Меню

Как построить топографические диаграмму токов



Топографическая диаграмма

ads

Напряжение на выводах цепи переменного тока или на любом из её участков можно выразить комплексным числом – комплексным напряжением и изобразить на комплексной плоскости вектором. Напряжение между двумя точками электрической цепи представляет собой разность потенциалов между этими точками. Следовательно, потенциалы отдельных точек цепи также можно представить комплексами – комплексными потенциалами и изображать соответствующими векторами. Вектор, изображающие комплексный потенциал, начинается в начале координат; его конец обозначают той же буквой (или цифрой), что в точке цепи, потенциал которой изображает вектор. Например, на рисунке 1 построены векторы комплексных потенциалов ϕа = 10 + j20 В и ϕб = 30 – j15 В и разность векторов или вектор напряжения Uаб = ϕа ϕб = 10 + j20 – 30 + j15 = -20 + j35 В.

Напряжение Uаб построено по правилу вычитания векторов, так что ϕа = ϕб + Uаб рисунок 1. Поэтому напряжение Uаб изображается вектором, направленным от точки б (второй индекс у напряжения Uаб) к точке а (первый индекс).

Напряжение Uба = ϕб ϕа = 30 – j15 -10 — j20 В = 20 – j35 В. Очевидно, Uба = — Uаб и изображается вектором, направленным от точки а к точке б (штриховая линия на рисунке 1).

Комплексные потенциалы

Рисунок 1 — Комплексные потенциалы

Такая векторная диаграмма называется топографической; она удовлетворяет двум условиям:

  1. Каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на векторной диаграмме и
  2. вектор, проведённый из начала координат в какую-либо точку диаграммы изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.

Построение топографической диаграммы

При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек цепи принимают равным нулю и на диаграмме точку нулевого потенциала совмещают с началом координат. На такой диаграмме отрезок, соединяющий любые две точки, также определяет комплексное напряжение между соответствующими точками цепи.

Рисунок 2 а — Неразветвлённая цепь

На рисунке 2, а представлена неразветвлённая цепь.

1) Для построения топографической диаграммы примем, например, потенциал точки д равным нулю, т.е. ϕд = 0.

2) Обходим контур в направлении, встречно току, определим потенциалы всех точек цепи. Начальную фазу общего тока примем равной нулю, т. е. I = I, поэтому вектор тока I направлен вдоль положительной полуось действительных величин.

3) Потенциал точки г или ϕг выше потенциала ϕд на падение напряжения в сопротивлении R2, т.е. на R2*I или ϕг = ϕд R2*I = 0 + R2*I = R2*I. Построив вектор R2*I, получим на диаграмме точку г.

4) Потенциал точки в или ϕв больше потенциала ϕг, на падение напряжения на индуктивном сопротивлении XL2 или в комплексной форме на jXL2*I. Построив вектор напряжения Uвг = ϕв ϕг = jXL2*I, начинающийся в точке г и опережающий ток по фазе на 90 градусов (индуктивное сопротивление — вектор направлен вверх), получим точку в.

5) Потенциал точки б или ϕб больше ϕв на падение напряжения R1*I. Построив из точки в вектор напряжения Uбв = ϕб ϕв = R1*I, параллельный току, находим точку б.

6) Потенциал точки а или ϕа больше ϕб на падение напряжения на емкости -jXc1*I. Построив из точки б вектор напряжения Uаб = ϕа ϕб = -jXc1*I, отстающий по фазе от тока на угол 90 градусов (емкостное сопротивление — вектор напряжения направлен вниз), получим точку а.

Вектор, соединяющий точки д и а направленный от точки д к точке а, изображает напряжение Uад на выходах цепи.

Необходимо учесть, что векторы напряжений на топографической диаграмме имеют по отношению к точкам цепи направления, обратные положительным направлениям напряжений относительно тех же точек цепи.

Например, напряжение Uвд = ϕв ϕд , направленное на схеме от точки в к точке д (по направлению тока), на топографической диаграмме имеет противоположное направление относительно этих точек, что согласуется с правилом вычитания векторов, согласно которому вектор разности всегда направлен в одну сторону с уменьшаемым вектором.

Источник

Построение топографической диаграммы

На рис. 2.3 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току МI: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.

В соответствии с принятыми на рис. 2.2 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.

проверка 1:

проверка 2:

проверка 3:

Выбираем масштаб по напряжению МU для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.

На рис. 2.4 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.

На рис. 2.5 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.

2.4.6. Метод узловых потенциалов

Для рассматриваемой цепи (рис. 2.6), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4.

Читайте также:  Процедуры с токами в косметологии

Имеем:

Так как в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и равен . Таким образом, число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:

собственные узловые проводимости:

общие узловые проводимости:

Решив систему уравнений, определим неизвестные и . Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:

Ток определим по I закону Кирхгофа:

Напряжение на источнике тока определим по II закону Кирхгофа:

Проверка баланса мощностей и расчет потенциалов точек для построения векторной диаграммы ведется в соответствии с алгоритмом, приведенным в пп. 4.2.4, 4.2.5.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА

Методы расчета и анализа линейных электрических цепей периодического синусоидального тока.

Все метода основана на том, что для мгновенных значений справедливы законы Кирхгофа. Следовательно, справедливы переходы от функций мгновенных значений, называемых оригиналами, к их изображениям на комплексной плоскости, которые переводят интегро-дифференциальные уравнения Кирхгофа в алгебраические.

Для расчета комплексных токов и напряжений применимы все методы, рассмотренные в цепях постоянного тока.


МУП

Где:

Однако, в цепях переменного синусоидального тока кроме классических задача на отыскание токов и напряжений часто встает вопрос о нахождении зависимости токов и напряжений, а также фаз от полного сопротивления и частоты. Полное сопротивление

Может меняться при изменении ёмкости, индуктивности и активного сопротивления, а так же при изменении частоты при неизменных элементах цепи.

На комплексной плоскости конец вектора тока или напряжения при изменении Z будет описывать некоторую кривую. Таким же образом точка изображающая полное сопротивление на комплексной плоскости будет перемещаться на этой плоскости при изменении частоты. Очень часто комплексное сопротивление изображают в виде вектора, хотя сопротивление – это не вектор, а просто комплексное число, но любое комплексное число можно изобразить как вектор. Тогда при изменении частоты вектор Z будет описывать кривую.

Кривая, которую описывает конец вектора при изменении частоты или сопротивления называется годографом. Годограф дает полное представление об изменении исследуемой величины, об её амплитуде и фазе.

Однако для большей наглядности строятся отдельно зависимости амплитуды и фазы от величины Z и ω.

Зависимость амплитуды от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Зависимость фазы от частоты называют фазочастотной характеристикой(ФЧХ).

Годограф тока при изменении сопротивления называют круговой диаграммой.

ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА

(потенциальная диаграмма на комплексной плоскости)

Потенциалы также могут изображаться на комплексной плоскости в виде точек. Потенциал – это не вектор, хотя это не простое комплексное число, а функция времени, поэтому над ним ставится точка.

Для построения топографической диаграммы необходимо рассчитать потенциалы всех точек схемы и, изобразив их на комплексной плоскости, соединить потенциалы точек в порядке их следования.

Отрезок, соединяющий потенциалы соседних точек является вектором напряжения между ними. Этот вектор направлен от меньшего потенциала к большему, в то время как на схеме направление напряжения указывается от большего потенциала к меньшему.

Поскольку можно заземлить любую точку цепи, то и начало координат можно совместить с любой точкой схемы.

Топографическая диаграмма (Векторная диаграмма токов и напряжений) иногда позволяет решить очень сложные задачи вообще без расчетов.

Дата добавления: 2016-05-28 ; просмотров: 5530 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Топографическая векторная диаграмма

date image2015-03-27
views image7213

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Частным случаем векторной диаграммы является топографическая векторная диаграмма, на которой откладываются комплексные потенциалы отдельных точек цепи по отношению к одной точке, потенциал которой принят равным нулю. Порядок расположения векторов на топографической диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи.

Отметим, что по определению топографическая диаграмма используется как геометрическая интерпретация второго закона Кирхгофа (т.е. на ней откладываются векторы напряжений).

Существуют два способа построения топографической диаграммы.

I способ.

Строят, двигаясь по элементам цепи в направлении, совпадающем с направлением тока. В этом случае вектор напряжения на диаграмме и соответствующая стрелка напряжения на схеме ориентированы одинаково – от высшего потенциала к низшему.

Рассмотрим в качестве примера цепь рис. 3.15.

Отложим на комплексной плоскости вектор тока под углом к действительной оси (рис. 3.16).

Обозначим промежуточные точки рассматриваемой цепи буквами a, b, d, h. Обход контура будем совершать по направлению тока (т. е. по часовой стрелке), принимая комплексный потенциал точки а равным нулю. Последнее приводит к тому, что на комплексной плоскости точка а расположена в начале координат (рис. 3.16).

При движении в выбранном направлении по элементам цепи из точки а (рис. 3.15) первым элементом цепи является емкость с. Откладываем на топографической диаграмме из точки а вектор напряжения на емкости , который отстает от тока на угол (рис. 3.17). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки b на векторной диаграмме.

Следующий элемент цепи при движении по направлению тока – сопротивление r (см. рис. 3.15). Откладываем на топографической диаграмме вектор напря­жения на сопротивлении , который совпадает по направлению с вектором тока (рис. 3.18).

Читайте также:  Как будто по ногам бьет током

Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки d на векторной диаграмме.

Следующий элемент цепи при движении по направлению тока – индуктивность L (см. рис. 3.15). Откладываем на топографической диаграмме вектор напряжения на индуктивности , который опережает вектор тока (рис. 3.19). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки h на векторной диаграмме.

Разность потенциалов точек a и h равна входному напряжению цепи (см. рис. 3.15). Для получения соответствующего вектора на диаграмме необходимо соединить прямой линией точки a и h. Конец вектора на диаграмме должен быть направлен так же, как и стрелка напряжения на схеме, – от точки а к точке h (рис. 3.20).

Угол между векторами напряжения и тока (рис. 3.20) равен углу сдвига фаз . В данном случае входное напряжение опережает ток и цепь имеет активно-индуктивный характер.

2 способ.

Строят, двигаясь по элементам цепи в направлении, противоположном направлению тока. В этом случае вектор напряжения на диаграмме направлен от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала. Это же напряжение на схеме указывается стрелкой противоположного направления.

Итак, будем совершать обход цепи рис. 3.21 в направлении, противоположном току, принимая комплексный потенциал точки h равным нулю.

Последнее приводит к тому, что на комплексной плоскости точка h расположена в начале координат (рис. 3.22).

При движении в выбранном направлении по элементам цепи из точки h (рис. 3.21) первым элементом цепи является индуктивность L. Откладываем на топографической диаграмме из точки h вектор напряжения на индуктивности , который опережает вектор тока (рис. 3.23). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки d на векторной диаграмме.

Продолжая движение в выбранном направлении по элементам цепи и осуществляя аналогичные построения, получим результирующую топографическую диаграмму рис. 3.24.

Сравнение векторных диаграмм рис. 3.20 и 3.24, построенных двумя способами, показывает их полную идентичность (векторы одноименных величин на диаграммах имеют одинаковое направление). Область преимущественного использования второго способа – трехфазные цепи.

Источник

Как построить топографические диаграмму токов

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Читайте также:  Пускатели электромагнитные нереверсивные без реле без кнопок номинальный ток 40а степень защиты ip54

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек:

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1. Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2. Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

; (3)
, (4)

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”.

3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что представляют собой векторные диаграммы?
  2. Что такое топографические диаграммы, для чего они служат?
  3. В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм?
  4. Какой практический смысл преобразований электрических цепей?
  5. В чем заключается принцип эквивалентности преобразований?
  6. Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3.

  • Полагая в цепи на рис. 8 известными ток и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для нее.
  • Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если .

    Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи на рис. 8.

    Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, состоящему из элементов , и .

    Источник