очки на костях наиболее вероятны. Запасайтесь чайками и печеньем, погнали!

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Итак, как известно, есть настольные игры, где требуется выбрать количество очков, которые выпадут на костях в сумме. Пример такой игры — мачекора (как-то так). Там вероятность вашей победы зависит от того, как часто сумма очков на кубиках совпадет с указанным вами числом.

У кубика 6 граней

Читайте также:  Цепи вторичной коммутации трансформатора тока

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

из-за чего вероятность того, что выпадет каждая грань — это 1/6. И если от нас требуют сделать ставку на кол-во очков на одном кубике — это неважно, они (вероятности) все одинаковы. Однако существует миф, что в случае двух кубиков числа от 2 до 12 выпадают также с равной вероятностью. Это не так.

Почему же? А давайте сначала помоделируем, а потом докажем.

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Эта страшная таблица — вероятности выпадения каждого из количеств очков на кубике. Как видим, вероятность 2 и 12 ничтожно мала, когда как 7 выпадет с вероятностью более 16%. Иначе говоря, в случае двух кубиков ставьте на 7!

Почему же это так? Докажем. Допустим каждый из двух кубиков вы кинули по 6 раз, и вам всегда выпадали разные числа (в среднем так и будет — ведь вероятности равные). Давайте найдем сумму для каждого очка броска.

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Как видим, очень много раз выпала семерка, а вот 12 получается только в одном случае. Доказать это можно так:

12 — 6 + 6 (одна комбинация, P = 1/36)

11 — 5 + 6 или 6 + 5 (две, P = 1/18)

10 — 5 + 5 или 4 + 5 или 5 + 4 (три, P = 1/12)

9 — 5 + 4 или 6 + 3 или тоже самое зеркально

8 — 6 + 2 или 5 + 3 или 4 + 4 . или 2 + 6

7 — 6 + 1 или 5 + 2 . или 1 + 6

Как видим, комбинаций получить разные суммы — разные, откуда при равном распределении вероятностей для одного кубика будут разные вероятности получить разные суммы.

Ну и напоследок для 3-5 костей:

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Игральные кости и математика. Наиболее вероятные комбинации. Теория вероятностей, Вероятность, Кубики, Игральные кости, Длиннопост

Что интересно, для 5 вероятность выпадения 5 и 30 очень маленькая. Ведь для того, чтобы выпало 5 — нужно чтобы 5 подряд кубиков дали 1. То есть 1/6 * 1/6 * 1/6. или 1/7776.

Вывод: если хотите самую вероятную комбинацию — ставьте на серединную сумму (для двух костей это будет 7, для 3 10 или 11 и т. д.).

Источник

ПОЯСНЕНИЕ К 2 ПОСЛЕДНИМ ЗАДАНИЯМ.

Добавить в слово одну букву, У или А

Удвоить количество букв У

Удвоить количество букв А

Игра завершается в тот момент, когда длина слова становится не менее 25 символов. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший слово длиной 25 или больше.

Задание 1. Для каждой из начальных позиций (4, 10), (6, 9), (7, 8) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

Задание 2. Для каждой из начальных позиций (4, 9), (6, 8), (7, 7) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

Задание 3. Для начальной позиции (6, 7) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной выигрышной стратегии.

4) Два игрока, Петя и Ваня по очереди стирают буквы из слова или фразы. Первым ходит Петя. За один ход разрешается стереть или ровно одну букву, или все одинаковые буквы. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву.

Задание 1. Укажите все слова из списка ниже, начиная с которых выигрывает Петя.

КУ РАК АРА КУКУ ЛОООМ ОКОРОК КАРАТ МЕМО КЕТЕКЕ НАНАЦА ПРОРОК

МОЛОКО РАПИРА АНКАРА АРАРАТ

Задание 2. Укажите все слова из представленных, начиная с которых Ваня не может гарантированно выиграть своим первым ходом, но может выиграть либо своим первым или вторым ходом, в зависимости от хода Пети. Для всех выбранных слов укажите его выигрышную стратегию.

Задание 3. Дана фраза: ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА. Кто выиграет в этой игре, и какой будет выигрышная стратегия этого игрока?

5) Два игрока, Петя и Ваня по очереди стирают буквы из слова или фразы. Первым ходит Петя. За один ход разрешается стереть или ровно одну букву, или все одинаковые буквы. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву.

Задание 1. Укажите все слова из списка ниже, начиная с которых выигрывает Петя.

АЗ МАК ЛОЛА ЛАЛА КРЯКРЯ КОМОН ТРРР ТОРОС ЛОЛОЛО ФЫЫЫФ СЕЛЕН ЛЕТЕЛ

ТРААРА ГАГАРА ШАШШАШ

Задание 2. Укажите все слова из представленных, начиная с которых Ваня не может гарантированно выиграть своим первым ходом, но может выиграть либо своим первым или вторым ходом, в зависимости от хода Пети. Для всех выбранных слов укажите его выигрышную стратегию.

Задание 3. Дана фраза: МАТЕМАТИКА И АВТОМАТИКА. Кто выиграет в этой игре, и какой будет выигрышная стратегия этого игрока?

ПОЯСНЕНИЕ К 2 ПОСЛЕДНИМ ЗАДАНИЯМ.

P-06.Два игрока,Петя и Ваня по очереди стирают буквы из слова или фразы. Первым ходит Петя. За один ход разрешается стереть или ровно одну букву, или все одинаковые буквы. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву.

Задание 1. Укажите все слова из списка ниже, начиная с которых выигрывает Петя.

ДА, АГА, СТО, МАМА, СССР, ОГОГО, ТАРТАР, ТОРТ, РОКОКО, РЕННЕР, АВАТАР, КАРАКУРТ, КАСКАД, АНАТАНА, НЯННЯН, НАГАН.

Задание 2. Укажите все слова из представленных, начиная с которых Ваня не может гарантированно выиграть своим первым ходом, но может выиграть либо своим первым или вторым ходом, в зависимости от хода Пети. Для всех выбранных слов укажите его выигрышную стратегию.

Задание 3. Дана фраза: ИНФОРМАТИКА ЭТО НАУКА. Кто выиграет в этой игре, и какой будет выигрышная стратегия этого игрока?

Читайте также:  Таблица токов по сечению медного проводника

1) Разберём задачу в общем виде. Когда в слове (фразе) не осталось ни одной буквы, по условию эта позиция – проигрышная. Тогда позиция, в которой осталась одна буква или только одинаковые буквы – выигрышная.

2) Сначала для простоты предположим, что все буквы в заданной фразе разные. Если их чётное число, то их можно разбить на две группы равного размера. Например, для слова КУРА можно использовать такую разбивку: КУ-РА. Теперь, когда Петя вычеркивает какую-то букву (например, У), Ване нужно вычеркнуть одну букву в другой половине (например, А) для того, чтобы восстановить симметрию. Таким образом, на каком-то шаге Ваня получит пустую строку и выиграет. Поэтому

Любая симметричная позиция – проигрышная (выигрышная для соперника).

3) Если начальная позиция несимметричная, Петя может своим первым ходом сделать её симметричной и Ваня оказывается в проигрышной позиции. Выигрышная стратегия Пети состоит в том, чтобы на каждом шаге восстанавливать симметрию.

Любая позиция, из которой можно одним ходом получить симметричную позицию – выигрышная.

В общем случае при правильной игре выиграет тот, кто первым построит симметричную позицию.

4) Если в слове есть парные буквы, ситуация несколько осложняется. Одинаковые буквы нужно при разбиении располагать в одной и той же половине. Например, слово КАА представляет собой несимметричную (выигрышную) позицию, так как, убрав одну букву А, получаем симметричную позицию К-А. Слово МАМА – это симметричная (проигрышная) позиция ММ-АА, поэтому при правильной игре выиграет Ваня.

5)Рассмотрим ещё один вариант, когда одна буква встречается 3 раза, а вторая – один, например, АААБ. Если Петя стёр все буквы А или одну букву Б, Ваня стирает все оставшиеся буквы и сразу выигрывает. Если Петя стёр одну букву А, Ваня должен стереть ещё одну букву А и получает симметричную (проигрышную для Пети) позицию А-Б. Поэтому позиция АААБ – проигрышная. Будем также называть её симметричной.

6) Рассмотрим ещё один вариант, когда одна буква встречается 4 раза, а вторая – два, например, ААААББ. Если Петя стёр все буквы одной группы (все А или все Б), Ваня стирает все буквы второй группы и сразу выигрывает. Если Петя стёр одну букву А, Ваня должен стереть ещё одну букву А и получает симметричную (проигрышную для Пети) позицию АА-ББ.
Если Петя стер одну букву Б, Ваня стирает одну букву А, получая позицию АААБ, в которой он выиграет в любом случае (см. предыдущий пункт). Поэтому позиция ААААББ – проигрышная. Будем также называть её симметричной.

7) Рассмотрим слова, приведённые в задании.

ДА ® Д-А – симметричная (проигрышная для Пети) позиция, выиграет Ваня своим первым ходом.

АГА – убрав одну букву А, Петя получает (проигрышную для Вани) симметричную позицию А-Г; выиграет Петя своим вторым ходом;

СТО – убрав любую букву, Петя получает симметричную (проигрышную для Вани) позицию и выиграет своим вторым ходом;

МАМА ® ММ-АА – симметричная проигрышная позиция, выиграет Ваня своим первым или ходом;

СССР ® симметричная (проигрышная для Пети) позиция (см. п. 5), поэтому Петя проиграет, а Ваня выиграет своим первым или вторым ходом;

ОГОГО – убрав одну букву О, Петя получает симметричную позицию ОО-ГГ и выиграет своим вторым ходом или третьим ходом;

ТАРТАР – убрав любую пару одинаковых букв, Петя получает симметричную позицию (например, ТТ-АА) и выигрывает своим вторым или третьим ходом;

ТОРТ – убрав две буквы Т, Петя получает симметричную позицию О-Р и выигрывает своим вторым ходом;

РОКОКО – убрав две буквы К, Петя получаем проигрышную (для Вани) позицию ООО-Р (см. п. 5) и выигрывает;

