Меню

Решить систему уравнений относительно токов



Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях

Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Для электрической цепи, изображенной на (рис.1.1), выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Рисунок 1.1 Исходная схема

Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях

Произвольно задаемся направлением токов в ветвях цепи I1 , I2 , I3 , I4 , I5 , I6.

Рисунок 1.2 Схема цепи для составления уравнений по законам Кирхгофа

Составляем систему уравнений (в системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей). В нашей цепи шесть ветвей, значит, в системе будет шесть уравнений. Сначала составляем уравнение по первому закону Кирхгофа. В цепи с n узлами будет (n-1) уравнений, в нашей цепи четыре узла, значит, будет три уравнения. Составляем три уравнения, для трех произвольных узлов.

Теперь составляем недостающие три уравнения для трех независимых контуров. Чтобы они были независимыми, надо в каждый контур включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущую.

Задаемся обходам каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур CD- обход против часовой стрелки

Контур AB- обход против часовой стрелки

Контур ACDB- обход против часовой стрелки

ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает — знак «-«.

Падения напряжения на сопротивления контура, берется со знаком «+», если направления тока в нем совпадает с обходом контура со знаком «-«, если не совпадает.

Мы получили систему из шести уравнений с шестью неизвестными:

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком «-«, значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов

Рисунок 1.3 Схема цепи для вычисления методом контурных токов

В заданной цепи можно рассмотреть три контура-ячейки и вести для них контурные токи I11 , I22 , I33 .

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

Стрелками указываем выбранные направления контурных токов I11 , I22 , I33 в контурах-ячейках (направление обхода контуров принимаем таким же);

Составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Подставляем численное значение ЭДС и сопротивлений:

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Δ и частные определители Δ1 , Δ2 , Δ3.

Источник

Составление системы уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа. Нахождение токов, используя метод контурных токов

Страницы работы

Содержание работы

Контрольная работа №1.

Дана схема электрической цепи

Везде в контрольной работе единицы измерения ЭДС и напряжения – В, сопротивления – Ом, проводимости – См, сопротивление вольтметра принимается равным бесконечности. Расчеты производятся в математическом пакете MathCad.

1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа.

Произвольно покажем направления токов во всех ветвях:

Составим 3 уравнения по 1 закону Кирхгофа (всего n=4 узла)

Всего ветвей: m=6, значит составим m-(n-1)=3 недостающих уравнения по 2 закону Кирхгофа. Обход контуров выберем по часовой стрелке.

С помощью (1) и (2) можно найти решения для всех токов цепи.

2) Найти все токи, пользуясь методом контурных токов.

Направление обхода контурных токов внутри существующих ячеек обозначено на рис.1.

Для каждого контура-ячейки составим уравнение по второму закону Кирхгофа

(Iк – контурные токи)

Решая данную систему, находим контурные токи:

Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Токи во внешних ветвях схемы равны контурным.

По знаку видно, что I6 должен быть направлен в другую сторону (в дальнейших расчетах I6>0)

3) Предварительно упростив схему, заменив треугольник сопротивлений R4, R5, R6 эквивалентной схемой, начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи. Проверить правильность решения предыдущего пункта, применив метод узлового напряжения.

Полученная схема с токами после преобразований показана на рис.2.

Применим метод узлового напряжения между узлами а и b:

где G1, G2, G3 – сопротивления соответствующих ветвей:

Найдем токи в ветвях по закону Ома:

Читайте также:  Безопасность в быту поражение электрическим током

Полученные значения токов совпадают с токами, найденными в п.2.

4) Определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.

Определим напряжение холостого хода Ucd на резисторе R6, для этого воспользуемся формулой узлового напряжения для узлов а и b:

Воспользуемся законом Ома для определения частных напряжений:

Определим эквивалентное сопротивление Rэк cd. Схема в этом случае принимает вид, показанный на рис.4а. Для нахождения общего сопротивления, преобразуем треугольники acb в звезду (рис 4б), тогда:

Общее эквивалентное сопротивление цепи:

Ток I6 в резисторе R6 находится по формуле эквивалентного генератора:

Как видим, данное значение тока совпадает со значением, найденным в п.2, что свидетельствует о правильности решения.

5) Определить показания вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы.

Показания вольтметра можно определить по закону Ома:

Уравнение баланса отражает равенство мощностей, отдаваемой источником (Ри) и расходуемой приемниками (Рп), т.е.

Ри= Рп, следовательно баланс мощностей соблюдается, задача решена верно.

6) Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальной диаграммой называется график распределений потенциалов вдоль какого-либо контура. Потенциальную диаграмму строят как зависимость (потенциалов от сопротивления). Обозначения узлов см. на рис.5. За нулевой потенциал принимаем точку d. Найдем значения потенциалов других узлов (обход внешнего контура по часовой стрелке):

Учет знака выбирался из правил: ток течет от большего потенциала к меньшему, наращивание потенциала за счет ЭДС соответствует знаку источника, подключенного к измеряемой точке.

Построим потенциальную диаграмму:

Диаграмма начинается и заканчивается с потенциалом , потенциалы посчитаны правильно.

Дана электрическая схема.

Переведем исходные данные: 300мкФ=3·10 -4 Ф; 19.1мГн=1,91·10 -2 Гн; 15.9мГн=1,59·10 -2 Гн; 31.8мГн=3,18·10 -2 Гн

1) Определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках. Определить показание вольтметра.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

где — угловая частота

Полное комплексное сопротивление:

Начальная фаза ЭДС Е принимается равной нулю, поэтому комплексная составляющая равна нулю:

Ток в неразветвленной части цепи:

Токи в параллельных цепях находятся по соотношениям:

=1,93-1,66j=2,54e -40°38′ j А

=0,77+1,01j=1,27e 52°54′ j А

Напряжения на отдельных участках:

=111,72-9,65j=112,14e -4°56′ j В

=8,28+9,65j=12,71e 49°21′ j В

Вольтметр будет показывать действительную величину напряжения, которая находится по выражению:

2) Составить баланс активной и реактивной мощностей. Определить показание активной мощности, измеряемой ваттметром.

Полная мощность всей цепи:

=323,54-77,47j=332,69e -13°27′ j В·А

Действительная часть комплекса – активная мощность, мнимая часть – реактивная мощность.

Таким образом, ваттметр будет показывать мощность 323,5 Вт.

Найдем активные и реактивные мощности отдельных участков цепи.

Найденная сумма активных мощностей отдельных участков равна активной мощности всей цепи.

С учетом погрешности вычислений, можно сказать, что найденная сумма реактивных мощностей отдельных участков равна реактивной мощности всей цепи.

Таким образом, баланс потребляемой и отдаваемой мощностей соблюдается.

3) Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений по внешнему контуру.

Векторная диаграмма токов – изображение векторов найденных токов, исходящих из одной точки. Сначала откладываем токи I2 и I3, их геометрическая сумма дает ток I1. (Токи строились в масштабе 10:1)

Потенциальная диаграмма напряжений – направленные отрезки, соединяющие точки, соответствующие потенциалам каждой точки контура. Обычно обход контура берется против направления тока (в нашем случае, против часовой стрелки) – контур abcdef.

Определим длину отрезков, необходимых отложить на диаграмме:

Отложение отрезков начинается из точки (0;0), Uab – падение напряжение на катушке, поэтому отрезок откладывается с опережением на 90° (перпендикулярно направлению I3 против часовой стрелки), затем от конца Uab откладывается отрезок Ubc (падение на конденсаторе) перпендикулярно I3 (против направления Uab). Ucd откладывается синфазно I3, Ude – синфазно I1, Uef – перпендикулярно I1. Точка конца диаграммы совпадает с отрезком общего напряжения Е, значит расчет произведен верно.

Дана схема трехпроводной электрической цепи:

Источник

Задачи электротехники, приводящие к решению систем линейных уравнений

date image2015-05-20
views image3668

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Лекция 3

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задачи электротехники, приводящие к решению систем линейных уравнений

Расчет токов и напряжений в электрических цепях часто сводится к решению системы из n (число неизвестных величин) линейных алгебраических уравнений

или в матричной форме записи:

A X = B,(3.2)

A = — матрица коэффициентов;

B= —столбец правых частей; X= — столбец неизвестных.

Используется также и расширенная матрица системы Aр, полученная добавлением столбца n+1 к матрице А.Элементы этого столбца равны соответствующим элементам столбца свободных

Aр = (3.3)

На рис.3.1 изображена разветвленная электрическая схема постоянного тока.

Как правило, в таких схемах при заданных активных сопротивлениях R и электродвижущих силах (ЭДС) Е требуется найти токи I. Одним из способов расчета таких схем является составление уравнений для токов ветвей на основании законов Кирхгофа с последующим их решением [4]. Составим эти уравнения.

По первому закону Кирхгофа — алгебраическая сумма токов подтекающих к узлу, равна нулю ( = 0, где k— номер узла), имеем для узла 1:

По второму закону Кирхгофа — алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме ЭДС по этому контуру ( ) — выбирая контуры и положительные направления в них как на рис.3.1, получим:

Получили 3 уравнения для трех неизвестных токов. Приведем данные уравнения к виду (3.1), вводя нулевые коэффициенты при отсутствующих в уравнениях токах по второму закону Кирхгофа и 1 или -1 в уравнении, составленном по первому закону Кирхгофа:

Читайте также:  Источники электрического тока аккумуляторы это

(3.4)

или в матричной форме записи

RI=E. (3.5)

Сравнивая (3.4) c (3.1) видим, что матрица R есть матрица А, столбец Е— столбец В, столбец I — столбец неизвестных X.

R = матрица сопротивлений;

Е= — столбец ЭДС контуров; I= — столбец токов.

Решив полученную систему относительно неизвестных токов I1,I2 и I3 ,получим требуемый результат. Если один или несколько токов получатся со знаком минус, то это будет означать, что реальное направление тока противоположно принятому направлению при составлении исходных уравнений.

К решению систем линейных алгебраических уравнений приходится прибегать также при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. главу 4), с помощью которых решаются задачи динамики (переходные процессы) электрических и электромеханических систем. Для них и для других задач приходится находить определители матриц,обратные матрицы,собственные числа матриц и т. д.[1,5,6,10]. Все это находится с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений.

Существуют два класса методов решения систем уравнений: прямыеиитерационные. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем сравнительно невысокого порядка (n

Рассмотрим три метода решения систем линейных алгебраических уравнений — Гаусса, простых итераций и Зейделя, дающих представление о прямых и итерационных методах и наиболее часто применяемых в расчетной практике.

Источник

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

§ 1.8. Уравнения токов

Повторим еще раз уравнения (1.14):

Согласно методу симметричных составляющих

Разделив левую и правую части последних выражений на wэB, получим

(1.23)

где k = wэВ/wэА— уже известный коэффициент трансформации двигателя. Подставляя (1.23) в выражение B и решая систему двух уравнений относительно IA1, IA2 , получим

(1.24)

Рассчитав IA1 и IA2 , легко определить IB1 и IB2 , а затем найти полные токи фаз А и В.

§ 1.9. Электромагнитная мощность. Вращающий момент несимметричного двухфазного микродвигателя

Поскольку в рассматриваемых микродвигателях имеют место поля токов прямой и обратной последовательностей, электромагнитная мощность — мощность, передаваемая от статора к ротору магнитным полем, должна быть равна сумме мощностей этих последовательностей.

Как известно, при круговом поле электромагнитная мощность равна потерям в активном сопротивлении ротора, деленным на скольжение s для прямого и на 2 — s для обратного полей

Pэм1 = Pэм1А + Pэм1В = I 2 рA1·rрA/s + I 2 pВ1·r/s , (1.25)

Pэм2 = Pэм2А + Pэм2В = I 2 рA2·rрA/2-s + I 2 pВ2·r/2-s. (1.26)

Если выразить токи и сопротивления фазы В через токи и сопротивления фазы А

подставить в (1.25), (1.26), то после преобразований получим

(1.27)

Выражение (1.27) неудобно для практических расчетов тем, что в него входят токи ротора. Это обстоятельство можно обойти, если воспользоваться схемами замещения рис.1.7. Действительно, в параллельном соединении: “контур намагничивания — цепь ротора” (рис.1.7), существует только одно активное сопротивление rрA. В преобразованных схемах замещения рис.1.8 в состав ZрA1, ZрA2 тоже входит активное сопротивление rрA1, rрA2. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии потери мощности в этих сопротивлениях должны быть одинаковыми, т.е.

С учетом этого выражение электромагнитной мощности приобретает простой вид

(1.28)

Если разделить электромагнитную мощность на синхронную угловую частоту вращения, получим выражение вращающего момента

М = Рэм1 = Рэм11 – Рэм21. (1.29)

При этом перед электромагнитной мощностью обратной последовательности следует поставить знак «минус», ибо обратное поле создает не движущий, а тормозной момент.

На рис. 1.10 представлена механическая характеристика асинхронного двигателя при эллиптическом поле, как результат действия прямого и обратного полей, создающих вращающий М1 и тормозной М2 моменты.

Рис.1.10. Механическая характеристика двухфазного асинхронного двигателя с эллиптическим магнитным полем

Из рис. 1.10 видно негативное действие обратного поля:

  • снижение максимального и пускового моментов,
  • увеличение номинального скольжения и, как следствие, увеличение потерь в роторе, снижение КПД машины.

Задача 1.7. Определить пусковой момент несимметричного двухфазного двигателя, параметры схемы замещения которого

хсA = 26Ом; rсA = 34 Ом; xmA = 430 Ом; m = 2; rрA= 30 Ом; xрA = 22 Ом; f = 50 Гц; U = 220 В.

§ 1.10. Энергетическая диаграмма. Потери мощности

Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного микродвигателя показана на рис. 1.11.

Рис.1.12. Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного асинхронного микродвигателя

рк — потери в конденсаторе. pk = I²сB rк . Активное сопротивление конденсатора rк обычно очень мало, так чтопотерями в нем можно пренебречь.

pст— потери в стали. При эллиптическом поле они равны сумме потерь встали от прямого pст1 и обратного pст2 полей [1]: рст = рст1 + рст2

Потерями в стали ротора при скольженьях, близких к номинальному, можно пренебречь, поскольку частота перемагничивания ротора весьма небольшая ( f2 = f1s ).

Потери в стали статора от поля прямой последовательности рассчитывают обычным порядком [4]. Они пропорциональны квадрату индукции и частоте в степени 1,3:

pст1≡ B² f 1.3 . (1.30)

Потери в стали статора от поля обратной последовательности

рст2 = pст1 (EА2 /EА1)², (1.31)

где EА1, EА2 — ЭДС в обмотке А от поля прямой и обратной последовательностей.

Потери в обмотках А и В статора

В формуле (1.32) должны присутствовать токи статора, полученные сучетом потерь в стали. Эти токи определяются следующим образом [1,5].

Для покрытия потерь в стали двигатель потребляет из сетидополнительный ток, что приводит к увеличению активных составляющихтоков статора. Эти увеличения можно рассчитать по следующим формулам:

IстВ1 = IстА1 /k ; IстВ2 = IстА2 /k. (1.34)

Прибавляя «добавки» к активным составляющим токов, рассчитанным без учета потерь в стали, получим полные токи фаз статора:

(1.35)

Здесь индексы 1 и 2 означают прямую и обратную последовательности.

Потери в обмотке ротора можно определить через электромагнитнуюмощность (1.28) и скольжение ротора

рэр = pэр1 + pэр2 = 2[I²A1rрA1s + I²A2rpA2(2 — s)]. (1.36)

Из энергетической диаграммы видно, что электрические потери в обмотке ротора от токов обратной последовательности рэр2 больше электромагнитной мощности обратной последовательности Рэм2, чего казалось бы не должно быть. Этот парадокс объясняется следующим образом.

По отношению к полю обратной последовательности машина работает в режиме электромагнитного тормоза, поэтому вся энергия (Рэм2) превращается в тепло, т.е. в потери в обмотке ротора. Но для вращения ротора против поля требуется еще и механическая энергия, источником которой является электромагнитная мощность прямой последовательности Рэм1. Часть этой мощности (Dpэр2) также превращается в тепло. Эта часть равна

Механическая мощность, развиваемая несимметричным двухфазным микродвигателем равна:

Механические потери pмех — потери на трение и вентиляцию, определяют по эмпирическим формулам [4], суть которых заключается в том, что эти потери пропорциональны квадрату скорости вращения рмех

Полезная мощность на валу микродвигателя

(1.37)

Потребляемая электрическая мощность

P1 = PЭМ + pэс + pст + pк. (1.38)

η = P2 /P1. (1.39)

cosφA = IcAa /IcA; cosφB = IcBa /IcB. (1.43)

Ни в энергетической диаграмме, ни в расчетах не упоминалисьдобавочные потери. Согласно ГОСТ 183-74 они составляют 0,5 % отпотребляемой мощности, что практически выходит за пределы точностирасчетов микромашин.

Источник

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Источник