Меню

Ряд фурье для токов



Портал ТОЭ

5.1 Разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье

На практике обычно кривые ЭДС, тока, напряжения и др. отличаются от синусоидальных по следующим причинам:

  1. в генераторах распределение магнитной индукции вдоль зазора несинусоидально из-за неточной обработки поверхностей ротора и статора;
  2. цепи содержат нелинейные элементы, которые даже при синусоидальных ЭДС создают несинусоидальные токи;
  3. используются несинусоидальные генераторы сигналов.

Основной метод расчёта таких цепей — метод наложения, когда несинусоидальная величина раскладывается на синусоидальные составляющие, а затем используются известные методы расчёта.

Особенность периодической функции в том, что её значения повторяются через период T : F ( t ) = F ( t + T ) .

Пример периодической функции, имеющей разрывы непрерывности I рода, приведён на рис. 5.1 существуют конечные пределы функции при приближении к точке разрыва как справа, при t > t 1 , так и слева при t 1 .

Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число разрывов I рода и конечное число экстремумов), может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда — ряда Фурье.

Сумма членов этого ряда совпадает со значением F ( t ) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва даёт среднее арифметическое левого и правого предельных значений F ( t ) , т.е. [ F ( t 1 − 0) + F ( t 1 + 0)] .

(5.1)

где A – постоянная составляющая; k – номер гармоники; Ψ k – начальная фаза k -ой гармоники; ω – основная угловая частота.

Частота ω k 1 в k раз, а период T k 1 в k раз.

На рис. 5.2 показан пример несинусоидальной кривой тока, состоящей из первой и второй грамоник.

Иначе ряд Фурье можно записать в виде

где A ′ mk = A mk cos Ψ k ; A mk = ;
A ′′ mk = A mk sin Ψ k ; Ψ k = arctg .

Амплитуды гармоник определяются по формулам

(5.3)

Хотя в ряду Фурье бесконечное число слагаемых, на практике достаточно максимум девяти.

Периодические несинусоидальные функции можно разбить на две группы.

1. Разложение кривых геометрически правильной формы приводится в справочниках. На рис. 5.3 показан импульсный сигнал, разложение которого представляется в виде

Разложение однополупериодного сигнала, представленного на рис. 5.4 , содержит следующие составляющие:

На рис. 5.5 показан двухполупериодный сигнал, разложение которого имеет вид

2. Разложение кривых сложной формы производится графо-аналитически

При определении коэффициентов гармоник определённый интеграл заменяется суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции T разбивают на n равных частей: Δ t = .

Тогда где F k ( t ) – значение функции F ( t ) при t = ( k − 0 , 5)Δ t , т.е. в середине k -го интервала.

где sin k ( kωt ) и cos k ( kωt ) – значения функций синуса и косинуса при t = ( k − 0 , 5)Δ t .

Обычно n = 18 � 24 .

Если начало отчёта сдвинуто, то изменяются начальные фазы составляющих ряда Фурье. При смещении начала отчёта на t где Ψ ′ k = Ψ k − kωt .

Периодические несинусоидальные симметричные функции обладают следующими свойствами.

1. Симметрия относительно оси ординат показана на примере кривой на рис. 5.6 . F ( t ) = F ( − t ) – чётная функция.

В этом случае отсутствуют синусные составляющие.

2. Симметрия относительно начала координат показана на примере кривой на рис. 5.7 . − F ( t ) = F ( − t ) – нечётная функция.

В кривой отсутствует постоянная составляющая и косинусные составляющие.

3. Симметрия относительно оси абсцисс показана на примере кривой, изображённой на рис. 5.8 . F ( t ) = − F ( t + T∕ 2) .

В кривой отсутствует постоянная составляющая и чётные гармоники.

Источник

Ряд фурье для токов

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

Читайте также:  Как найти максимальное значение электрического тока

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Читайте также:  Принцип действия асинхронных электродвигателей трехфазного тока

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник

Представление периодических несинусоидальных величин рядами Фурье

Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений.

Периодическими несинусоидальными токами и напряжени­ями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Они возникают при четырех различных режимах работы элект­рических цепей (и при сочетаниях этих режимов):

1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные — линейны, т. е. от тока не зависят;

2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;

3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов;

4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидаль­ную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.

В данной теме рассматриваются методика расчета и особенно­сти работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС и токов — первый из перечисленных режи­мов работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждают­ся в других темах.

Представление периодических несинусоидальных величин рядами Фурье.

Из курса математики известно, что любую периодическую функцию f(х) с периодом 2π, удовлетворяющую ус­ловиям Дирихле, можно разложить в ряд Фурье.

Переменная величина х связана со временем t соотношением

где Т — период функции во времени.

Таким образом, период функции по х равен 2π, а период той же функции по времени равен Т.

Ряд Фурье записывают так:

где Аo — постоянная составляющая; А’1 амплитуда синусной (изменяющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; A»1,—амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; A’2 — амплитуда синусной составляющей второй гармоники и т. д.