РЕННЕР – убрав любую пару одинаковых букв, Петя получает симметричную позицию (например, ЕЕ-НН) и выигрывает своим вторым или третьим ходом;

АВАТАР – все возможные ходы ведут в выигрышные позиции ААВТР, ВТР, ААВР, ААТР или АААВТ (каждую из них можно свести одним ходом к симметричной позиции); это проигрышная позиция, выиграет Ваня;

КАРАКУРТ – убрав любую пару букв, Петя получает симметричную (проигрышную для Вани) позицию (например, УКК-РРТ) и выигрывает своим третьим или четвертым ходом;

КАСКАД – симметричная (проигрышная) позиция СКК-ААД, выиграет Ваня своим вторым или третьим ходом;

АНАТАНА – убрав одну букву Т, Петя получает симметричную (проигрышную для Вани) позицию ААААНН (см. п. 6) и выигрывает;

НЯННЯН – симметричная (проигрышная для Пети) позиция ННННЯЯ (см. п. 6), выиграет Ваня;

НАГАН – убрав букву Г, Петя получает симметричную (проигрышную для Вани) позицию НН-АА и выигрывает своим вторым или третьим ходом.

8) Таким образом, ответы на первые два вопроса следующие:

1. Петя выигрывает, если игра начинается со слов

АГА, СТО, ОГОГО, ТАРТАР, ТОРТ, РОКОКО, РЕННЕР, КАРАКУРТ, АНАТАНА, НАГАН.

2. Если игра начинается со слов МАМА или СССР, выигрывает Ваня своим первым или вторым ходом в зависимости от ходов Пети; во всех случаях Ваня должен восстанавливать симметрию позиции.

Читайте также:  Время релаксации тока при замыкании цепи это

9) Теперь рассмотрим фразу ИНФОРМАТИКА ЭТО НАУКА. Расставим буквы с учётом повторений: (АААА ИИ) (КК НН ОО ТТ) (МРУФЭ). В первой скобке позиция симметричная (см. п. 6), во второй – тоже симметричная, а в третьей – несимметричная. Поэтому вся позиция несимметричная, то есть выигрышная. Убрав любую одиночную букву из последней скобки Петя может свести игру к симметричной (проигрышной для Вани) позиции.

10) Таким образом,

3. Если игра начинается с фразы ИНФОРМАТИКА ЭТО НАУКА, выигрывает Петя. Сначала ему нужно стереть одну из букв, которая встречается только один раз, а затем своими ходами поддерживать симметрию позиции.

Источник

У игрока есть 3 одинаковых кубика с буквами ток

Задача 48:

Сколько ожерелий можно составить из 5 одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?

Решение:

Задача 49:

а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить 4 человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете ?

Решение:

а) ; б) 30 • 29 • 28 • 27 = 657720.

Задача 50:

Сколько можно составить шестибуквенных слов (слово – это произвольная последовательность букв), содержащих хотя бы один раз букву А, если можно использовать все 33 буквы алфавита?

Решение:

Перейдите к дополнению. Ответ: 33 6 – 32 6 = 217726145.

Задача 51:

Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?

Решение:

Задача 52:

Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,

а) если каждая цифра может встречаться только один раз?;

б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

Решение:

Переберите возможные варианты двух последних цифр. а) 2 • 2 + 2 = 6; б) 2 • 2 • 4² = 64.

Задача 53:

У отца 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней он выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение:

Задача 54:

Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?

Решение:

Задача 55:

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

Решение:

На каждом месте каждая из цифр встречается 4² = 16 раз. Ответ: 17760.

Задача 56:

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

Решение:

Число 6 представляется в виде суммы четырех натуральных слагаемых двумя способами: 6 = 1 + 1 + 1 + 3, 6 = 1 + 1 + 2 + 2. Ответ: .

Задача 57:

Сколькими способами можно разложить 3 рублевых купюры и 10 полтинников в 4 различных пакета?

Решение:

Задача 58:

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Решение:

10 + 9² + 9³ + 9 4 + 9 5 + 9 6 = 597871.

Задача 59:

Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой половине было по 2 туза?

Решение:

Задача 60:

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1 × 30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.

а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?

б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за 7 ходов?

Решение:

а) Она может побывать или не побывать на каждом из 28 некрайних полей. Ответ: 2 28 . б) Надо представить число 29 в виде суммы 7 натуральных слагаемых (порядок важен!). Ответ: . (61) .

Задача 61:

На каждом борту лодки должно сидеть по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

Решение:

Задача 62:

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами (p,q).

Решение:

Каждый прямоугольник однозначно определяется своим левым нижним и правым верхним углами. Ответ: pq(n – p + 1)(m – q + 1).

Задача 63:

Имеется куб размером 10 × 10 × 10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причем так, чтобы расстояние до точки О увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Решение:

Из условия задачи следует, что кузнечик должен совершить всего 27 прыжков – по 9 в каждом направлении. Обозначим направления буквами A, B и C. Каждый путь однозначно определяется последовательностью длины 27, в которой буквы A, B и C встречаются по 9 раз. Ответ: 27!/(9!)³.

Источник