Меню

Характеристическое уравнение цепи постоянного тока имеет вид



Характеристическое уравнение цепи постоянного тока имеет вид

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

  • непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);
  • путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;
  • на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

j w заменяется на оператор р;

полученное выражение приравнивается к нулю.

совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

Заменив j w на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом

В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

  1. Запись выражения для искомой переменной в виде
    . (2)
  2. Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.
  3. Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t — см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.
  4. Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).
  5. Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении к источнику напряжения

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

откуда и постоянная времени .

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

В соответствии с первым законом коммутации . Тогда

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

а напряжение на катушке индуктивности – выражением

Качественный вид кривых и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,

Таким образом, окончательно получаем

Анализ полученного выражения (6) показывает:

  1. При начальной фазе напряжения постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.
  2. При свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где

, максимум тока имеет место примерно через . В пределе при .

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: .

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: .

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности от источника питания

Читайте также:  Доклад способы передачи тока

При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности .

В соответствии с первым законом коммутации

Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

и напряжение на катушке индуктивности

Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

3. Заряд и разряд конденсатора

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе .

Из характеристического уравнения

определяется корень . Отсюда постоянная времени .

При t=0 напряжение на конденсаторе равно (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда и

Соответственно для зарядного тока можно записать

В зависимости от величины : 1 — ; 2 — ; 3 — ; 4 — — возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени .

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

Соответственно разрядный ток

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором .
  2. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический?
  3. Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?
  4. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом?
  5. Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?
  6. Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если .

Определить в цепи на рис. 9, если , , , .

Источник

Портал ТОЭ

6.2 Классический метод расчёта переходных процессов

Анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R , L , C (рис. 6.2 ) сводится к решению линейных неоднородных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

где i ( t ) – переходный ток.

Дифференцированием приводим это уравнение к неоднородному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

Порядок дифференциального уравнения определяется числом накопителей энергии в цепи.

Решение дифференциального уравнения:

где i пр ( t ) – частное решение неоднородного уравнения, принуждённая составляющая, ток в установившемся режиме, когда переходный процесс закончен (при t = ∞ );
i св ( t ) – общее решение однородного уравнения, свободная составляющая, ток во время переходного процесса, возникающий вследствие изменения электрических и магнитных полей.

Таким образом здесь используется метод наложения. Физически существует только i ( t ) , а разложение его на i пр и i св является математическим приёмом, облегчающим расчёт переходного процесса.

Расчёт принуждённой составляющей сводится к расчёту по известным методам установившегося значения искомой величины в схеме после коммутации.

Для расчёта свободной составляющей следует найти корни характеристического уравнения p k и n постоянных интегрирования A k .

Если характеристическое уравнение

имеет n различных корней p k ( k = 1 , 2 , … ,n ) , то

Корню p k кратности m k ≥ 1 соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Чтобы определить постоянные интегрирования A k , необходимо знать значения искомой величины и всех её производных до ( n − 1) порядка включительно в момент времени t = 0+ . Для их определения используются законы коммутации.

Составление характеристического уравнения

    Составляем уравнение электрического состояния цепи для свободного режима (т.е. при устранении вынужденной (принуждающей) силы). Это соответствует схеме с исключёнными источниками – источники ЭДС закорачиваются, ветви с источниками тока размыкаются.

Например для рис. 6.3 :

  • Характеристическое уравнение получается приравниванием нулю определителя контурной ℤ (K) ( p ) или узловой Y (У) ( p ) матрицы. При составлении этих матриц сопротивление индуктивности (ёмкости) считают равным pL m (1 ∕pC m ) :
  • Характеристическое уравнение получается при Z вх ( p ) = 0 ,Y вх ( p ) = 0 ,
    где Z вх ( p ) – входное сопротивление схемы относительно двух зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви схемы;
    Y вх ( p ) – входная проводимость схемы относительно произвольной пары узлов схемы.
  • Корни характеристического уравнения – собственные частоты цепи, т.к. они определяют характер свободных процессов.

    Степень характеристического уравнения может быть определена по электрической схеме без составления уравнения: она равна числу основных независимых начальных условий в послекоммутационной схеме после максимального её упрощения и не зависит от числа ЭДС в схеме.

    Упрощение заключается в том, что последовательно и параллельно соединённые реактивные элементы должны быть заменены эквивалентными.

    Рассмотрим схему на рис. 6.4 . Три реактивных элемента в упрощённой схеме определяют три независимых начальных условия, т.е. порядок характеристического уравнения равен трём.

    Свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от источников энергии, поэтому свободные токи не могут протекать сколь угодно долго в цепи, где есть активные элементы. Свободные токи должны затухать, в связи с этим действительные части корней p k характеристического уравнения должны быть отрицательными.

      Так, при наличии одного корня p = − a

    Источник

    Характеристическое уравнение цепи постоянного тока имеет вид

    Все найденные как следствие функции имеют разрыв в точке t = 0.

    Рис. 3.6. Графики переходного процесса: а)ток в индуктивности; б)напряжение на индуктивности

    Например, график функции , изображенный на рис.3.6б, претерпевает скачок от нулевого значения до уровня — L (A — отрицательно), а затем плавно уменьшается до нулевого значения. Это означает, что, как правило, для функций, которые не являются переменными состояния, законы коммутации не выполняются, и, следовательно, определение для них постоянных интегрирования встречает дополнительные трудности. Если сразу искать выражения для этих функций, то требуется провести дополнительное исследование состояния цепи для момента времени t = 0+. Предложенный в этом пособии путь решения задачи через переменные состояния является наиболее оптимальным, так как требует знания только основных начальных условий, определяемых законами коммутации.

    Пример 3.2. В цепи рис.3.7а найти закон изменения напряжения на емкости после размыкания ключа S, если цепь питается от источника постоянного тока J = const.

    Предварительный анализ цепи показывает, что до размыкания ключа S ток источника протекал по параллельно соединенным сопротивлениям и , при этом емкость была заряжена до некоторого напряжения . После размыкания ключа сопротивление уже не участвует в переходном процессе, и структура цепи принимает вид рис.3.7б. В измененной цепи переходный процесс возникает за счет действия независимого источника энергии J и энергии, запасенной в емкости к моменту коммутации, в результате чего напряжение на емкости приходит к новому установившемуся состоянию.

    Рис. 3.7. Схема RC -цепи первого порядка:

    а) исходная цепь ( t б) схема после коммутации ( t >0)

    1. Составим систему уравнений цепи по законам Кирхгофа:

    где переменной состояния для этой цепи будет напряжение . С учетом компонентного соотношения сведем систему уравнений к одному уравнению относительно переменной u C

    Как и следовало ожидать, переходный процесс описывается неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решение его имеет вид

    Приравнивая нулю правую часть уравнения и делая замену на p, а также на 1, получим характеристическое уравнение

    откуда определяется единственный корень .

    Постоянную времени цепи определим как модуль обратной величины от коэффициента затухания

    Полученный результат, запишем в более общей форме

    где ; т.е. постоянная времени для цепи первого порядка с одной емкостью вычисляется как произведение емкости С и некоторого эквивалентного сопротивления . Это эквивалентное сопротивление находится как входное сопротивление цепи со стороны реактивности (здесь емкости). На рис.3.8 показана эта схема, которая построена на основе исходной цепи рис.3.7б путем исключения источника энергии — заменой его на разомкнутые зажимы, а также обозначением разомкнутых зажимов вместо емкостного элемента. По отношению к обозначенным зажимам сопротивления и соединены последовательно, следовательно, , что совпадает с ранее полученным решением.

    Второй способ определения быстрее приводит к поиску свободной составляющей режима, чем составление и решение системы уравнений.

    2. Принужденную составляющую режима определим для бесконечно большого момента времени , когда переходный процесс уже закончен, и цепь находится в новом энергетическом состоянии. Для этого момента времени схема цепи изображена на рис.3.9, где емкость С заменена разрывом ветви, поскольку сопротивление емкости постоянному току бесконечно большое. Следовательно, и , а из контура k имеем уравнение равновесия для напряжений:

    Рис. 3.8. Схема для определения Рис. 3.9. Схема для анализа

    входного сопротивления принужденных составляющих

    активного двухполюсника режима

    Объединяя свободную и принужденную составляющую режима, получим:

    3. Постоянную интегрирования A для выражения (3.15) найдем на основе второго закона коммутации (3.4):

    Формула (3.16) имеет общий характер и ей можно пользоваться для цепей первого порядка при наличии емкостного элемента. Для определения следует рассмотреть состояние цепи до коммутации (см. рис.3.10).

    Рис. 3.10. Схема для анализа докоммутационного состояния цепи

    Аналогично пункту 2 ток источника тока J создает падение напряжения на параллельно соединенных сопротивлениях и

    Это же напряжение приложено к разомкнутым зажимам m, n. Используя формулу (3.16), окончательно получим

    График переходного процесса для переменной представлен на рис.3.11.

    Рис.3.11. График переходного процесса напряжения на емкости

    Как следствие решенной задачи можно найти токи и напряжения в других элементах цепи:

    а. Ток в емкости и в резистивном сопротивлении r3

    б. Напряжение на сопротивлении :

    в. Напряжение на сопротивлениях и :

    г. Токи в сопротивлениях и :

    Все эти алгебраические преобразования достаточно очевидны. Полученные здесь как следствие функциональные выражения носят разрывный характер в точке t = 0 . Каждое из них можно определить непосредственно только после исследования цепи для момента времени t=0+,т.е. в первый момент после коммутации.

    Рассмотренные здесь примеры показывают, что для цепей первого порядка нет необходимости составлять уравнения равновесия цепи, сводить эту систему к одному дифференциальному уравнению и решать соответствующее ему характеристическое уравнение. Достаточно найти входное резистивное сопротивление со стороны реактивного элемента и воспользоваться формулой (3.11) для цепи, содержащей L, или формулой (3.14) для цепи, содержащей С.

    Общий вид решения для переменных состояния также известен:

    Определение и производится путем исследования стационарного состояния цепи для значений .

    Численные значения iL (0-) и uC (0-) находятся для момента времени t=0-, который предшествует коммутации. Для каждого временного состояния цепи целесообразно составить расчетную схему замещения и, пользуясь любыми методами анализа цепи, определить требуемую переменную.

    Пример 3.3. Для цепи, представленной на рис.3.12, найти закон изменения напряжения на емкости С после отключения от цепи идеального источника синусоидального напряжения

    До размыкания ключа S в каждом элементе цепи протекал синусоидальный ток, обусловленный источником питающего напряжения. Емкость присоединена непосредственно к источнику напряжения, и напряжение на ней в каждый момент времени такое же, как и в источнике. К моменту коммутации это напряжение будет равно

    и останется на емкости в первый момент после коммутации.

    Рис. 3.12. Схема RC –цепи при питании от источника синусоидального напряжения

    Переходный процесс в цепи будет развиваться за счет энергии, накопленной емкостью. В течение переходного процесса энергия электрического поля перейдет в тепловую энергию в резистивных элементах цепи. Следовательно, к концу переходного процесса напряжение на емкости станет равным нулю, что и определяет нулевое значение принужденной составляющей режима.

    Проведенный предварительный анализ показывает, что переходный процесс в цепи будет определяться только свободной составляющей режима:

    Постоянную времени определим по формуле (3.14), где найдем как

    входное сопротивление цепи со стороны емкости:

    Источник

    СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

    Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

    — непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (1.2), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение;

    — путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

    — на основе выражения главного определителя.

    Согласно первому способу в 1.4.1 было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения uC на конденсаторе для последовательной r-L-C-цепи (см. рис.1.6):

    на базе которого записывается характеристическое уравнение

    Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве величины, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

    Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

    1. Записывается выражение для входного сопротивления цепи на переменном токе в комплексной форме ;

    2. В полученном выражении заменяется на оператор р;

    3. Полученное выражение приравнивается к нулю.

    Уравнение совпадает с характеристическим.

    Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом источники энергии исключаются из схемы, а на их месте остаются их внутренние сопротивления.

    Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в электрической схеме магнитосвязанных ветвей. При наличии таковых необходимо осуществить магнитную развязку.

    Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) по методу входного сопротивления имеем:

    При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых оно записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов.

    Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой операций дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю.

    Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

    Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) для свободного режима имеем:

    Заменив в уравнении производную и интеграл, как сказано выше, получим алгебраическое уравнение

    Пример.

    Рассмотрим применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения на примере цепи, схема которой приведена на рис.1.7.

    Входное сопротивление относительно зажимов источника

    Заменив на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

    Приведя к общему знаменателю и приравняв числитель к нулю, получим характеристическое уравнение

    Для цепи на рис.1.7 алгебраизированная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

    Отсюда выражение для главного определителя этой системы

    Приравняв Δ к нулю, в итоге получим

    Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 1861 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

    Источник