то ряд Фурье (7.1) можно записать в другой форме:

где Ak — амплитуда k-гармоники ряда Фурье.

Гармоники, для которых k — нечетное число, называют нечет­ными; для которых k — четное число, — четными.

Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией.

На рис. 1 и 2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис. 1, а удов­летворяет условию — f(х+π)=f(х).

Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симмет­ричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 1, а сместить по оси х на полпериода и зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадает с кривой f(х).

При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют посто­янная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффи­циенты Ao = А’2 = А»2 = А’4 = А»4 = . =0.

Поэтому кривые типа кривой рис. 1,а раскладывают в ряд

Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию —f (x+π) = f (x), например –sin(x+π) = sin x.

Кривая, подобная кривой рис. 1, б, обладает симметрией отно­сительно оси ординат и удовлетворяет условию —f (—х) = f (х).

Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить относительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кри­вой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные (А’1 = А’2 = А’3 = . =0) состав­ляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная состав­ляющие.

Таким образом, кривые типа кривой рис. 1,б можно разложить в ряд

Кривые типа кривой рис. 2 удовлетворяют условию —f (—x) = f (х), их называют кривыми, симметричными относитель­но начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:

О разложении вряд Фурье кривых геометрически правиль­ной и неправильной форм.

Встречающиеся в электротехнике пери­одические кривые можно подразделить на две группы: 1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано в справочниках; 2) кривые произвольной (гео­метрически неправильной) формы; чаще всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графически (гра­фоаналитически).

Дата добавления: 2015-11-18 ; просмотров: 3462 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Рядов Фурье

date image2014-01-25
views image3307

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Тема 8.1 Изображение несинусоидальных токов и .напряжений с помощью

Рядов Фурье

РАЗДЕЛ8 Изображение несинусоидальных токов и .напряжений с помощью

Ранее были рассмотрены электромагнитные процессы в электрических цепях, питаемых синусоидальными или постоянными напряжениями. В этих цепях R, L,- и С-элементы являлись линейными и поэтому не оказывали влияния на формы кривых тока и напряжения. Однако на практике часто встречаются электрические цепи, в которых возникают несинусоидальные токи и напряжения, что обусловлено следующими причинами:

несовершенство источников электрической энергии постоянной и синусоидальной ЭДС; подключение линейных электрических цепей к источникам электрической энергии, в которых создается ЭДС специальной формы (например, к генераторам с пилообразной или прямоугольной формой напряжения); наличие в электрических цепях различного рода нелинейных элементов (например, выпрямителей). Для анализа цепей, питаемых несинусоидальным напряжением, можно использовать те же методы, что и для цепей синусоидального напряжения, при условии, что периодически изменяющаяся несинусоидальная функция напряжения будет представлена в виде ряда синусоидальных функций — ряда Фурье.

Пусть задана некоторая периодически изменяющаяся несинусоидальная функция F(t). Она может быть представлена рядом Фурье в следующем виде:

Ряд состоит из постоянной составляющей А и синусоид с амплитудами (коэффициентами ряда) А1m, А2m, . Аkm. . Аnm, …, возрастающими частотами ω, 2 ω , . k ω, . n ω , . начальными фазами ψ1, ψ2. . ψn, . Эти синусоиды называются гармоническими составляющими ряда или просто гармониками. Первая из них имеет период, равный периоду несинусоидальной величины, и называется основной гармоникой, остальные — высшими гармониками.

В справочной литературе даны ряды Фурье периодических несинусоидальных функций, которые наиболее часто встречаются в электротехнике и электронике, например (рис. 5.1):

Случаи симметрии периодических несинусоидальных сигналов позволяют упростить выражения для рядов Фурье. Различают два основных вида симметрии периодических сигналов: относительно оси ординат и относительно начала координат.

В случае симметрии относительно оси ординат периодическая функция четная.

В этом случае ряд Фурье косинусоидальный.

В случае симметрии относительно начала координат периодическая функция нечетная

В этом случае ряд Фурье синусоидальный. В нем отсутствуют постоянная составляющая сигнала А = 0

Пример. Найти первую и третью гармоники функции f(х), изображенной на рис. Значения ординат функции за первый полупериод при разбивке периода на n = 24 части следующие:

р. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fp(x) … 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10 5

Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А0 = 0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.

1. Жаворонков М.А., Кузин А.В. Электротехника и электроника. Москва,

2. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. Москва, Высшая школа, 2003

3. Петленко Б.И. Электротехника и электроника. Москва,

4. Шихин А.Я. Электротехника. Москва, Высшая школа, 2001

5. Берикашвили В.Ш., Черепанов А.К. Электронная техника. Москва,

6. Трофимова Т.И., Курс физики. Москва, Высшая школа, 2003

7. Евдокимов.Ф.Е., Теоретические основы электротехники. Москва.

Источник