Меню

Ток смещения плоской конденсатора



9.2. Ток смещения

Дж.К. Максвелл (рис. 9.2) был первым, кто задался вопросом о модификации четвертого утверждения. Никаких экспериментальных фактов, к этому подводящих, в то время известно не было. Из четвертого утверждения следует, что токи, порождающие вихревое магнитное поле, должны быть замкнутыми, они нигде не могут прерываться. Действительно, на один и тот же контур L можно натянуть множество поверхностей S. Пусть, скажем, мы выберем две из них — S1 и S2. Так как левая часть (9.4) для них одинакова, то будут равны и правые части. Это значит, что весь ток, вошедший через S1, должен выйти через поверхность S2. Так с обычными токами и происходит. Но бывают нестационарные случаи, когда в каких-то точках меняется плотность электрического заряда. Линии тока будут кончаться в этих местах, что противоречит (9.4).

Рис. 9.2. Дж.К. Максвелл (1831–1879) — английский физик и математик

Чтобы проиллюстрировать подобные случаи, рассмотрим уже знакомый процесс разрядки конденсатора. Пусть имеются две пластины с зарядами +q и –q. Пока цепь разомкнута, равные и разноименные заряды создают в пространстве между пластинами постоянное электрическое поле. Ток по проводам не идет, и вокруг цепи нет магнитного поля (рис. 9.3-1).

Рис. 9.3. Токи смещения в конденсаторе: 1 — начальное состояние конденсатора, 2 — изменение поля в процессе разрядки. Производная напряженности электрического поля по времени направлена в ту же сторону, что и вектор плотности тока, и равна ему по величине

При разрядке конденсатора через проводник, соединяющий пластины, потечет ток от Р к N (рис. 9.3-2). Уменьшение заряда на пластине на величину dq означает, что это же количество электричества протечет по проводу, подсоединенному к пластине (закон сохранения заряда).

Рис. 9.4. Обкладки конденсатора отмечены синим. Поверхность S2 состоит из плоской поверхности, параллельной обкладкам конденсатора и боковой цилиндрической поверхности

которое мы хотели бы проверить на непротиворечивость.

Интегрируем его по поверхности S1 (рис. 9.4). Получаем

Из этого равенства обычно получают величину магнитного поля B для бесконечно длинного проводника. Напомним, что поверхность, по которой ведется интегрирование, может иметь любую форму, при условии, что она опирается на контур G. Воспользуемся этим и интегрируем это же уравнение (9.8) по поверхности S2. Получаем

Здесь краевыми эффектами пренебреженно, Интеграл по боковой (цилиндрической) поверхности равен нулю, если выбрать радиус цилиндра достаточно большим. Выражения (9.9) и (9.10) противоречат друг другу. Значит, уравнение (9.8) неверно и его надо изменить. Простейший путь — добавить в правую часть уравнения (9.8) неизвестный вектор, который мы обозначим как

Найдем неизвестный вектор , полагая, что он не равен нулю лишь между обкладками конденсатора. Для этого интегрируем отдельно по поверхностям S1 и S2 и приравниваем результаты. Интеграл по S1 вычислен в (9.9), а интеграл по S2 есть

— вместе с (9.8a) получили уравнение Максвелла

Источник

Ток смещения плоской конденсатора

Мы знаем, что постоянный ток в цепи с конденсатором не течет, переменный — протекает. Сила квазистационарного тока во всех элементах цепи, если они соединяются последовательно, одинакова. В конденсаторе, обкладки которого разделяет диэлектрик, ток проводимости, вызванный перемещением электронов, идти не может. Значит, если ток переменный (присутствует переменное электрическое поле), происходит некоторый процесс, который замыкает ток проводимости без переноса заряда между обкладками конденсатора. Этот процесс называют током смещения.

Любое переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Исследуя разные электромагнитные процессы, Максвелл сделал вывод о том, что существует обратное явление: изменение электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля. Это одно из основных утверждений в теории Максвелла.

Готовые работы на аналогичную тему

Так как магнитное поле — обязательный признак любого тока, Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения. Ток смещения следует отличать от тока проводимости, который вызван движением заряженных частиц (электронов и ионов). Токи смещения появляются только в том случае, если электрическое смещение ($\overrightarrow$) переменно. Объемная плотность тока смещения определяется как:

Именно вследствие этого физическое содержание предположения Максвелла о токах смещения сводится к утверждению о том, что переменные электрические поля — источники переменных магнитных полей.

Следует заметить, что плотность тока смещения определена производной вектора $\overrightarrow$, а не самим вектором.

Ток смещения в диэлектрике

По определению вектора электрической индукции ($\overrightarrow$):

где $<\varepsilon >_0$ — электрическая постоянная, $\overrightarrow$ — вектор напряженность, $\overrightarrow

$ — вектор поляризации. Следовательно, ток смещения можно записать как:

где величина $\frac<\partial \overrightarrow

><\partial t>$ — плотность тока поляризации. Токи поляризации — токи, которые вызваны движением связанных зарядов, которые принципиально не отличаются от свободных зарядов. Поэтому нет ни чего странного, что токи поляризации порождают магнитное поле. Принципиальная новизна содержится в утверждении, что вторая часть тока смещения ($<\varepsilon >_0\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$), не связанная с движением зарядов, также порождает магнитное поле. Получается, что в вакууме, любое изменение электрического поля по времени вызывает магнитное поле.

Однако, надо заметить, что сам термин «ток смещения» для диэлектриков имеет какое-то обоснование, так как в них действительно происходит смещение зарядов в атомах и молекулах. Но этот термин применяется и к вакууму, где зарядов нет, значит, нет их смещения.

Читайте также:  Напишите формулу энергии магнитного поля тока

Полный ток

В том случае, если в проводнике течет переменный ток, то внутри него имеется переменное электрическое поле. Значит, в проводнике существует ток проводимости ($j$) и ток смещения. Магнитное поле проводника определено суммой вышеназванных токов, то есть полным током ($\overrightarrow$):

В зависимости от электропроводности вещества, частоты переменного тока, слагаемые в выражении (4), играют разную роль. В веществах с хорошей проводимостью (например, металлах) и при низких частотах переменного тока плотность тока смещения невелика, тогда как ток проводимости существенен. В таком случае, током смещения пренебрегают, в сравнении с током проводимости. В веществах с высоким сопротивлением (изоляторах) и при больших частотах тока ведущую роль играет ток смещения.

Оба слагаемых в выражении (4) могут иметь одинаковые знаки и противоположные. Следовательно, полный ток может быть и больше и меньше тока проводимости, может даже быть равен нулю.

Значит, в общем случае переменных токов магнитное поле определяется полным током. Если контур разомкнут, то на концах проводника обрывается только ток проводимости. В диэлектрике между концами проводника присутствует ток смещения, который замыкает ток проводимости. Получается, что если под электрическим током понимать полный ток, то в природе все токи замкнуты.

Задание: Плоский конденсатор заряжен и отключен от источника заряда. Он медленно разряжается объемными токами проводимости, которые появляются между обкладками, так как присутствует небольшая электрическая проводимость. Чему равна напряжённость магнитного поля внутри конденсатора? Считать, что краевых эффектов в конденсаторе нет.

Решение:

Допустим, что поверхностная плотность заряда на обкладках равна $\sigma \ и-\sigma .$ В таком случае, модуль вектора электрического смещения ($D$) для плоского конденсатора равен:

Ток смещения можно найти как:

Подставив вместо $D$ правую часть выражения (1.1), имеем:

В соответствии с законом сохранения заряда, можно записать, что:

Полный ток равен:

Для нашего плоского конденсатора, учитывая полученные выражения (1.3), (1.4), имеем:

Ответ: Магнитное поле в конденсаторе равно нулю.

Задание: Допустим, что неограниченную однородную проводящую среду поместили в металлический шар, имеющий заряд $Q$. В этой среде возникнут электрические токи, которые потекут в радиальных направлениях. Покажите, что данная ситуация требует введения тока смещения при описании возникающих полей.

Решение:

Электрические токи, которые текут от (или к ) шару, возбуждают магнитное поле. Определим направление вектора магнитной индукции этого магнитного поля.

Вектор $\overrightarrow$ не имеет радиальной составляющей. Система обдает сферической симметрией. Если бы радиальная составляющая вектора индукции имелась, то она была бы одинаковой для всех точек сферы $S$ (рис.1), концентрической с поверхностью шара, имела направление от центра шара или к его центру. В обоих случаях поток вектора индукции через сферу $S$ был бы не равен нулю, что противоречит уравнению из системы Максвелла:

Значит, вектор индукции магнитного поля должен быть перпендикулярен к радиусу, который проведен из центра шара к рассматриваемой точке. Это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные к радиусу, равноправны. Единственная возможность, которая не противоречит симметрии шара, заключается в том, что векторы $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ всюду равны нулю. Следовательно, равна нулю плотность тока проводимости $\overrightarrow,\ $ что противоречит уравнению:

Для устранения полученного противоречия следует предположить, что магнитные поля порождаются не только токами проводимости. Добавим к току проводимости ток смещения ($I_$), который в нашем случае будет уничтожать возбуждаемое магнитное поле. Его величина определяется из условия:

Ток проводимости, который течет от заряженного шара можно выразить как:

Из выражения (2.3) следует, что:

В соответствии с законом Кулона заряженного проводящего шара, имеем:

\[Q=4\pi r^2D\ \left(2.6\right).\]

Найдем производную по времени от заряда, получим:

Плотность тока смещения при этом будет равна:

Полученное выражение совпадает с определением плотности тока смещения.

Источник

Ток смещения

date image2014-02-02
views image2300

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно сущест­вовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вы­зывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электриче­ским полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 61). Между обкладками заряжающего конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полем . По Максвеллу, переменное электриче­ское поле конденсатора в каждый момент времени создает такое магнитное по­ле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток проводимо­сти, равный току в проводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (Ісм) равны: Ісм=І. Ток проводимости вблизи об­кладок конденсатора

(поверхностная плотность заряда а на обкладках равна электрическому смеще­нию D в конденсаторе). Подынтегральное выражение в (5.3) можно рассматривать как частый случай скалярного произведения , когда и взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно записать

Сравнивая это выражение с І = Ісм = имеем

Читайте также:  Массаж для головы током

Выражение (5.4) и было названо Максвеллом плотностью тока смещения.

Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводи­мости и токов смещения. При зарядке конденсатора (рис. 61) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой, поле в конденсаторе усиливается, вектор растет со временем. Следовательно, , те.

вектор направлен в ту же сторону, что и .

На рисунке видно, что направления векторов и совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 61, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой, поле в конденсаторе ослабляется, вектор убывает со временем, Следовательно , т.е. вектор направлен противоположно вектору . Однако вектор направлен опять так же, как и вектор . Из разнообразных примеров следует, что направление вектора , а следовательно, и вектора см совпадает с направлением вектора , как это и следует из формулы (5.4).

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле.

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как, согласно , где — напряженность электростатического поля, а — поляризованность, то плотность тока смещения

где — плотность тока смещения в вакууме, — плотность тока поляризации — тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот дипо­лей в полярных молекулах)

Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, т.к. токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока смещения ( ), не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени, также возбуждает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени элек­трического поля приводит к возникновению в окружающем пространстве маг­нитного поля

Следует отметить, что название (ток смещения) является условным, а точ­нее — исторически сложившимся, т.к. ток смещения по своей сути — это из­меняющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому сущест­вует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по кото­рым течет переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежительно мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально советским физиком А.А.Эйхенвальдом, изучавшим магнит­ное поле тока поляризации, которое, как следует из (5.5), является частью тока смещения

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока

Введя понятие тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т.е. на конце проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н ( ), введя в ее

правую часть полный ток сквозь поверхность S, натянутую на

замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

Выражение (5.6) справедливо всегда, свидетельством чего является полное соответствие теории и опыта.

Источник

Ток смещения

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Закон полного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.

Лекция 10. Основные положения электромагнитной теории Максвелла.

Закон электромагнитной индукции Фарадея или свидетельствует о том, что изменение магнитного поля приводит к появлению сторонних сил в проводнике, действующих на носители тока. Как показывает пример с проводником, поступательно движущимся в магнитном поле, эти сторонние силы аналогичны силам, действующим на электрические заряды со стороны электрического поля. Поле этих сил является вихревым, поэтому его называют вихревым электрическим полем.

Первая гипотеза Максвелла состоит в том, что появление вихревого электрического поля из-за меняющегося во времени магнитного поля в некоторой области пространства не зависит от наличия в этой области проводника или носителей тока. При этом электрическое поле в любой области пространства является суперпозицией электростатического (кулоновского) поля (с напряжённостью ), создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического поля (с напряжённостью ), создаваемого переменным магнитным полем. Напряженность суммарного электрического поля . Найдем дивергенцию суммарного электрического поля. Т.к. и , то .

Из и следует равенство:

Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид: .

Применим к обеим частям дивергенцию: . Левая часть равна нулю: , но правая (уравнение непрерывности электрического заряда).

Откуда следует , т.е. объемная плотность заряда не зависит от времени. Следовательно, равенство применимо для случая, когда . В этом случае векторное поле плотности тока является вихревым, поэтому линии тока замкнутые. Рассмотрим теорему о циркуляции вектора напряженности вокруг замкнутого проводника, в котором течёт постоянный ток .

Г
S3
S2
S1
S4
H
H
I

Линии тока в этом случае замкнутые, поэтому если взять несколько поверхностей S1, S2, S3, S4 имеющих вид мешков, общим горлом которых является контур Г, то должно выполняться равенство:

т.к. сила тока в любом сечении проводника одинаковая.

Г
S3
S2
S1
S4
H
H
I
C

Теперь поместим в цепь конденсатор С. Пусть по цепи протекает постоянный ток. Поверхность S3 проведём таким образом, чтобы она охватывала одну из обкладок конденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проводимости, то

Читайте также:  В случае поражения электрическим током пострадавшего в первую очередь необходимо

Но расположение конденсатора можно поменять так, чтобы одна его обкладка находилась внутри поверхности не S3, а например, S2. Тогда получим равенства и

Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающему участок цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора. Чтобы снять это противоречие Максвелл выдвинул гипотезу о том, что наряду с током проводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле. Плотность тока смещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещения:.

Плотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плотности тока смещения: .

Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрического заряда и теорему Гаусса для вектора электрического смещения :

Таким образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е. является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.

Рассмотрим случай, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток, тогда , откуда

Т.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепи с течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи . Поэтому нет тока смещения и .

Если цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости. Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е. обкладки имеют стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости . Из уравнения непрерывности для тока следует, что источниками (и стоками) электрического тока в цепи являются меняющиеся электрические заряды на обкладках. Но, в то же самое время, изменение электрического заряда на обкладках служит стоком и источником тока смещения в пространстве между обкладками:

Т.е. из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное поле электрического смещения в пространстве между обкладками будет меняться во времени, что приведёт к появлению тока смещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтому между обкладками конденсатора .

Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока проводимости через ориентированную поверхность: , то, аналогично, можно определить и силу тока смещения (с учётом знака) через ориентированную поверхность: .

Если поверхность S неподвижная, то

Закон полного тока: сила полного тока равна сумме тока проводимости и тока смещения.

Вывод. Если в теореме о циркуляции для напряжённости магнитного поля заменить ток проводимости на полный ток, то противоречие будет снято:

Или, в интегральной форме:

циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром. Ориентации контура и поверхности согласованы правилом правого винта (буравчика). Эти соотношения часто называют законом полного тока.

Эти соотношения свидетельствуют о том, что магнитное поле может порождаться переменным во времени электрическим полем.

Пример. Найдем циркуляцию вектора напряжённости магнитного поля в пространстве между обкладками плоского конденсатора, включённого в цепь с постоянным током.

Пусть сила тока в цепи равна I. Конденсатор плоский, обкладки – круги радиусом R. Расстояние между обкладками d много меньше R (в этом случае электрическое поле между пластинами в каждый момент времени приближённо можно считать однородным). Ток в цепи постоянный, поэтому заряды «положительной» и «отрицательной» обкладок линейно зависят от времени: .

I
I
+q
q
H
H
D
Dt
Г

Пусть — единичный вектор нормали к пластине с положительным зарядом. Между обкладками вектор электрического смещения направлен перпендикулярно пластинам: (от положительно заряжённой к отрицательно заряженной). Нормальная составляющая вектора электрического смещения равна длине вектора . С другой стороны, внутри плоского конденсатора ( — поверхностная плотность стороннего заряда, — площадь обкладки конденсатора), поэтому . Найдём производную от вектора по времени:

Но , поэтому и вектор тоже направлен перпендикулярно пластинам. Пусть в рассматриваемом случае заряд положительной пластины увеличивается, тогда и векторы и направлены одинаково.

Поле между пластинами обладает осевой симметрией, поэтому найдём циркуляцию по контуру Г, который является окружностью в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, с центром на оси симметрии. Пусть радиус окружности равен r.

Контур ограничивает плоский круг S, на котором можно ввести ориентацию (вектор ), совпадающую по направлению с направлением вектора электрического смещения . Поток этого векторного поля через поверхность круга равен . Поэтому сила тока смещения

Силовые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, центры окружностей находятся на этой оси. Поэтому выбранный контур Г совпадает с какой-то силовой линией. Тогда вектор напряжённости магнитного поля направлен по касательной к Г и его величина зависит только от радиуса окружности r. Ориентацию на Г выберем согласованной c направлением векторного поля . Так как в рассматриваемом случае векторы и направлены одинаково, то направления касательных векторов и совпадают, поэтому .

Ток проводимости между обкладками конденсатора отсутствует (I=0), поэтому

Тогда , откуда . В частности, при r = R получаем — такое же значение, как если бы между обкладками конденсатора протекал ток проводимости силой I

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector