Меню

Определить токи во всех ветвях схемы используя законы кирхгофа



Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

Источник

Линейные цепи постоянного тока. Определение токов во всех ветвях методом контурных токов

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Линейные цепи постоянного тока.

Задача. Для электрической схемы (рис 1.9) выполнить следующее:

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета тока во всех ветвях схемы.

2. Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

4. Результаты расчета токов, проведенного двумя методами свести в таблицу и сравнить между собой.

5. Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

6. Определить ток I1 в заданной по условию схеме с источником тока методом эквивалентного генератора.

7. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя обе ЭДС.

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета тока во всех ветвях схемы.

Проведем эквивалентное преобразование источника тока в источник ЭДС.

Число ветвей с активными и пассивными элементами (ac, ad, ab, dc, cb, db) В = 6;

Узлов (a, b, c, d) у = 4;

Первый закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет составить (у–1) уравнений. у – 1=3;

Читайте также:  Расчет токов реактивной нагрузки

Недостающие уравнения в количестве в – (у – 1) = 6 – (4 – 1) = 3 составляют исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнения записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Общее количество уравнений в – (у – 1)+ (у–1) = 6;

По первому закону Кирхгофа

По первому закону Кирхгофа

2. Рассчитаем токи во всех ветвях методом контурных токов (МКТ).

Выберем направления контурных токов произвольно.

Число уравнений, которые необходимо составить для расчета токов в ветвях схемы, всегда равно числу независимых контуров. В данной схеме три независимых контура, поэтому имеем следующую систему:

Контурные токи первого, второго и третьего контуров.

Собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров.

Сумма ЭДС первого, второго и третьего контуров. В случае, когда направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока, то ЭДС берется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус.

Сопротивления с разными индексами – взаимные сопротивления, которые одновременно входят в состав двух контуров. Знак взаимного сопротивления положительный, если направления контурных токов на нем совпадают, в противном случае отрицательный.

Решим систему матричным способом.

Составим матрицы сопротивлений и ЭДС:

Расчет матрицы производился с помощью программы Mathcad 11 Professional.

Определим истинные токи во всех ветвях цепи:

3. Рассчитаем токи во всех ветвях методом узловых потенциалов (МУП).

Примем в качестве базисного узел «a» и его потенциал приравняем к нулю φa = 0

Остаются неизвестными потенциалы узлов «b», «c», «d»

Вычислим собственные проводимости этих узлов:

Общая проводимость этих узлов:

Находим узловые токи:

Составим систему уравнений для нахождения потенциалов узлов по методу узловых потенциалов:

Подставим числовые значения

Решим систему матричным способом:

Найдем токи в ветвях:

Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, сравниваем между собой.

Источник

Учебные материалы

Помощь студентам

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Порядок выполнения расчета:

  1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
  2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
  3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
    1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
    2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
  4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.
Читайте также:  Ток шагового двигателя по сопротивлению обмоток

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

Источник

Задачи на правило Кирхгофа с решением

Мы уже писали про закон Ома, а также параллельное и последовательное соединение проводников. Но это были цветочки. Сегодня разберемся с задачами посложнее: посмотрим, как решаются задачи на правила Кирхгофа.

Не забывайте подписаться на наш телеграм-канал: там вас ждут актуальные новости сферы образования, полезные лайфхаки и скидки для студентов.

Задачи на правило Кирхгофа с решением

Как решать задачи по правилу Кирхгофа? Прежде, чем приступать к решению задач, обязательно изучите теорию. Также мы подготовили для вас универсальную памятку по решению физических задач.

Задача №1 на эквивалентные преобразования соединений проводников.

Условие

Преобразуйте схему с помощью эквивалентных преобразований.

Решение

Кроме основных формул для последовательного и параллельного соединения проводников, существуют формулы для преобразования звезды резисторов в эквивалентный треугольник и наоборот. Треугольник резисторов R2 R3 R4 можно преобразовать в эквивалентную звезду RB RB RD по формулам:

Преобразованная схема будет выглядеть следующим образом:

Ответ: см. выше.

Правила Кирхгофа применяются для сложных цепей(например, для цепей с несколькими источниками питания), когда эквивалентные преобразования не приносят результата.

Задача №2 на первое правило (закон) Кирхгофа

Условие

Необходимо составить уравнения по первому закону Кирхгофа для следующей цепи:

Решение

В данной цепи 4 узла. По первому закону составляем 3 уравнения (на 1 уравнение меньше, чем количества узлов):

Ответ: см. выше.

Для решения задач на правила Кирхгофа необходимо уметь решать системы линейных уравнений. Для решения сложных систем удобно использовать специальные программы: MathCad, MatLab и т.д.

Далее для наглядности рассмотрим задачу с более простой схемой.

Задача №3 на правила Кирхгофа

Условие

Два источника питания E1=2В и E2=1В соединены по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление R=5 Ом. Внутреннее сопротивление источников одинаково и равно r1=r2=1 Ом. Определить силу тока, который проходит через сопротивление.

Решение

По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи обозначим произвольно):

Выберем направление обхода верхнего контура против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

Запишем то же самое для второго контура, обходя его по часовой стрелке:

Объединим уравнения с неизвестными токами в систему:

Чтобы решить систему, выразим силу тока I1 из второго уравнения, а силу тока I2 – из третьего:

Первое уравнение теперь можно записать в виде:

Выражая искомый ток и подставляя значения из условия, получаем:

Ответ: 1,5 А.

Задача №4 на правила Кирхгофа

Условие

Дана схема электрической цепи. Необходимо:

  • обозначить сопротивления, над каждой ветвью указать свой ток и источники ЭДС;
  • указать на схеме направления токов и ЭДС;
  • составить уравнения по первому и второму закону Кирхгофа.

Решение

Приведем схему, обозначив сопротивления, ЭДС и токи:

В схеме 7 токов и 4 узла. Необходимо составить 4 – 1 = 3 уравнения по первому закону Кирхгофа и 7 – 3 = 4 уравнения по второму закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа:

Читайте также:  Индикатор утечек тока своими руками

Второй закон Кирхгофа (выбранные контуры К1, К2, К3, К4 указаны на рисунке):

Ответ: см. выше.

Задача №5 на правила Кирхнофа

Условие

Определить все токи в ветвях, составив систему уравнений по законам Кирхгофа.

Параметры цепи: E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 60 В, R01 = 0,1 Ом, R02 = 0,3 Ом, R03 = 0,2 Ом, R1 = 4,4 Ом, R2 = 4,7 Ом, R3 = 4,6 Ом, R4 = 5,2 Ом, R5 = 7,6 Ом.

Решение

Направления токов в ветвях цепи и направления обхода контуров указаны на схеме. Цепь содержит 3 узла и 3 независимых контура. Таким образом, для расчета токов в ветвях необходимо составить два уравнения по первому закону Кирхгофа и три по второму:

Подставим числовые значения и решим систему уравнений:

Ответ: I1=10,68 А; I2=8,388 А; I3=7,192 А; I4=4,9 А; I5=2,292 А.

Вопросы на правила Кирхгофа

Вопрос 1. Сформулируйте первый закон Кирхгофа.

Ответ. Первый закон Кирхгофа связан с сохранением заряда и формулируется следующим образом:

Для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к данному узлу, равна нулю.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда, согласно которому ни в какой точке заряды не могут безгранично накапливаться: количество электричества, притекающее к данной точке за определенный промежуток времени, должно быть равно количеству электричества, оттекающему от неё.

Вопрос 2. Как следует выбирать направления токов в ветвях электрической цепи?

Ответ. Направления токов во всех ветвях электрической цепи задаются произвольно до составления уравнений. Токи, входящие в узел, принято считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными.

Вопрос 3. Как формулируется второй закон Кирхгофа?

Ответ. Второй закон Кирхгофа связан с законом сохранения энергии и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма всех ЭДС контура электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках.

Вопрос 4. Что следует учитывать при составлении уравнений второго закона Кирхгофа для цепи и ее конкретного контура.

Ответ. Перед составлением уравнений второго закона Кирхгофа для цепи необходимо произвольно выбрать направления токов во всех ветвях цепи и определить направление обхода контура.

При составлении уравнения для конкретного контура учитываются:

  • токи, входящие в узлы принимаются положительными;
  • ЭДС источников принимаются положительными, если
  • направления их действия (стрелка) совпадает с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока в них);
  • падения напряжений в ветвях (IkRk) принимаются положительными, если положительное направление тока совпадает с выбранным направлением обхода;
  • напряжения Uk, включенные в контур, принимаются положительными, если эти напряжения создают ток, направленный также как и направление обхода (направление напряжения, определяемое стрелкой, совпадает с направлением обхода).

Вопрос 5. Что такое эквивалентные преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов?

Ответ. Задачей эквивалентного преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов, является последовательное упрощение исходной схемы и нахождение эквивалентного сопротивления схемы.

Нужна помощь в решении задач и других студенческих заданий? Профессиональный сервис помощи учащимся окажет оперативную помощь с выполнением любой работы.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник