Меню

Как следует выбирать направления токов в ветвях электрической цепи



Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Схема контура

Рис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Абстрактный узел

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Формула сумма токов

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

Формулы для второго правила киргхофа

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Магнитные контуры цепей

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Пример для расчёта

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

  1. 1 и 2.
  2. 1 и 3.
  3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

Решаем систему уравнений:

Система уравнений

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Система уравнений

Решая эту систему, получим:

  1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
  2. I2 = 2,19 мА.;
  3. I3 = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Источник

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Законы Кирхгофа для разветвленной цепи (разветвленная цепь – электрическая цепь, содержащая узлы – места, где сходятся не менее трех проводников):

а) По первому закону Кирхгофаалгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . Токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от узла, отрицательными.

б)Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов в участках на сопротивление этих участков равна алгебраической сумме электродвижущих сил, включенных в данный контур

,

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления замкнутых участков; – алгебраическая сумма ЭДС источников тока на замкнутом участке цепи.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.

2. Выбрать направление обхода контура; произведение положительно, если ток на участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот; ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода (перемещение происходит внутри источника тока от катода к аноду), считаются положительными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных электрических величин; каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержавшийся в предыдущих контурах.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Читайте также:  Ток звезда треугольник формула

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ногомоста Уитстона.* Сопротивления R1, R2, R3и R4 образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG.Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(10 1.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2, R3 иR4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при определении искомого сопротивления R1 э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используетсяреохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R3и R4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101. 8)

Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, a R2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R1.

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

I1 = U ; I2 = U ; I3 = U (xL3 > xC3).
r1 2 + xL1 2 r2 2 + xC2 2 r3 2 + (xL3xC3) 2

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

cos φ1 = r1 ; cos φ2 = r2 ; cos φ3 = r3 .
r1 2 + xL1 2 r2 2 + xC2 2 r3 2 + (xL3xC3) 2
Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а) и ее векторная диаграмма (б)

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

n
Q = Qk .

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

Полная мощность цепи

S = √P 2 + Q 2 .

Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:

Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная,

активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока Ia ), а другая — на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока Iр ).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UIa ;

реактивная составляющая тока — реактивную мощность

Q = UI sin φ = UIр.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I1 равна

I1a = I1 cos φ1 = U r = Ur1/z1 2 = Ug1.
z1 z1

называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I1 равна

Ilp = I1 sin φ1 = U xL = UxL/z1 2 = Ub1.
z1 z1

называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается bL.

Аналогично определяют активную g2 и реактивную b2 проводимости второй ветви цепи:

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается bC.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

а значение тока

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

где у1 = 1/z1 =g1 2 + bL1 2 — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī1 и Ī2:

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

а реактивная составляющая — арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

Рис. 2.18. К расчету разветвлен- ной цепи с использова- нием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений

Необходимо отметить, что если ΣbL > ΣbC, то эквивалентное сопротивление хэ будет индуктивным, если ΣbC > ΣbLемкостным.

Смешанное соединение потребителей.Расчет цепи при смешанном соединении потребителей (рис. 2.18, а) может быть произведен путем замены ее простейшей эквивалентной цепью. Для этого вначале определяют активные, реактивные и полные проводимости параллельно включенных ветвей: g1, g2, b1, b2, у1, у2.

Затем находят эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:

Далее определяют эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи:

В результате расчетов цепь может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 2.18, б), где все сопротивления включены последовательно. Общие активное, реактивное и полное сопротивления цепи равны

Цепь приобретает простейший вид, изображенный на рис. 2.18, в. Общий ток цепи определяют по закону Ома:

Источник

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Читайте также:  Время протекания тока через человека

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

или в комплексной форме

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<у>-1 $, где $ N_\textrm <у>$ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<в>-N_\textrm<у>+1 $, где $ N_\textrm <в>$ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ направление токов и обход контуров

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline_ <1>$, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0; $$

$$ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0; $$

$$ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_<1>; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_<2>; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_<3>; $$

где $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0 \\ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0 \\ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0 \\ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0 \\ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_ <2>\\ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_ <3>\end $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline_ & R_ <2>& 0 & -\underline_ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_ <2>& R_ <4>& 0 & \underline_ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline_ & 0 & R_<1>+\underline_ & R_ <3>\\ \end \cdot \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \underline_ <4>\\ \underline_ <5>\\ \underline_ <6>\\ \underline_ <7>\\ \end = \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline_ <1>\\ \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Источник

Законы Кирхгофа простыми словами: определение для электрической цепи

Чтобы сформулировать закон Кирхгофа для электрической цепи, потребовалось ввести новые термины в теорию – узлы, ветви и контур. Ветвями называют любой тип двухполюсной цепи. Узлом называют точку, в которой соединяются несколько ветвей. Эти элементы принадлежат одному электрическому контуру. Законы представляют собой различные соотношения между величинами тока на разных участках цепи. С их помощью можно провести расчет величины постоянных или переменных токов при помощи формул, созданный этим ученым.

Как записывается второй закон.

В данной статье будет рассказано про законы Кирхгофа, как они могут использоваться на практике и как правильно провести расчеты, связанные с ними. В качестве дополнения, статья содержит два видеоролика, одну скачиваемую статью по выбранной теме.

Законы Кирхгофа

Закон Ома устанавливает зависимость между силой тока, напряжением и сопротивлением для простейшей электрической цепи, представляющей собой один замкнутый контур. В практике встречаются более сложные (разветвленные) электрические цепи, в которых имеются несколько замкнутых контуров и несколько узлов, к которым сходятся токи, проходящие по отдельным ветвям. Значе­ния токов и напряжений для таких цепей можно находить при помощи законов Кирхгофа.

Правила Кирхгофа для тока и напряжения кратко

Первый закон

Первый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между то­ками для узлов электрической цепи, к которым подходит несколько ветвей. Согласно этому закону алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (например, положительным), а токи, направленные от узла,— с противоположным знаком (отрицательным). Например, для узла А

I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 (17)

Преобразуя это уравнение, получим, что сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от этого узла:

I1 + I2 + I3 = I4 + I5 (17′)

В данном случае имеет место полная аналогия с распределением потоков воды в соединенных друг с другом трубопроводах.

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между э. д. с. и напряжением в замкнутой электрической цепи. Согласно этому закону во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур:

Читайте также:  Амперметр включенный в цепь показывает силу тока 1 8 а правильны ли показания амперметра если

При составлении формул, характеризующих второй закон Кирхгофа, значения э. д. с. E и падений напряжений IR считают положительными, если направления э. д. с. и токов на соответствующих участках контура совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Если же направления э. д. с. и токов на соответствующих участках контура противоположны выбранному направлению обхода, то такие э. д. с. и падения напряжения считают отрицательными.

Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, в которой имеются два источника с электродвижущими силами E1 и E2, внутренними сопротивлениями Ro1, Ro2 и два приемника с сопротивлениями R1 и R2. Применяя второй закон Кирхгофа для «этой цепи и выбирая направление ее обхода по часовой стрелке,

Законы первый и второй

При этом э. д. с. E1 и ток I совпадают с выбранным направлением обхода контура и считаются положительными, а э. д. с. Е2, противоположная этому направлению, считается отрицательной. Если в электрической цепи э. д. с. источников электрической энергии при обходе соответствующего контура направлены навстречу друг другу (см. рис. 24, а), то такое включение называют встречным. В этом случае на основании второго закона Кирхгофа ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02).

Законы Кирхгофа простыми словами: определение для электрической цепи

Если же э. д. с. источников электрической энергии имеют по контуру одинаковое направление (рис. 24, б), то такое включение называют согласным и ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02). В некоторых случаях такое включение недопустимо, так как ток в цепи резко возрастает.

Если в электрической цепи имеются ответвления (рис. 24, в), то по отдельным ее участкам проходят различные токи I1 и I2. Согласно второму закону Кирхгофа E1-E2=I1R01+I1R1-I2R2-I2R02-I2R3+I1R4.

При составлении этого уравнения э. д. с. Е1 и ток I1 считаются положительными, так как совпадают с принятым направлением обхода контура, э. д. с. Е2 и ток I2 — отрицательными.

Алгебраическая сумма разностей потенциалов

Закон напряжения по Густаву Кирхгофу — второй закон этого автора, используемый для анализа электрической схемы. Вторым законом Кирхгофа утверждается, что для последовательного замкнутого контура алгебраическая сумма всех напряжений по кругу любой замкнутой цепи равна нулю. Утверждение обусловлено тем, что контур цепи является замкнутым проводящим путём, где потери энергии исключаются. Другими словами, алгебраическая сумма разностей потенциалов замкнутого контура теоретически равняется нулю:

Следует обратить внимание: под термином «алгебраическая сумма» имеется в виду учёт полярностей и признаков источников ЭДС, а также падения напряжений по кругу контура. Эта концепция закона Кирхгофа, известная как «сохранение энергии», как движение по кругу замкнутого контура или схемы, утверждает логику возврата к началу цепи и к первоначальному потенциалу без потери напряжения по всему контуру.

Законы Кирхгофа простыми словами: определение для электрической цепи

Отсюда следует вывод: применяя Второй закон Кирхгофа к определенному элементу электрической схемы, важно обращать особое внимание на алгебраические знаки падений напряжения на элементах (источниках ЭДС), иначе вычисления оборачиваются ошибкой.

Одиночный контурный элемент — резистор

Простым примером с резистором предположим — ток протекает в том же направлении, что и поток положительного заряда. В этом случае поток тока через резистор протекает от точки A до точки B. Фактически — от положительной клеммы до отрицательной клеммы. Таким образом, поскольку движение положительного заряда отмечается в направлении аналогичном направлению течения тока, на резистивном элементе зафиксируется падение потенциала, которое приведет к падению минусового потенциала на резисторе (— I * R).

Если же поток тока от точки B до точки A протекает в противоположном направлении относительно потока положительного заряда, тогда через резистивный элемент отметится рост потенциала, поскольку имеет место переход от минусового потенциала к потенциалу плюсовому, что даёт падение напряжения (+ I * R). Таким образом, чтобы правильно применить закон Кирхгофа по напряжению к электрической цепи, необходимо точно определить направление полярности. Очевидно, знак падения напряжения на резисторе зависит от направления тока, протекающего через резистор.

Направление потока тока по замкнутому контуру допустимо определять либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки, и любой вариант допустим к выбору. Если выбранное направление отличается от фактического направления тока, соответствие закону Кирхгофа получится корректным и действительным, но приведет к результату, когда алгебраический расчёт будет иметь знак минус. Чтобы лучше понять эту концепцию, логично рассмотреть ещё один пример с одним контуром цепи на соответствие Второму Закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа

Одиночный контур электрической цепи

Второй закон Кирхгофа утверждает — алгебраическая сумма разностей потенциалов любого замкнутого контура равна нулю. Демонстрационная схема действия Второго закона Кирхгофа для замкнутого контура с двумя резисторами и одним источником ЭДС. Если принять условие, что два резистора R1 и R2 соединены последовательно, оба элемента являются частью одного контура. Соответственно, одинаковый ток протекает через каждый из резисторов.

Таким образом, падение напряжения на резисторе R1 = I * R1 и падение напряжения на резисторе R2 = I * R2, дают напряжение по Второму закону Кирхгофа:

Очевидно: применение Второго закона Кирхгофа к одиночному замкнутому контуру даёт формулу эквивалентного или полного сопротивления для последовательной цепи. Допустимо расширить эту формулу, чтобы найти значения падений потенциалов по кругу контура:

Vr1 = V * (R1 / R1 + R2)

Vr2 = V * (R2 / R1 + R2)

Есть три резистора номинальным сопротивлением 10, 20, 30 Ом, соответственно. Все три резистивных элемента соединены последовательно к 12-вольтовому аккумулятору.

  • общее сопротивление,
  • ток цепи,
  • ток через каждый резистор,
  • падение напряжения на каждом резисторе.

Рассчитаем общее сопротивление:

Ro = R1 + R2 + R3 = 10Ω + 20Ω + 30Ω = 60Ω

I = V / Ro = 12 / 60 = 0,2A (200 мА)

Ток через каждый резистор:

I * R1 = I * R2 = I * R3 = 0,2A (200 мА)

Падение потенциала на каждом из резисторов:

VR1 = I * R1 = 0.2 * 10 = 2В

VR2 = I * R2 = 0.2 * 20 = 4В

VR3 = I * R3 = 0.2 * 30 = 6В

Таким образом, Второй закон Кирхгофа справедлив, учитывая что индивидуальные падения напряжения, отмеченные по кругу замкнутого контура, в итоге составляют сумму напряжений.

Законы Кирхгофа простыми словами: определение для электрической цепи

Вывод

Теория второго закона Кирхгофа, также известного как закон сохранения потенциала, особенно полезна для работы с последовательными схемами. Последовательные схемы действуют как делители потенциала, а цепь делителя потенциала — это важный узел многих электрических (электронных) схем.

Второй закон

Для расчетов сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии используют второй закон Кирхгофа, который может быть сформулирован так: во всяком замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма всех э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях, включенных последовательно в эту цепь, т. е.

При этом положительными следует считать э. д. с. и токи, направление которых совпадает с направлением обхода контура.
Если в электрическую цепь включены два источника энергии, э. д. с. которых совпадает по направлению (рис. 20, а), то э. д. с. всей цепи равна сумме э. д. с. этих источников, т. е. E = E1 + E2. Если же в цепи э. д. с. источников имеют противоположные направления, то результирующая э. д. с. равна разности э. д. с. этих источников, т. е.

Второй закон Кирхгофа.

При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением э. д. с. общая э. д. с. равна алгебраической сумме э. д. с. всех источников. При суммировании э. д. с. одного направления берут со знаком плюс, а э. д. с. противоположного направления — со знаком минус. При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов.

Замкнутая цепь обозначена буквами а, б, в и г. Ввиду наличия ответвлений в точках а, б, в, г токи I1, I2, I3 и I4, отличаясь по силе, могут иметь различные направления.
Для такой цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно написать:

где r01, r02, r03 — внутренние сопротивления источников энергии,
r1, r2, r3, r4 — сопротивления приемников энергии.
В частном случае при отсутствии ответвлений и последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме всех сопротивлений.
Если внешняя цепь источника энергии с внутренним сопротивлением r состоит, например, из трех последовательно соединенных проводников с сопротивлениями, соответственно равными r1, r2, r3, то на основании второго закона Кирхгофа можно написать следующее равенство:

При нескольких источниках тока в левой части этого равенства была бы алгебраическая сумма э. д. с. этих источников.

Источник

Как следует выбирать направления токов в ветвях электрической цепи



Порядок расчета. 1. Произвольно выбираем направление токов в ветвях

date image2014-02-04
views image762

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

1. Произвольно выбираем направление токов в ветвях. Количество токов равно количеству ветвей. Если в результате расчета ток окажется отрицательным, то направление тока выбрано неверно.

2. Составляем уравнение по 1 и 2 правилу Кирхгофа. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных токов.

3. Число уравнений, составленных по 1 закону Кирхгофа, должно быть равно , где количество узловых точек.

Остальные недостающие уравнения составляют по 2-му закону Кирхгофа. При этом произвольно выбирают положительное направление обхода контура. Если оно совпадает с направлением ЭДС, то его берут со знаком «+» и наоборот.

Если направление тока контура совпадает с направлением тока через резистор, то падение напряжения на резисторе берут со знаком «+» и наоборот.

Источник

Правила законы Кирхгофа простыми словами

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Ток I 1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I 1 = I 2 + I 3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i 1, i 2, i 3, i 4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i 1 + i 2 + i 3 + i 4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Читайте также:  Устройство трансформаторов трехфазного тока

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где L k и C k – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i 1, i 2, i 3, i 4. Из них – два входящие ( i 2, i 3) и два исходящие из узла (i 1, i 4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i 1 + i 2 + i 3 – i 4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Читайте также:  Прямолинейный проводник длиной 0 5 м сила тока в котором 5 а находится в магнитном

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

  1. 1 и 2.
  2. 1 и 3.
  3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I 1 + I 2 – I 3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Источник

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

Возможно, для турбо-версии статьи у вас некорректно отображаются формулы. Для корректного отображения статьи посмотрите оригинальную версию.

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

или в комплексной форме

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<у>-1 $, где $ N_\textrm <у>$ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<в>-N_\textrm<у>+1 $, где $ N_\textrm <в>$ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline_ <1>$, не рассматривается.

Читайте также:  Формула для силы взаимодействия двух параллельных токов

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0; $$

$$ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0; $$

$$ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_<1>; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_<2>; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_<3>; $$

где $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0 \\ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0 \\ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0 \\ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0 \\ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_ <2>\\ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_ <3>\end $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline_ & R_ <2>& 0 & -\underline_ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_ <2>& R_ <4>& 0 & \underline_ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline_ & 0 & R_<1>+\underline_ & R_ <3>\\ \end \cdot \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \underline_ <4>\\ \underline_ <5>\\ \underline_ <6>\\ \underline_ <7>\\ \end = \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline_ <1>\\ \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Источник

Adblock
detector