Меню

Максимальное значение силы тока в катушке с индуктивностью 0 2 колебательного контура равна 5



Переменный ток

На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединённых конденсатора и катушки, индуктивность которой равна 0,2 Гн. Каково максимальное значение энергии магнитного поля катушки? (Ответ дать в мкДж.)

Энергия магнитного поля: \[W=\frac<2>,\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(I\) – сила тока на катушке.
Максимальная сила тока: \[I_=5 \text< мА>\]
Подставим в формулу энергии магнитного поля: \[W=\frac<0,2\text< Гн>\cdot5^2\cdot10^<-6>\text< А$^2$>><2>=2,5 \text< мкДж>\]

К конденсатору, заряд которого 250 пКл, подключили катушку индуктивности. Определите максимальную силу тока (в мА), протекающего через катушку, если циклическая частота свободных колебаний в контуре \(8\cdot10^7\) рад/с.

Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt,\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора.
Циклическая частота: \[\omega=\frac<1><\sqrt> \Rightarrow LC=\frac<1><\omega^2>\]
Закон сохранения для колебательного контура \[W_=W_C\] \[\frac^2><2>=\frac^2><2>=\frac^2><2C>,\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(I-\) – максимальная сила тока на катушке, \(C\) – ёмкость конденсатора, \(U_\) – максимальное напряжение, \(q_\) – максимальный заряд на конденсаторе.
Тогда максимальная сила тока равна \[I_=\sqrt<\frac^2>>=q_\omega=250\cdot10^<-12>\text< Кл>\cdot8\cdot10^7\text< рад/с>=20 \text< мА>\]

Заряженный конденсатор емкостью 4 мкФ подключили к катушке с индуктивностью 90 мГн. Через какое минимальное время (в мкс) от момента подключения заряд конденсатора уменьшится в 2 раза?

Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt,\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора. Циклическая частота: \[\omega=\frac<1><\sqrt>\] Так как конденсатор изначально заряжен, то колебания можно описывать законом: \[q=q_cos(\omega t)\] \[q=0,5q_\] Заменим циклическую частоту на \(\frac<1><\sqrt>\) и получим \[0,5q_=q_cos\left(\frac<1><\sqrt> t\right) \Rightarrow \frac<1><\sqrt> t=\frac<\pi><3>\] \[t=\frac<\pi \sqrt><3>=628 \text<мкс>\]

Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется со временем по закону: \(\displaystyle U = U_0sin\left(\omega t + \frac<2\pi><3>\right)\) . В момент времени \(t = T/12\) мгновенное значение напряжения равно 9 В. Определите амплитуду напряжения.

Зависимость напряжения: \[U = U_0sin\left(\omega t + \frac<2\pi><3>\right),\] \(\omega\) – циклическая частота. \[U=U_0sin\left(\frac<2\pi>\cdot\frac<12>+\frac<2\pi><3>\right)\] \[U=\frac<2>\] \[U_0=2U=18 \text< В>\]

Напряжение, при котором зажигается или гаснет неоновая лампа, включенная в сеть переменного тока, соответствует действующему значению напряжения этой сети. В течение каждого полупериода лампа горит 2/3 мс. Найдите частоту переменного тока.

Зависимость напряжения: \[U = U_0sin(\omega t),\] \(\omega\) – циклическая частота. Действующее напряжение: \[U_<\text<д>>=\frac<\sqrt<2>>\] \[U_<\text<д>> \[\frac<\sqrt<2>> \[sin(\omega t)>\frac<\sqrt<2>><2>\] \[sin(\frac<2\pi> t)>\frac<\sqrt<2>><2>\] Решая это тригонометрическое неравенство на одном периоде синусоиды получаем, что \[\frac<\pi> <4>\[\frac<1> <8>\[t=\frac<4>\] \[T=4t\] \[\nu=\frac<1><4t>=\frac<3><2\cdot4\cdot10^<-3>>=375 \text< Гц>\]

Сила тока в первичной обмотке трансформатора 2 А, напряжение на ее концах 220 В. Напряжение на концах вторичной обмотки 40 В. Определите силу тока во вторичной обмотке. Потерями в трансформаторе пренебречь.

Для идеального трансформатора можно записать ( \(P_1=P_2\) ): \[I_1U_1=I_2U_2\] где \(I_1\) и \(I_2\) – силы тока на первичной и вторичной обмотках, \(U_1\) и \(U_2\) – напряжения на первичной и вторичной обмотках, тогда сила тока на вторичной обмотке равна \[I_2=\frac=\frac<2\text< А>\cdot220\text< В>><40\text< В>>=11 \text< А>\]

Под каким напряжением находится первичная обмотка трансформатора, имеющая 1000 витков, если во вторичной обмотке 3500 витков и напряжение на ней 105 В?

Для трансформатора справедливо: \[\frac=\frac,\] где \(U_2\) и \(U_1\) – напряжения на вторичной и первичной обмотках, \(N_2\) и \(N_1\) – количество витков на вторичной и первичной обмотках, тогда напряжение на первичной обмотке \[U_1=\frac=\frac<105\text< В>\cdot1000><3500>=30 \text< В>\]

Источник

Очень надо) буду благодарна)

1) В колебательном контуре зависимость силы тока от времени описывается уравнением: i = 0,5 sin 10 в пятой степени Пи t. Все виличины заданы в системе Си. Определите частоту электромагнитных колебаний и индуктивность катушки если максимальнаяэнергия магнитного поля 5*10 в -4 степени Дж.
2) Конденсатор ёмкостью 50 пФ сначала подключили к источнику тока с ЭДС 3 В, а затем катушки индуктивностью 5,1 мкГн. Найдите максимальное значение силы тока в этом контуре.

Задача №1. Дано: i = 0,5 sin 10 в пятой степени Пи t. W= 5*10 в -4 степени Дж. Определить: L – ?
ν — ?Решение. 1). Сравним уравнение с уравнением колебаний в контуре в общем виде.
i = i0 sin 2п ν t. Максимальная сила тока в контуре i0 = 0,5А Для определения частоты
колебаний сравним аргументы функций 2п ν t. = 10 в пятой степени Пи t . 2 ν = 10 (в 5 ст.) ,
следовательно, ν = 5*10( в 4 ст) (Гц) . 2). Энергия магнитного поля катушки равна
W = Li0(кв) /2; i0 — максимальная сила тока. L = 2W/i(кв) . Вычислим: L = 2*5*10(в 4 ст) /0,5*0,5 =
4*10 (в минус 3 ст .)Гн = 4 мГн.
Задача №2. Дано: C = 5*10 (в минус 12 ст. ) Ф; Е = 3В; L = 5,1 мкГн = 5,1*10(в минус6 ст) Гн.
Определить i0 — ?
Решение. Максимальная энергия конденсатора равна W = CU (кв) /2; Она равна максимальной энергии катушки индуктивности. катушки индуктивности. W = Li0(кв) /2 Максимальное напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника тока. Приравниваем энергии CU (кв) /2 = Li0(кв) /2; Отсюда находимi0 = U* «корень квадратный» из ( C/L). Вычислим: i0 = 3* «корень квадратный» из
(5*10 (в минус 12 ст. ) Ф /5,1*10(в минус 6 ст. ) ) = 0,9*10( в минус 3 ст) А = 0,9мА. Успеха вам и «питерки»!

Читайте также:  Что делать если стреляешься током

Источник

Максимальное значение силы тока в катушке с индуктивностью 0 2 колебательного контура равна 5

индуктивность колебательного контура

Задача 60501

На рисунке приведен график зависимости силы тока от времени в ходе свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, индуктивность катушки которого равняется 0,45 мГн.

а) Вычислите емкость конденсатора и полную энергию колебательного контура.
б) Определите, какими будут через 1,0 мкс после начала отсчета времени: фаза колебаний, сила тока в контуре, энергия магнитного поля катушки, энергия электрического поля конденсатора, заряд на пластинах конденсатора.
в) Через какой наименьший интервал времени энергия магнитного поля катушки будет в два раза больше энергии электрического поля конденсатора?

Задача 12199

Индуктивность L колебательного контура равна 0,5 мГн. Какова должна быть электроемкость С контура, чтобы он резонировал на длину волны λ = 300 м?

Задача 15179

Индуктивность колебательного контура L = 1,5 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 300 м?

Задача 15188

Индуктивность колебательного контура L = 0,5 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 400 м?

Задача 15203

Индуктивность колебательного контура L = 0,2 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 600 м?

Задача 15210

Индуктивность колебательного контура L = 2,5 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 500 м?

Задача 15218

Индуктивность колебательного контура L = 0,18 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 360 м?

Задача 15237

Индуктивность колебательного контура L = 23 мГн. Какова должна быть емкость контура С, чтобы он резонировал на длину волны λ = 230 м?

Задача 16200

В колебательном контуре с индуктивностью L = 10 –3 Гн происходят свободные гармонические колебания. При этом максимальные значения силы тока и заряда на обкладках конденсатора соответственно равны Im = 1 А, qm = 10 –6 Кл. Какова емкость С этого контура?

Задача 17974

В колебательном контуре с индуктивностью катушки 150 мГн совершаются электромагнитные колебания с частотой 410 Гц. Колебания напряжения на обкладках включенного в контур конденсатора описываются уравнением U = Um0·e –β·t ·сos(ω·t), где Um0 = 15 В и β = 0,021 с –1 . Постройте график убывания амплитуды напряжения на конденсаторе. Найдите минимальное (критическое) сопротивление резистора, который нужно включить в контур, чтобы колебания в контуре не возникали.

Задача 19286

Определить энергию WL магнитного поля катушки индуктивности колебательного контура, после того, как с момента начала колебаний пройдет время, составляющее 1/8 периода. Максимальное напряжение на конденсаторе U = 500 В, емкость конденсатора С = 1 мкФ. Активным сопротивлением пренебречь.

Задача 19315

Индуктивность колебательного контура равна 2 мГн. При какой емкости контур резонирует на длину волны 600 м? Как изменится длина волны, если индуктивность контура увеличить в два раза?

Задача 19475

В колебательном контуре с индуктивностью 350 мГн возникли гармонические колебания с периодом 6 мс. Найдите уравнение колебаний для заряда на конденсаторе, которые возникнут в контуре, если в контур включить последовательно дополнительный конденсатор емкостью 3 мкФ, зарядить оба конденсатора до общего напряжения 45 В и затем подключить конденсаторы к катушке индуктивности. Постройте график зависимости заряда от времени. Вычислите максимальную электрическую энергию этого колебательного контура.

Задача 19647

Магнитный поток Фs самоиндукции, пронизывающий катушку индуктивности колебательного контура, в котором происходят ЭМК, изменяется со временем так, как показано на рисунке. Какой точке, из выделенных на графике, соответствует максимальный ток самоиндукции?

Задача 22226

В колебательном контуре с индуктивностью 350 мГн возникли гармонические колебания с периодом 6 мс. Запишите уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора, которые возникнут в контуре, если в контур включить последовательно с имеющимся конденсатором дополнительный конденсатор емкостью 3 мкФ, зарядить оба конденсатора до общего напряжения 45 В и затем подключить конденсаторы к катушке индуктивности. Постройте график зависимости заряда от времени.

Источник

Учебники

Разделы физики

Журнал «Квант»

Лауреаты премий по физике

Общие

Слободянюк А.И. Физика 10/18.8

§18. Переменный электрический ток

18.8 Колебательный контур.

18.8.1 Свободные колебания в контуре.

Img Slob-10-18-262.jpg

Рассмотренные в предыдущих разделах цепи переменного тока наводят на мысль, что пара элементов – конденсатор и катушка индуктивности образуют своеобразную колебательную систему. Сейчас мы покажем, что это действительно так, в цепи состоящей только из этих элементов (рис. 262) возможны даже свободные колебания, то есть без внешнего источника ЭДС. Поэтому цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром.

Img Slob-10-18-263.jpg

Пусть конденсатор зарядили до заряда q и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис. 263: сначала ключ К замыкают в положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

Читайте также:  Пороговым неотпускающим называется ток величиной

Для определения зависимости заряда конденсатора от времени q(t) применим закон Ома, согласно которому напряжение на конденсаторе \(

U_C = \frac\) равно ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке \(

\varepsilon_ = -L \frac<\Delta I> <\Delta t>= LI’\) (здесь, «штрих» означает производную по времени). Таким образом, оказывается справедливым уравнение

В этом уравнении содержится две неизвестных функции – зависимости от времени заряда q(t) и силы тока I(t), поэтому его решить нельзя. Однако сила тока является производной от заряда конденсатора q′(t) = I(t), поэтому производная от силы тока является второй производной от заряда

С учетом этого соотношения, перепишем уравнение (1) в виде

Поразительно, но это уравнение полностью совпадает с хорошо изученным нами уравнением гармонических колебаний (вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой этой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности \(x» = -\omega^2_0 x\))! Следовательно, решением этого уравнения будет гармоническая функция

q = A \cos (\omega_0 t + \varphi)\) (4)

с круговой частотой

Эта формула определяет собственную частоту колебательного контура. Соответственно период колебаний заряда конденсатора (и силы тока в контуре) равен

T = 2 \pi \sqrt\) . (6)

Полученное выражение для периода колебаний называется формулой Дж. Томпсона.

Как обычно, для определения произвольных параметров A, φ в общем решении (4) необходимо задать начальные условия – заряд и силу тока в начальный момент времени. В частности, для рассмотренного примера цепи рис. 263, начальные условия имеют вид: при t = 0 q = q, I = 0, поэтому зависимость заряда конденсатора от времени будет описываться функцией

q = q_0 \cos \omega_0 t\) , (7)

а сила тока изменяется со временем по закону

I = — \omega_0 q_0 \sin \omega_0 t\) . (8)

Img Slob-10-18-264.jpg

Следует отметить, что приведенное рассмотрение колебательного контура является приближенным – любой реальный контур обладает активным сопротивлением (соединительных проводов и обмотки катушки). Поэтому в уравнении (1) следует учесть падение напряжения на этом активном сопротивлении, поэтому это уравнение приобретет вид

который с учетом связи между зарядом и силой тока, преобразуется к форме

Это уравнение нам также знакомо – это уравнение затухающих колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’\), причем коэффициент затухания, как и следовало ожидать, пропорционален активному сопротивлению цепи \(

Процессы, происходящие в колебательном контуре, могут быть также описаны и с помощью закона сохранения энергии. Если пренебречь активным сопротивлением контура, то сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной, что выражается уравнением

которое также является уравнением гармонических колебаний с частотой, определяемой формулой (5). По свое форме это уравнение также совпадает уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе.

Img Slob-10-18-265.jpg

На рис. 265 такая аналогия проведена для колебаний математического маятника. В этом случае аналогами являются «заряд конденсатора q(t) – угол отклонения маятника φ(t)» и «сила тока I(t) = q′(t) – скорость движения маятника V(t)».

Пользуясь этой аналогией, качественно опишем процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к нижней точки с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг нижней точки, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог – маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

18.8.2 Вынужденные колебания в контуре.

Как уже было сказано, в реальном колебательном контуре колебания будут затухающими [1] из-за неизбежного выделения теплоты на активном сопротивлении (которым мы пренебрегли). Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в контуре необходим внешний источник энергии, иными словами нам необходимо рассмотреть вынужденные колебания. Один из возможных вариантов осуществления таких колебаний мы уже рассмотрели при изучении темы «Резонанс напряжений», где мы фактически изучили колебания в контуре, внутрь которого включен источник переменной ЭДС, который может считаться аналогом внешней вынуждающей силы.

Чтобы явным образом показать, что явление резонанса напряжений можно рассматривать как вынужденные колебания, перепишем использованное уравнение закона Ома

\varepsilon(t) = U_R(t) + U_C(t) + U_L(t)\) .

Для чего подставим в него явные выражения для напряжений на элементах цепи \(

U_L = -\varepsilon_ = LI’ = Lq»\) и ЭДС источника \(\varepsilon = U_0 \cos \omega t\):

Lq» + \frac + Rq’ = U_0 \cos \omega t\)

и перепишем его в виде

q» = -\frac<1> q — \frac q’ + \frac \cos \omega t\) ,

Читайте также:  Как самому сделать преобразователь тока

который полностью совпадает с уравнением вынужденных колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’ + f_0 \cos \omega t\).

Img Slob-10-18-266.jpg

Рассмотрим теперь возможность возникновения вынужденных колебаний в контуре, когда источник переменной ЭДС находится вне контура [2] , как показано на рис. 266. Расчет данной цепи проведем, используя метод векторных диаграмм (которая также представлена на рис. 266). В данном случае нас, прежде всего, будет интересовать сила тока в колебательном контуре.

Так как конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно, то мгновенные напряжения (UC, UL) на этих элементах одинаковы. Обозначим это напряжение U1. Построение диаграммы следует начинать с построения вектора, изображающего колебания этого напряжения. Далее построим векторы, изображающие колебания сил токов через конденсатор IC и катушку индуктивности IL — эти векторы перпендикулярны вектору напряжения U1 и противоположны друг другу. Как обычно, колебания токов через конденсатор и через катушку индуктивности происходят в противофазе. Колебательный контур соединен последовательно с резистором, поэтому сумма токов IC и IL (конечно, их мгновенных значений) равна силе тока через резистор IR. Вектор изображающий напряжение на резисторе UR, сонаправлен с вектором суммарного тока. Наконец сумма векторов напряжения на резисторе UR и напряжения на контуре U1 равна ЭДС источника.

Построенная векторная диаграмма позволяет рассчитать амплитудные значения токов и напряжений на элементах данной цепи. Выразим традиционным образом амплитудные значения сил токов через конденсатор и катушку через амплитуду напряжения на контуре

Амплитуда силы тока через резистор (и через источник) определяется из векторной диаграммы и равна

I_ = (I_ — I_) = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)\) . (2)

Теперь можно записать выражение для амплитуды напряжения на резисторе

U_ = I_R = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right) R\) . (3)

Далее, глядя на диаграмму напряжений, запишем теорему Пифагора для вектора ЭДС источника ⎟ ⎟

U^2_0 = U^2_ + U^2_ <10>= U^2_ <10>\left( 1 + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 R^2 \right) = U^2_ <10>R^2 \left( \frac<1> + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 \right)\) , (4)

здесь U — амплитуда ЭДС источника.

Из этого уравнения легко определить напряжение на резисторе

Наконец, с помощью формул (1), (2), (3), запишем выражения для сил токов в рассматриваемой цепи

Проанализируем зависимость этих величин от частоты источника ЭДС. Во всех формулах под корнем имеется два положительных слагаемых, причем только второе зависит от частоты. При частоте

равной собственной частоте колебательного контура второе слагаемое под корнем обращается в ноль, поэтому можно ожидать, что вблизи этой частоты силы токов через конденсатор и катушку достигают максимального значения. Понятно, что максимумы функций IL0(ω) и IC0(ω) несколько смещены от частоты ω, потому, что частота источника ω присутствует и вне корня. Однако, если первое слагаемое под корнем (\(\frac<1>\)), мало, то сдвиг максимума от значения ω = ω будет незначительным. Отметим, также, что при \(

\omega = \omega_0 = \frac<1><\sqrt>\) амплитуды токов через конденсатор и катушку оказываются равными. Действительно, в этом случае

Img Slob-10-18-267.jpg

Но самое неожиданное, что при ω = ω сила тока через резистор обращается в нуль! Соответственно, напряжение на колебательном контуре становится равным ЭДС источника, что также следует и из полученных формул для токов в контуре. Схематические графики зависимостей [3] амплитуд токов от частоты источника показаны на рис.267. Понятно, что при ω → 0 и ω → ∞ сопротивление контура стремится к нуля и в этом случае сила тока через резистор стремится к своему предельному значению \(

Таким образом, мы показали, что в рассмотренной цепи при частоте источника стремящейся к собственной частоте контура амплитуда силы тока в контуре резко возрастает, наблюдается явление резонанса, следовательно, колебательный контур можно использовать для выделения колебаний требуемой частоты. Интересно, отметить, что острота пика возрастает с ростом сопротивления резистора, находящегося вне контура.

В заключение данного раздела, обсудим, почему при ω = ω сила тока во внешней для контура цепи обращается в нуль. Колебания токов через конденсатор IC и через катушку индуктивности происходят в противофазе IL, а в случае ω = ω амплитуды этих токов сравниваются, в результате чего формально и получается нулевое значение для суммарного тока. Фактически в этом случае электрический ток циркулирует в колебательном контуре, не выходя из него. Подчеркнем, что наш анализ проведен для установившегося режима колебаний – в переходном режиме ток через резистор (и через источник идет) обеспечивая контур энергией. Когда колебания установятся, подкачка энергии становится излишней, так как мы пренебрегли потерями энергии в контуре. Обратите внимание, что при ω = ω сила тока в контуре не зависит сопротивления внешнего резистора, а полностью определяется параметрами контура.

Вспомните, что вынужденные колебания механических систем обладают тем же свойством – при точном резонансе и при отсутствии сил сопротивления работа внешней силы также обращается в нуль.

Если же рассмотреть реальный контур, обладающий активным сопротивлением, то между током в контуре и напряжением на нем разность фаз будет отлична от нуля, поэтому энергия источника будет поступать в контур, компенсируя потери. В этом случае также будет отличен от нуля и ток во внешней цепи.

Источник