Меню

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока



Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

date image2014-02-02
views image2296

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить: 1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Источник

Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Сущность метода состоит в том, что для упрощения расчета цепей синусоидального тока переходят от уравнений для мгновенных значений, являющихся по сути интегро-дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям в комплексной форме. Расчет цепи удобнее вести для комплексных действующих величин синусоидальных токов и напряжений.

Для схемы (рис. 1) c входным напряжением заданы следующие параметры:

r3 = 2,7 Ом; xL1 = j3 Ом;

Для заданной схемы определить токи в ветвях, падения напряжений на каждом элементе цепи, рассчитать баланс активных и реактивных мощностей и построить в масштабе векторно-топографическую диаграмму.

1. Определяем комплексные сопротивления каждой ветви

2. Определяем комплексное сопротивление разветвленного участка Zab:

3. Определяем комплексное сопротивление всей цепи ZΣ:

ZΣ =Z1 + Zab = 4,5 + j3 + 3,29 – j1,13 = 7,79 + j1,87 = 7,95e j 13,6 Ом.

4. Записываем напряжение источника в комплексной форме Е и определяем ток I1в неразветвленной части цепи:

5. Определяем напряжение на разветвленном участке «ав»:

6. Определяем токи в остальных ветвях:

7. Мгновенное значение тока i3 определяем по его комплексному действующему значению I3 =1,23e j80,8 ْ А.

Комплексная амплитуда тока Im3 = = ×1,23e j80,8 ْ B,

8. Комплексную мощность всей цепи определяем как

= P ± jQ,

где Е =14,76e j 54,4ْ = 8,59 +j12 В, I1 =1,85e — j 40,8 А,

=14,76e j 54,4 ْ ×1,85e — j 40,8 ْ =27,3e j 13,6 = (26,5+ j6,4)ВА.

9. Согласно закону сохранения энергии активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей всех n активных сопротивлений, входящих в цепь: =4,5×1,85 2 +5×1,2 2 +2,7×1,23 2 =26,52 Вт.

10. По закону сохранения энергии реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме мощностей всех m реактивных сопротивлений, входящих в цепь (Xk >0, если сопротивление индуктивное и Xk 2 + (3,5-1,5)×1,2 2 + (-4,5)×1,23 2 = 6,43 ВAp.

Читайте также:  Эдс источник постоянного тока 2 в а его внутреннее сопротивление 1 ом

Баланс активных и реактивных мощностей сходится:

P = 26,5 ≈ 26,52Вт; Q = 6,4 ≈ 6,43 ВAp.

11. Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма цепи, в которой каждой точке электрической схемы соответствует точка на топо­графической диаграмме (рис. 2).

Это достигается тем, что векторы напряжений на отдельных элементах схемы строятся в той последовательности, в которой они расположены в схеме (обходим схему в направлении тока – по часовой стрелке).

Для построения топографической диаграммы определяем напряжения на всех элементах цепи.

UL1 = I1 XL1 = 1,85e -j40,8 ° ×3e j90 ° = 5,55e j49,2 ° = 3,63 + j4,2 В;

12. Проводим проверку правильности расчета токов и напряжений по 1 и 2 законам Кирхгофа, используя алгебраическую форму записи комплексных чисел.

Проверка по 1 закону осуществляется для любого из двух узлов а или в. Например, для узла а:

следовательно, 1,4 + j1,2 = 1,2 + 0,2 + j1,21 » 1,4 + j1,21.

Аналогично проводим проверку по 2 закону для контура а в с, обходя его по часовой стрелке

8,59 +j12 = 6,31 – j5,45 + 3,63 + j4,2 + 6 + j4,2 – j1,8.

Если результаты проверок удовлетворительные, то можно строить векторную диаграмму.

13. Выбираем масштабы по току и напряжению μI = 0,1 А/мм, μU = 1 В/мм. Построение топографической векторной диаграммы начинаем с построения векторов токов, которые проводим из начала координат под углами, найденными в П4 и П6. Диагональ параллелограмма должна соответствовать вектору 1= 2+ 3.

Из начала координат под углом Ψu = -54,4° строим вектор питающего напряжения Е. Затем так же из начала координат (точка а) по направлению тока I2 строим сначала вектор падения напряжения Ur2, а затем последовательно вектора UL2 и UС2, ориентируя их соответствующим образом относительно тока I2. Построение векторов Ur1 и UL1 ориентируем относительно тока I1. Векторная сумма этих последовательно построенных пяти падений напряжений, согласно 2 закону Кирхгофа, равна вектору питающего напряжения Е.

Аналогичным образом строим сумму векторов падений напряжений Ur3 и UC3, ориентируя их по току третьей ветви I3.

Источник

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

При расчете линейных цепей символическим методом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

Решение задач символическим методом

Задача 3.2.1 Для схемы рис. 3.2.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости, записать мгновенные значения токов, если u = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

Задачу решить символическим методом.
Примечание. Решение этой задачи методом векторных диаграмм приведено в 3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Рис. 3.2.1 Схема электрической цепи

Задачу решаем символическим методом в комплексных амплитудах.

Мгновенное значение напряжения

u = U m sin ( ω t + ψ U ) = 600 sin ( ω t − 90 ° ) , В ,

тогда комплексная амплитуда напряжения

U ? m = U m ⋅ e j ψ U = 600 ⋅ e − j 90 ° , В .

Комплексные сопротивления ветвей

Z _ 1 = R 1 − j X 4 = 10 − j 50 О м ; Z _ 2 = j X 2 = j 20 = 20 ⋅ e j 90 ° О м ; Z _ 3 = R 3 − j X 3 = 20 − j 20 = 20 2 ⋅ e − j 45 ° О м .

Читайте также:  Материалы для контактов с низким током

Эквивалентная электрическая схема представлена на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2 Эквивалентная электрическая схема

Для схемы со смешанным соединением комплексное общее сопротивление

Z _ = Z _ 1 + Z _ 2 ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = ( 10 − j 50 ) + 20 e j 90 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = = ( 10 − j 50 ) + 20 2 e j 45 ° = ( 10 − j 50 ) + ( 20 + j 20 ) = = 30 − j 30 = 30 2 e − j 45 ° О м .

Комплексная амплитуда общего тока по закону Ома

I ? 1 m = U ? m Z _ = 600 ⋅ e − j 90 ° 30 2 e − j 45 ° = 10 2 e − j 45 ° = 10 − j 10 А .

Комплексные амплитуды токов ветвей по формуле делителя токов

I ˙ 2 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 20 e − j 90 ° = − j 20 А ; I ˙ 3 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 2 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 e j 90 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 10 2 e j 45 ° = 10 + j 10 А .

Проверка по первому закону Кирхгофа

I ? 1 m = I ? 2 m + I ? 3 m = ( − j 20 ) + ( 10 + j 10 ) = 10 − j 10 = 10 2 e − j 45 ° А .

Действующие значения токов в ветвях

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А ; I 2 = I 2 m 2 = 20 2 = 10 2 А ; I 3 = I 3 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

По формуле перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям

i ( t ) = Im [ I ? m e j ω t ] = Im [ I m e j ψ I e j ω t ] = Im [ I m e j ( ω t + ψ I ) ] = I m sin ( ω t + ψ I )

мгновенные значения токов

i 1 ( t ) = I 1 m sin ( ω t + ψ I 1 ) = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А ; i 2 ( t ) = I 2 m sin ( ω t + ψ I 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 ( t ) = I 3 m sin ( ω t + ψ I 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А .

Комплексная полная мощность источника

S ˜ и с т = P и с т + j Q и с т = U ? ⋅ I * 1 = 600 e − j 90 ° ⋅ 10 2 e + j 45 ° = = 6000 2 e − j 45 ° = 3000 − j 3000 В ⋅ А ,

откуда активная мощность источника

P и с т = Re [ S ˜ и с т ] = 3000 В т ,

реактивная мощность источника

Q и с т = Im [ S ˜ и с т ] = − 3000 в а р .

Активная мощность потребителей

P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т .

Реактивная мощность потребителей

Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р .

