Меню

Расчет сложных цепей электрического тока с применением законов кирхгофа



Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Схема контура

Рис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Абстрактный узел

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Формула сумма токов

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

Формулы для второго правила киргхофа

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Магнитные контуры цепей

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Пример для расчёта

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

  1. 1 и 2.
  2. 1 и 3.
  3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

Решаем систему уравнений:

Система уравнений

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Система уравнений

Решая эту систему, получим:

  1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
  2. I2 = 2,19 мА.;
  3. I3 = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Источник

Законы Ома и Кирхгофа для цепей постоянного тока. Непосредственное применение этих законов к расчёту электрических цепей. Порядок составления уравнений по законам Кирхгофа. Баланс мощностей.

Закон Ома:

I=U/R,

т.е. ток I, протекающий по участку цепи, будет равен напряжению на этом участке U (или разности потенциалов на концах рассматриваемого участка с учетом знака) деленному на сопротивление участка R. Закон можно записать и как U=I×R. Найденную из этого равенства величину U называют падением напряжения на участке цепи с сопротивлением R, через который протекает ток I.

Читайте также:  Регулировка тока в импульсном стабилизаторе

В общем случае (при наличии источников ЭДС)

например, для участка цепи

.

Первый закон Кирхгофа:алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е. .

При составлении уравнений пользуются правилом: если ток входит в узел, то его в уравнение подставляют со знаком «+», если выходит — «-»:

,

то есть сумма токов приходящих к узлу цепи равна сумме токов уходящих из узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура:

.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 4. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно, число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендуется, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 4 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

Уравнения составляют в следующей последовательности:

− произвольно выбираем направление токов ветвях (направления токов обозначены стрелками);

− составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов. Количество уравнений n должно быть равно количеству узлов m без одного (n=m-1). Например, для верхнего узла:

;

− произвольно задаемся направлением обхода контуров (например, против часовой стрелки);

− составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. При составлении пользуются правилами: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то в уравнение она подставляется со знаком «+», в противном случае с «-»; если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения подставляется со знаком «+», в противном случае со знаком «-».

Баланс мощностей

Мощность, определяющая непроизводительный расход энергии, например, на тепловые потери в источнике, называется мощностью потерь.

По закону сохранения энергии мощность источника равна сумме мощностей потребителей и потерь.

Это выражение представляет собой баланс мощности электрической цепи.

Для рассмотренной выше схемы независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

7. Методы расчёта сложных разветвлённых цепей постоянного тока. Взаимное преобразование схем соединений треугольником и звездой пассивных элементов цепи

Методы расчёта сложных разветвлённых цепей постоянного тока:

1. С помощью уравнений электрического состояния (1 и 2 законы Кирхгофа)

2. Метод наложения

Используется для линейной электрической цепи. Заключается в том, что если цепь подвергается воздействию нескольких источников ЭДС одновременно, то реакция (ток) цепи на эти источники будет равна алгебраической сумме реакций (токов) на каждое воздействие отдельно.

3. Метод контурных токов

В качестве промежуточных переменных выбирают токи, замыкающиеся в каждом контуре и их называют контурными токами. Метод выгоден тогда, когда

4. Метод узлового напряжения

Если цепь имеет 2 узла или путем не сложных преобразований может быть приведена к 2 узлам, то используется метод узлового напряжения.

5. Метод эквивалентного источника

Суть метода эквивалентного генератора состоит в нахождении тока в одной выделенной ветви, при этом остальная часть сложной электрической цепи заменяется эквивалентным ЭДС Еэкв, с её внутренним сопротивлением rэкв. При этом часть цепи, в которую входит источник ЭДС называют эквивалентным генератором или активным двухполюсником, откуда и название метода.

Электрические цепи однофазного переменного тока. Переменные ЭДС, напряжения и токи. Цепи синусоидального тока. Основные характеристики синусоидальных электрических величин. Мгновенное, амплитудное и действующее значения. Среднее значение синусоидальной величины.

Переменным называется ток, который изменяется в течение времени по величине или направлению. Переменный ток получил преимущественное распространение в промышленности, что связано с его преимуществами перед постоянным током:

− легко повышается и понижается напряжение с помощью трансформаторов;

− генераторы и двигатели переменного тока проще по устройству, в эксплуатации, надежней и дешевле;

− переменный ток удобнее вырабатывать на электростанциях;

− многие физические явления проявляются только при переменном токе.

− В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм.

Недостатки: в цепях питания потребителей таким током могут происходить перегрузки, вызванные реактивной мощностью потребителей (когда в цепи питания присутствуют индуктивности или емкости); переменный ток приводит к образованию переменных электромагнитных полей, воздействующих на работу различной радиоаппаратуры и др.

Мгновенное значение (ЭДС или напряжения или тока) — значение величины в данный момент времени.обозначается чаще всего маленькими буквами: e, u,i.

Амплитудное значение (ЭДС или напряжения или тока) — максимальное значение.

Читайте также:  Ток запуска трехфазного двигателя

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

Расчет электрической цепи по закону КирхгофаВ уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа, где Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа— число узлов цепи.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа, где Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа— число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для Расчет электрической цепи по закону Кирхгофаузлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить Расчет электрической цепи по закону Кирхгофауравнений, где Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа— количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа. Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Расчет электрической цепи по закону КирхгофаЗапишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа;

Узел 2: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа;

Узел З: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа;

Контур I: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Контур II: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих Расчет электрической цепи по закону Кирхгофаили Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа, Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа, следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

Расчет электрической цепи по закону КирхгофаВ матричной форме записи:

Расчет электрической цепи по закону КирхгофаРешением системы уравнений являются следующие значения токов: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в whatsapp.

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Читайте также:  Высоковольтные трансформаторы тока измерительные

Сайт предназачен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

или в комплексной форме

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<у>-1 $, где $ N_\textrm <у>$ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<в>-N_\textrm<у>+1 $, где $ N_\textrm <в>$ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ направление токов и обход контуров

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline_ <1>$, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0; $$

$$ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0; $$

$$ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_<1>; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_<2>; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_<3>; $$

где $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0 \\ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0 \\ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0 \\ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0 \\ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_ <2>\\ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_ <3>\end $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline_ & R_ <2>& 0 & -\underline_ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_ <2>& R_ <4>& 0 & \underline_ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline_ & 0 & R_<1>+\underline_ & R_ <3>\\ \end \cdot \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \underline_ <4>\\ \underline_ <5>\\ \underline_ <6>\\ \underline_ <7>\\ \end = \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline_ <1>\\ \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Источник

Adblock
detector