Меню

Определить магнитный момент кольца с током



Магнитный момент витка. Определение. Формула. Опыт.

Магнитный момент витка с током это физическая величина, как и любой другой магнитный момент, характеризует магнитные свойства данной системы. В нашем случае систему представляет круговой виток с током. Этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с внешним магнитным полем. Это может быть как поле земли, так и поле постоянного или электромагнита.

Круговой виток с током можно представить в виде короткого магнита. Причем этот магнит будет направлен перпендикулярно плоскости витка. Расположение полюсов такого магнита определяется с помощью правила буравчика. Согласно которому северный плюс будет находиться за плоскостью витка, если ток в нем будет двигаться по часовой стрелке.

На этот магнит, то есть на наш круговой виток с током, как и на любой другой магнит, будет воздействовать внешнее магнитное поле. Если это поле будет однородным, то возникнет вращающий момент, который будет стремиться развернуть виток. Поле буде поворачивать виток так чтобы его ось расположилась вдоль поля. При этом силовые линии самого витка, как маленького магнита, должны совпасть по направлению с внешним полем.

Если же внешнее поле будет не однородным, то к вращающему моменту добавится и поступательное движение. Это движение возникнет вследствие того что участки поля с большей индукцией будут притягивать наш магнит в виде витка больше чем участки с меньшей индукцией. И виток начнет двигаться в сторону поля с большей индукцией.

Величину магнитного момента кругового витка с током можно определить по формуле.

Где, I ток протекающий по витку

S площадь витка с током

n нормаль к плоскости в которой находится виток

Таким образом, из формулы видно, что магнитный момент витка это векторная величина. То есть кроме величины силы, то есть ее модуля он обладает еще и направлением. Данное свойство магнитный момент получил из-за того что в его состав входит вектор нормали к плоскости витка.

Для закрепления материала можно провести несложный опыт. Для этого нам понадобится круговой виток, из медной проволоки подключённый к батареи питания. При этом подводящие провода должны быть достаточно тонкими и желательно свиты между собой. Это уменьшит их влияние на опыт.

Теперь подвесим виток на подводящих проводах в однородном магнитном поле, созданном скажем постоянными магнитами. Виток пока обесточен, и его плоскость располагается параллельно силовым линиям поля. При этом его ось и полюса воображаемого магнита будут перпендикулярны линиям внешнего поля.

При подаче тока на виток его плоскость повернется перпендикулярно силовым линиям постоянного магнита, а ось станет им параллельна. Причем направление поворота витка будет определяться правилом буравчика. А строго говоря, направлением, в котором течет ток по витку.

Источник

Учебники

Разделы физики

Журнал «Квант»

Лауреаты премий по физике

Общие

Слободянюк А.И. Физика 10/12.7

§12. Постоянное магнитное поле

12.7 Расчет индукции магнитного поля.

Закон Био-Саварра-Лапласа и принцип суперпозиции позволяют рассчитать индукцию магнитного поля \(

\vec B\) , создаваемого произвольной системой электрических токов, в произвольной точке пространства. Для этого необходимо разбить все токи на бесконечно малые участки \(

(I \Delta \vec l)_k\) , записать выражения для векторов для индукции поля \(

(\Delta \vec B)_k\) , создаваемых этими элементами (пользуясь законом Био-Саварра-Лапласа) и просуммировать полученные выражения (что позволяет принцип суперпозиции) для всех участков тока

Img Slob-10-12-029.jpg

Рассмотрим еще раз участок проводника с током (Рис. 29) . Выражение для элемента тока \(

I \Delta \vec l\) записывается также в виде \(

I \Delta \vec l = \vec j S \Delta l = \vec j \Delta V\) . В том случае, когда электрические токи не являются линейными, а пространственно распределенными (то есть текут не только по тонким проводам), выражение для элемента тока \(

I \Delta \vec l\) следует заменить эквивалентным \(

\vec j \Delta V\) и провести суммирование по всем элементам объема., где протекают электрические токи.

Конечно, такое суммирование часто представляет собой громоздкую математическую задачу (в конце концов, для его выполнения можно воспользоваться компьютером), но, с физической точки зрения, изложенный метод дает полное решение задачи.

Рассмотрим несколько примеров расчета индукции магнитного поля по изложенной выше методике.

12.7.1 Магнитное поле кругового тока.

Img Slob-10-12-030.jpg

Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R. Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (Рис. 30). Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био-Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока \(

(I \Delta \vec l)_k\) и вектор \(

\vec r_k\) , соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому \(\sin \alpha = 1\) . Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен

Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична – вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца

Img Slob-10-12-031.jpg

Усложним задачу — найдем индукцию поля в точке A, находящейся на оси кольца на расстоянии z от его центра (Рис. 31). По-прежнему, выделяем малый участок кольца \(

(I \Delta \vec l)_k\) и строим вектор индукции поля \(

(\Delta \vec B)_k\) , созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Этот вектор перпендикулярен вектору \(

\vec r\) , соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы \(

(I \Delta \vec l)_k\) и \(

\vec r_k\) , как и ранее, перпендикулярны, поэтому \(\sin \alpha = 1\) . Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы \(

r = r_k = \sqrt\) , а также одинаковы углы φ между векторами \(

(\Delta \vec B)_k\) и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции

Из рисунка следует, что \(

\cos \varphi = \frac\) , с учетом выражения для расстояния r, получим окончательное выражение для вектора индукции поля

Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).

Задания для самостоятельной работы.

  1. Постройте график зависимости индукции поля (3) от расстояния до центра кольца.
  2. Сравните полученную зависимость (3) с выражением для модуля напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом (§9.6). Объясните возникшие принципиальные различия между этими зависимостями.

Img Slob-10-12-032.jpg

Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy (рис.32), а поле рассчитывается в плоскости yOz. Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y,z) рассчитываются по формулам:

Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование – использовать компьютер.

Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.

Img Slob-10-12-033.jpg

На рис. 33 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20 частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10 интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.

Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R. В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид

Читайте также:  Проверочная работа по теме электрический ток в различных средах

где \(I \pi R^2 = IS = p_m\) — произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μ в числителе на ε в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.

Img Slob-10-12-034.jpg

Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) – поэтому его поле совпадает с полем электрического диполя. Чтобы ярче подчеркнуть этот факт, на рис. 34 приведена картина силовых линий магнитного поля кольца, на больших расстояниях от него (сравните с аналогичной картиной для поля электрического диполя).

12.7.2 Магнитное поле прямого тока.

Img Slob-10-12-035.jpg

Рассчитаем индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечным [1] проводником, по которому протекает электрический ток силой I (Рис. 35) Методика расчет остается прежней: мысленно разбиваем проводник на малые участки \(

I \Delta \vec l_k\). Согласно закона Био-Саварра-Лапласа в произвольной точке A, находящейся на расстоянии R от проводника, произвольный элемент тока создает магнитное поле, вектор индукции которого \(

(\Delta \vec B)_k\) направлен перпендикулярно плоскости, содержащей проводник и рассматриваемую точку (на Рис. 35 — перпендикулярно плоскости рисунка), модуль этого вектора равен

где rk — расстояние от выбранного участка проводника до точки наблюдения, αk — угол между проводником и направлением от элемента тока до точки наблюдения.

Img Slob-10-12-036.jpg

Договоримся об еще одном общепринятом соглашении. Достаточно часто приходится изображать векторы, перпендикулярные плоскости рисунка. В этом случае эти векторы изображаются в виде (рис. 36): небольшого кружка с точкой в центре, если вектор направлен «на нас» (видно «острие» вектора); кружка с перекрестием, если вектор направлен от нас (видно «оперение» вектора).

Векторы поле, созданных всеми другими участками проводника, направлены также, поэтому суммирование векторов в данном случае сводится к суммированию их модулей. Но даже вычислить сумму модулей не просто, так как для различных участков проводника расстояния rk и αk различны. Тем не менее, такое суммирование выполнимо, его результат выражается формулой, определяющей величину индукции магнитного поля бесконечного прямого тока

здесь не приведено вычисление последней суммы (которая равна \(

\sum_k \frac<\Delta l_k> \sin \alpha_k = \frac<2>\)), поверьте пока в справедливость полученного выражения, хотя бы потому, что оно имеет богатый физический смысл. Во-первых, эта формула совпадает с выражением для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной нитью; во-вторых, оно соответствует результату опытов А.М. Ампера по изучению взаимодействия параллельных токов. Действительно, если один проводник создает магнитное поле, индукция которого обратно пропорциональна расстоянию до проводника, то на второй проводник действует сила Ампера, пропорциональная индукции поля, то есть обратно пропорциональная расстоянию между проводниками.

Дадим теперь строгий вывод формулы для суммы, фигурирующей в выражении (2). Проще всего она выводится с помощью операции интегрирования, но здесь мы дадим ее геометрический вывод. Для начала с помощью рис. 35 преобразуем каждое слагаемое этой формулы \(

\frac<\Delta l_k> \sin \alpha_k\) . Заметим, что произведение \(

\Delta l_k \sin \alpha_k\) равно длине отрезка CD, перпендикулярного вектору \(

\Delta l_k \sin \alpha_k = |CD|\) . Отношение же длины этого отрезка к расстоянию rk для малых длин элементов тока равно малому углу Δαk, под которым виден выделенный участок проводника

\frac<\Delta l_k> \sin \alpha_k = \frac<|CD|> = \Delta \alpha_k\) (3)

( точнее, это отношение равно тангенсу угла, который для малых углов равен самому углу, измеренному в радианах). Из того же рисунка следует, что отношение \(

\frac <\sin \alpha_k>= R\) равно расстоянию от точки наблюдения до проводника и не зависит от выбора участка проводника. С учетом этого соотношения и формулы (2) получим

Таким образом, вычисление суммы (2) сводится к вычислению суммы \(

\sum_k \Delta \alpha_k \sin \alpha_k\) , в которой все углы являются малыми (поэтому число слагаемых велико), пусть углы αk изменяются от нуля до некоторого предельного значения αmax.

Img Slob-10-12-037.jpg

Для вычисления этой суммы применим искусственный прием (он встретится нам и в дальнейшем). Возьмем окружность (Рис. 37) радиуса R и разобьем ее точками C, C1, C2, …, CN на малые участки, угловой размер каждого равен Δα.

Хорды, которые образованы точками разбиения будем рассматривать как векторы \(

\vec a_0 = \overrightarrow , \vec a_1 = \overrightarrow , \ldots, \vec a_k = \overrightarrow >, \ldots\) . Сумма этих векторов очевидна – это вектор \(

\vec A\) , соединяющий начальную и конечную точки разбиения окружности:

\sum_k \vec a_k = \overrightarrow = \vec A\) . (4)

Теперь, внимание, если справедливо векторное равенство, то справедливо аналогичное выражение для любой проекции этих векторов. Введем декартовую систему координат с началом в центре окружности, ось Ox которой проходит через начальную точку. Длины построенных вписанных векторов равны \(

|\vec a_k| = R \Delta \alpha_k\) (точнее, это длина дуги, но для малых углов, длина стягивающей хорды стремится к длине дуги). Из рисунка 37 следует, что проекции этого вектора на оси координат равны, соответственно,

a_ = -R \Delta \alpha_k \sin \alpha_k ; a_ = R \Delta \alpha_k \cos \alpha_k\) .

Проецируя равенство (4) на оси координат получим

\begin (\vec A)_x = (\overrightarrow )_x = -|C_0 B| = \sum_k a_ = -\sum_k R \Delta \alpha_k \sin \alpha_k \\ (\vec A)_y = (\overrightarrow )_y = -|C_N B| = \sum_k a_ = \sum_k R \Delta \alpha_k \cos \alpha_k \end \) . (5)

Проекции суммарного вектора \(

\vec A\) на оси координат находятся просто

\begin (\vec A)_x = (\overrightarrow )_x = -|C_0 B| = -(R + R \cos (\pi — \alpha_)) = R(1 — \cos \alpha_) \\ (\vec A)_y = (\overrightarrow )_y = -|C_N B| = R \sin (\pi — \alpha_) = R \sin \alpha_ \end \) . (6)

Сравнивая выражения (5) и (6) получим искомые формулы

\sum_k \sin \alpha_k \Delta \alpha_k = 1 — \cos \alpha_; \sum_k \cos \alpha_k \Delta \alpha_k = \sin \alpha_\) . (7)

Еще раз подчеркнем, что суммирование в этих формулах проводится в пределах изменения угла от нуля до предельного значения αmax.

Осталось принять во внимание, что бесконечный прямой проводник виден из любой точки вне его под углом αmax = π, поэтому искомая сумма выражается формулой

что и требовалось доказать.

Оценим длину «бесконечного» в данном случае проводника – во сколько раз длина проводника должна быть больше расстояния до точки наблюдения, что бы погрешность расчета индукции поля по формуле (2), примененной к проводнику конечной длины, была пренебрежимо малой.

Img Slob-10-12-038.jpg

Пусть длина прямого проводника равна l, а индукция поля рассчитывается в точке A, находящейся на расстоянии r (считаем, что r [2]

Такая ошибка будет допущена, если отношение длины проводника к расстоянию до точки наблюдения равно \(

\frac = \frac<2><\varepsilon>\). Так для относительной ошибки ε = 1% искомое отношение равно \(

\frac \approx 15\). Итак, в рассмотренном случае «бесконечность» равна 15.

Примечания

  1. ↑ Конечно, «бесконечно длинный» значит, что его длина значительно превышает расстояние до той точки, где измеряется поле.
  2. ↑ Используя известную приближенную формулу \(

(1 + x)^\beta \approx 1 + \beta x\) (в данном случае \(\beta = \frac<1><2>\)).

Источник

Магнитное поле

114. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S = 25 см 2 . Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определите вращательный момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А.

115. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной a = 8 см и шириной b = 5 см, со N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определите. 1) магнитный момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.

116. В однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл находится квадратная рамка со стороной а = 10 см, по которой течет ток I = 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Оп работу А, которую необходимо затратить для поворота рамки относи оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90°; 2) на 180°; 3) на 360°.

117. Тонкое кольцо массой 10 г и радиусом R = 8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой n = 15 с -1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через центр. Определите: 1) магнитный момент рm кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса кольца.

Читайте также:  Как определить направление вектора магнитной индукции в прямолинейном проводнике с током

118. Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите, определите отношение магнитного момента рт эквивален кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона.

119. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного проводника, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии R = 4 см от его середины. Длина отрезка провода l = 20 см, а сила тока в проводе I = 10 А.

120. Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной a = 15 см, если по рамке течет ток I = 5 А.

121. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся на расстоянии R = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи I1 = 20 А и I2 = 30 А одинакового направления. Определите магнитную индукцию поля В, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба провода, если: 1) точка С лежит на расстоянии r1 = 2 см левее левого проводника; 2) точка D лежит на расстоянии r2 = 3 см правее правого проводника; 3) точка G лежит на расстоянии r3 = 4 см правее левого провода.

122. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи I1 = 40 А и 12 = 80 А в одном направлении. Определите магнитную индукцию В в точке А, удаленной от первого проводника на r1x = 12 см и от второго — на r2 = 16 см.

123. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи I1 = 70 А и I2 = 50 А в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию B в точке А, удаленной на r1 = 20 см от первого и r2 = 30 см от второго проводника.

124. Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка с магнитным моментом pm = 1,5 А*м 2 равна 150 А/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке.

125. Определите магнитную индукцию в центре кругового проволоч витка радиусом R = 10 см, по которому течет ток I = 1 А.

126. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 5 см, по которому течет ток I = 10 А, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.

127. Определите магнитную индукцию В4 на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 10 см, в точке, расположенной на рас d = 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в центре кольца В = 50 мкТл.

128. Круговой виток радиусом R = 15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. Перпендикуляр, восстановленный на провод из центра витка, является нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе I1 = 1 А, сила тока в витке I2 = 5 А. Расстояние от центра витка до провода d = 20 см. Определите магнитную индукцию в центре витка.

129. В однородном магнитном поле индукцией В = 0,2 Тл находится прямой проводник длиной l = 15 см, по которому течет ток I = 5 А. На проводник действует сила F = 0,13 Н. Определите угол α между направлениями тока и вектором магнитной индукции.

130. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток I1 = 10 А. Под ним на расстоянии R = 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток I2 = 1,5 А. Определите, какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы он удержался незакрепленным. Плотность алюминия ρ = 2,7 г/см 3 .

131. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 2R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А = 138 нДж. Определите силу тока в проводниках.

132. Контур из провода, изогнутого в форме квадрата со стороной a = 0,5 м, расположен в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током I = 5 А ток что две его стороны параллельны проводу. Сила тока в контуре I1 = 1 А. Определите силу, действующую на контур, если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии b = 10 см. Направления токов указаны на рисунке.

133. Прямоугольная рамка со сторонами а = 40 см и b = 30 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводником с током I = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу. Сила тока в рамке I1 = 1 А. Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току I.

134. По тонкому проволочному полукольцу радиусом R = 50 см течет ток I = 1 А. Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено однородное магнитное с индукцией В = 0,01 Тл. Найти силу, растягивающую полукольцо. Действие на полукольцо магнитного поля подводящих проводов и взаимодействие отдельных элементов полукольца не учитывать.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Источник

2. Магнитный момент

; магнитный момент контура с током;

; вращающий момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле;

– потенциальная энергия магнитного диполя в магнитном поле;

– сила, действующая на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле.

Примеры решения задач

По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0.24 мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень имеет массу 12 г.

Решение

На расстоянии x от оси вращения выделим элемент длины стержня dx (рис.4). Его заряд dq найдём из пропорции: . Заряд dq, вращающийся по окружности, создаёт эквивалентный ток , где – период вращения. Магнитный момент этого тока равен , где – площадь «витка» эквивалентного тока, поскольку заряд вращается по окружности радиусом x. Таким образом, получим: . Проинтегрировав полученное выражение по всей длине стержня, получим магнитный момент, обусловленный его вращением: , или .

Момент импульса твёрдого тела по определению равен , где – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Тогда . Таким образом, отношение моментов равно: . Подставим численные значения: ; .

Ответ: ; .

По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г был пропущен ток силой 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией 2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.

На рамку с током в магнитном поле действует момент сил . Величина момента зависит от угла α между вектором магнитной индукции и магнитным моментом рамки : . В положении равновесия оба вектора направлены одинаково, α=0 (рис.5). Если рамку вывести из положения равновесия, повернув на малый угол α, проекции момента сил и углового перемещения на ось вращения будут иметь противоположные знаки (момент сил возвращает в положение равновесия), тогда . Здесь учтено, что угол – малый, и . По закону динамики вращательного движения твёрдого тела , где – момент инерции тела относительно оси вращения; – угловое ускорение, равное второй производной по времени от угла поворота. Таким образом, получим: , или . Сравнив с дифференциальным уравнением гармонических колебаний: , получим циклическую частоту: . Обозначим a длину стороны рамки, тогда магнитный момент её равен . Момент инерции рамки можно найти как сумму моментов инерции всех четырёх сторон, масса каждой из которых равна . Для двух горизонтальных сторон используем формулу момента инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину: . Моменты инерции двух вертикальных сторон можно найти из формулы для момента инерции твёрдого тела с учётом, что вся масса стороны расположена на одинаковом расстоянии от оси, равном : . Тогда момент инерции всей рамки . Подставим выражения для и в формулу для циклической частоты и найдём период колебаний: . Вычислим период, подставив значения величин: .

Ответ: .

Проволочный виток диаметром 20 см помещен в однородное магнитное поле, индукция которого равна 1 мТл. При пропускании по витку тока 2 А виток повернулся на угол 90 0 . Какой момент сил действовал на виток?

Читайте также:  Почему мегаомметр постоянного тока

Плоский контур площадью 4 см 2 расположен параллельно однородному магнитному полю напряженностью 10 кА/м. По контуру кратковременно пропустили ток силой 2 А, и контур начал свободно вращаться. Определить угловое ускорение контура при пропускании тока. Момент инерции контура 10 -6 кг . м 2 .

Ток, текущий в рамке, содержащей 10 витков, создает в центре рамки магнитное поле с индукцией 0.126 Тл. Найти магнитный момент рамки, если ее радиус 10 см, и силу тока.

Очень короткая катушка содержит 1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной 0.1 м. Найти магнитный момент катушки при силе тока 1 А.

Магнитный момент витка равен 0.2 Дж/Тл. Определить силу тока в витке, если его диаметр 0.1 м.

Напряженность магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент витка равен 1 А/м 2 . Вычислить силу тока в витке и радиус витка.

По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d=1 м от его плоскости магнитная индукция равна 110 -8 Тл. Определить магнитный момент кольца с током. Считать R много меньшим d.

Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом 5310 -12 м. Вычислить магнитный момент эквивалентного кругового тока и механический момент, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция поля равна 0.1 Тл.

Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите. Найти отношение магнитного момента эквивалентного кругового тока к моменту импульса орбитального движения электрона. Указать направления векторов магнитного момента и момента импульса.

Тонкое кольцо, несущее равномерно распределенный заряд 10 нКл, вращается с частотой 10 Гц относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Найти магнитный момент кругового тока, создаваемого кольцом; отношение магнитного момента к моменту импульса, если масса кольца 10 г. Внешний радиус кольца 10 см, внутренний – 5 см.

Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 15 см, содержащая 200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 0.1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Найти механический момент, действующий на рамку, когда по ней течет ток 1 мА; магнитный момент рамки при этом токе.

Короткая катушка площадью поперечного сечения 15010 -4 м 2 содержит 200 витков провода, по которому течет ток силой 4 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью 810 3 А/м. Определить магнитный момент катушки, а также вращающий момент, действующий на катушку со стороны поля, если ось катушки составляет угол 60 0 с линиями индукции.

Короткая катушка площадью поперечного сечения 2.510 -2 м, содержащая 500 витков провода, по которому течет ток силой 5 А, помещена в однородном магнитном поле напряженностью 1000 А/м. Найти: а) магнитный момент катушки; б) вращающий момент, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол 30 0 с линиями поля.

Виток диаметром 0.1 м может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток 40 А. Какой вращающий момент нужно приложить к витку, чтобы удержать его в первоначальном положении? Горизонтальную составляющую индукции магнитного поля Земли принять равной 2 . 10 -5 Тл.

Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь рамки 110 -4 м 2 . Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции, равной 510 -3 Тл. Когда через гальванометр был пропущен ток силой 210 -6 А, рамка повернулась на 10 0 . Найти постоянную кручения нити. Указание: угол считать малым.

Период небольших колебаний маленькой магнитной стрелки вокруг вертикальной оси в магнитном поле Земли равен 0.7 с. Период колебаний той же стрелки, помещенной внутри соленоида, по которому идет ток, равен 0.1 с. Затухание колебаний в обоих случаях невелико. Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли равна 14.3 А/м. Определите напряженность магнитного поля внутри соленоида.

Тонкий провод в виде кольца массой 310 -3 кг свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу пущен ток 2 А. Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 1.2 с. Найти магнитную индукцию поля. Указание: момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости кольца, равен .

Из тонкой проволоки массой 4 г изготовлена квадратная рамка, свободно подвешенная на неупругой нити, по которой пропущен ток силой 8 А. Определить частоту малых колебаний рамки в магнитном поле с индукцией 0.02 Тл.

Две катушки, магнитные моменты которых равны 0.08 А . м 2 и 0.12 А . м 2 , расположены так, что их оси находятся на одной прямой. Расстояние между ними 1 м велико по сравнению с размерами катушек. Определить силу их взаимодействия.

Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент 30 Асм 2 , находится на оси кругового витка радиусом 20 см, по которому течет ток 15 А. Найти силу, действующую на катушку, если ее расстояние от центра витка равно 40 см, а вектор магнитного момента катушки совпадает по направлению с осью витка.

По круговому витку радиуса 22 см течет ток 15 А. На оси витка на расстоянии 37 см от его плоскости находится небольшой контур с током, магнитный момент которого составляет угол 45 с осью витка. Момент сил, действующих на малый контур, равен 10 -8 Н . м. Определить магнитный момент контура.

Тонкий провод в виде квадрата свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле с индукцией 0.005 Тл за середину одной из сторон. По кольцу пущен ток 1.2 А. Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 0.8 с. Найти массу провода.

Из тонкой проволоки массой 4 г изготовлена квадратная рамка, свободно подвешенная на неупругой нити, по которой пропущен ток. Частота малых колебаний рамки в магнитном поле с индукцией 0.02 Тл равна 0.5 Гц. Определить силу тока.

Две катушки, магнитные моменты которых равны 0.10 А . м 2 и 0.16 А . м 2 , расположены так, что их оси находятся на одной прямой. Сила их взаимодействия равна 10 нН. Определить расстояние между ними, считая его большим по сравнению с размерами катушек.

Небольшая катушка с током находится на оси кругового витка радиусом 10 см, по которому течет ток 20 А. Сила, действующая на катушку, равна 0.4 нН, её расстояние от центра витка равно 50 см. Вектор магнитного момента катушки совпадает по направлению с осью витка. Найти магнитный момент катушки.

По круговому витку радиуса 22 см течет ток 15 А. На оси витка на расстоянии 37 см от его плоскости находится небольшой контур с током, магнитный момент которого равен 31 Асм 2 и составляет угол 30 с осью витка. Определить момент сил, действующих на малый контур.

# По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0.24 мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень имеет массу 12 г.

# Тонкий диск радиусом 10 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд 0.2 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой 20 Гц относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Найти: 1) индукцию магнитного поля в центре диска; 2) магнитный момент кругового тока, создаваемого диском; 3) отношение магнитного момента к моменту импульса, если масса диска 10 г.

# Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь рамки 1 см 2 , она расположена вдоль силовых линий магнитного поля с индукцией 15 мТл. Когда через рамку пропустили ток 5 мкА, рамка повернулась на угол 5 0 . На какой угол рамка повернется при токе 7.5 мкА? Каков модуль кручения нити?

# По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г был пропущен ток силой 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией 2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.

Источник