Для построения топографической диаграммы на комплексной плоскости необходимо рассчитать комплексные действующие значения потенциалов точек схемы

φ ? e = 0 ; φ ? d = φ ? e + I ? 1 ⋅ ( − j X 4 ) = 0 + 10 e − j 45 ° ⋅ 50 e − j 90 ° = 500 e − j 135 ° = − 250 2 − j 250 2 В ; φ ? b = φ ? d + I ? 2 ⋅ j X 2 = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 20 2 e − j 90 ° ⋅ 20 e j 90 ° = − 50 2 − j 250 2 В ; φ ? c = φ ? d + I ? 3 ⋅ ( − j X 3 ) = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 10 e j 45 ° ⋅ 20 e − j 90 ° = = ( − 250 2 − j 250 2 ) + ( 100 2 − j 100 2 ) = − 150 2 − j 350 2 В ; φ ? a = φ ? b + I ? 1 ⋅ R 1 = ( − 50 2 − j 250 2 ) + ( 5 2 − j 5 2 ) ⋅ 10 = − j 300 2 = U ? .

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости учитываем направления векторов напряжения на пассивных элементах. Например, вектор напряжения U ? R 1 = I ? 1 R 1 = φ ? a − φ ? b на комплексной плоскости направлен от точки b к точке a, а вектор напряжения U ? L 2 = I ? 2 j X 2 = φ ? b − φ ? d на комплексной плоскости направлен от точки d к точке b.

Читайте также:  Переменный электрический ток конденсатор в цепи переменного тока

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости приведена на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3 Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

Источник

Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Символическим методом расчета установившихся режимов в ли­нейных цепях синусоидального тока называют метод, использующий представление синусоидальных функций комплексными числами. Та­кой переход осуществляется с помощью соотношения Эйлера:

Соотношение (2.6) позволяет поставить в соответствие синусои­дальной функции комплексное число. Так, для тока, напряжения и ЭДС запишем соответствие между синусоидальными функциями и комплексными числами:

где – мнимая единица; , и – комплексы действующих зна­чений тока, напряжения и ЭДС.

Такое представление позволяет при определении токов и напряже­ний в цепи перейти от решения систем уравнений с синусоидальными функциями времени к расчету систем алгебраических линейных урав­нений с комплексными коэффициентами. Систему уравнений можно получить как по законам Кирхгофа в комплексном виде, так и любым методом расчета цепей: по закону Ома, методом контурных токов, уз­ловых потенциалов, эквивалентного генератора или эквивалентными преобразованиями цепи. При составлении системы уравнений исполь­зуются схемы замещения цепи в комплексном виде.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

1. Алгебраическая сумма комплексных значений токов в проводни­ках, соединенных в узел, равна нулю:

2. Алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС всех источников того же контура:

Векторные диаграммы

Для иллюстрации взаимосвязи между токами и напряжениями в конкретной схеме строят векторные диаграммы. Различают три вида векторных диаграмм.

Исходный элемент Схема замещения Векторная диаграмма
Источники ЭДС
Резистор
Емкость – емкостное сопротивление (Ом)
Индуктивность – индуктивное сопротивление (Ом)

Векторная диаграмма токов – представляет собой сумму векторов токов на комплексной плоскости, соответствующую первому закону Кирхгофа, записанному для определенного узла цепи.

Векторная диаграмма напряжений – это сумма векторов напряже­ний на комплексной плоскости, построенная в соответствии со вто­рым законом Кирхгофа.

Топографическая диаграмма – является диаграммой комплексных потенциалов цепи на комплексной плоскости, причем один из потен­циалов принимается равным нулю, а остальные потенциалы опреде­ляются через падения напряжения на элементах цепи.

При построении диаграмм должны быть заданы масштабы напря­жений, потенциалов и токов, тогда длина векторов напряжений и токов будет пропорциональна их действующим значениям, а угол поворота векторов относительно вещественной оси равен их начальной фазе. Положительные значения углов отсчитываются против направления вращения часовой стрелки, а отрицательных — по часовой стрелке.

Элементы линейной цепи гармонического тока, их схемы замеще­ния и векторные диаграммы приведены в табл. 2.1 .

Закон Ома в комплексной форме, треугольники сопротивлений и проводимостей

Рис. 2.7. Треугольники: а) сопротивлений; б) проводимостей; в) мощностей

Закон Ома в комплексной форме:

где – суммарное реактивное сопротивление ветви (рис. 2.7, а); – комплексное сопротивление ветви; – модуль и – ее угол; – суммарная комплексная проводимость ветвей, где – модуль; – угол; и – активная и реактивная проводимость (рис. 2.7, б).

Источник