Меню

Как определить ток атома водорода



Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода

Условие задачи:

Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода, если радиус его орбиты 0,53·10 -10 м?

Задача №11.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженный электрон вращается вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). По условию задачи радиус орбиты электрона равен \(R\). Ядро атома водорода есть протон (нейтронов там нет, так как это не изотоп), заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^<-19>\) Кл).

Ток \(I\) есть заряд, проходящий через некоторое сечение за единицу времени, поэтому его определяют по формуле:

Понятно, что за один оборот электрона вокруг ядра водорода через любое сечение, перпендикулярное орбите, будет проходить заряд, по модулю равный модулю заряда электрона, то есть \(e\). Поэтому:

Здесь \(t\) – время, за которое электрон сделает один оборот вокруг ядра водорода (протона), его можно найти, разделив длину орбиты на скорость электрона, то есть:

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

Сила кулоновского взаимодействия зарядов электрона и протона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

Здесь \(k\) – коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 , \(m_e\) – масса электрона, равная 9,1·10 -31 кг.

Тогда сократив по радиусу \(R\) в знаменателях, имеем:

Откуда скорость вращения электрона по орбите \(\upsilon\) равна:

Подставим выражение (4) в формулу (3):

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа:

Ответ: 1 мА.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Источник

Атом водорода. Линейчатые спектры

Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году Йоханнес Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:

Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, … . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, … . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее численное значение R = 3,29·10 15 Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались непонятными.

Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии En.

Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде

Здесь me – масса электрона, υ – его скорость, rn – радиус стационарной круговой орбиты. Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из второго закона Ньютона, определяется соотношением

где e – элементарный заряд, ε – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус стационарной орбиты rn связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус первой орбиты, который называется боровским радиусом, равен

Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n 2 .

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом rn, равна

Целое число n = 1, 2, 3, … называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией En на другую стационарную орбиту с энергией Em 15 Гц,

который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 6.3.1 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий

На рис. 6.3.2. изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и указаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям.

Диаграмма энергетических уровней атома водорода. Показаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям. Для первых пяти линий серии Бальмера в видимой части спектра указаны длины волн

Читайте также:  Лабораторная работа измерение эдс внутреннего сопротивления источника тока вывод

Прекрасное согласие боровской теории атома водорода с экспериментом служило веским аргументом в пользу ее справедливости. Однако попытки применить эту теорию к более сложным атомам не увенчались успехом. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано десятилетием позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах частиц. Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 6.3.3). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами.

Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите для случая n = 4

В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн λ, т. е.

Подставляя в это соотношение длину волны де Бройля λ = h / p, где p = meυ – импульс электрона, получим:

Таким образом, боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов.

Успехи теории Бора в объяснении спектральных закономерностей в изучении атома водорода были поразительны. Стало ясно, что атомы – это квантовые системы, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Почти одновременно с созданием теории Бора было получено прямое экспериментальное доказательство существования стационарных состояний атома и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в 1913 г., в опыте Д. Франка и Г. Герца, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, т. е. в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую энергию. Это означает, то атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние,

Согласно боровской концепции, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна испускать кванты с частотой

Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути.

Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике. Поэтому возник вопрос, не опровергает ли квантовая теория ее законы.

Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т. д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 6.3.2). При больших квантовых числах n >> 1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.

Половинчатая, полуклассическая теория Бора явилась важным этапом в развитии квантовых представлений, введение которых в физику требовало кардинальной перестройки механики и электродинамики. Такая перестройка была осуществлена в 20-е – 30-е годы XX века.

Представление Бора об определенных орбитах, по которым движутся электроны в атоме, оказалось весьма условным. На самом деле движение электрона в атоме очень мало похоже на движение планет или спутников. Физический смысл имеет только вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, описываемая квадратом модуля волновой функции |Ψ| 2 . Волновая функция Ψ является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Оказалось, что состояние электрона в атоме характеризуется целым набором квантовых чисел. Главное квантовое число n определяет квантование энергии атома. Для квантования момента импульса вводится так называемое орбитальное квантовое число l. Проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление (например, направление вектора магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений. Для квантования проекции момента импульса вводится магнитное квантовое число m. Квантовые числа n, l, m связаны определенными правилами квантования. Например, орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до (n – 1). Магнитное квантовое число m может принимать любые целочисленные значения в интервале ±l. Таким образом, каждому значению главного квантового числа n, определяющему энергетическое состояние атома, соответствует целый ряд комбинаций квантовых чисел l и m. Каждой такой комбинации соответствует определенное распределение вероятности |Ψ| 2 обнаружения электрона в различных точках пространства («электронное облако»).

Состояния, в которых орбитальное квантовое число l = 0, описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (1s, 2s, …, ns, …). При значениях l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния с l = 1 называются p-состояниями, с l = 2 – d-состояниями и т. д.

На рис. 6.3.4 изображены кривые распределения вероятности ρ (r) = 4πr 2 |Ψ| 2 обнаружения электрона в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях 1s и 2s.

Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме водорода в состояниях 1s и 2s. r1 = 5,29·10 –11 м – радиус первой боровской орбиты

Читайте также:  Ток соленоида постоянного тока

Как видно из рис. 6.3.4, электрон в состоянии 1s (основное состояние атома водорода) может быть обнаружен на различных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на расстоянии, равном радиусу r1 первой боровской орбиты. Вероятность обнаружения электрона в состоянии 2s максимальна на расстоянии r = 4r1 от ядра. В обоих случаях атом водорода можно представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится ядро.

Источник

Энергетические уровни в атоме водорода

Задавая различные целочисленные значения, для атома водорода получим возможные уровни энергии. Схематически они представлены на рис. 4.1.4. Энергия атома водорода с увеличением возрастает, оставаясь отрицательной, и энергетические уровни сближаются при стремлении к бесконечности. ( при и при ). Если , электрон удален на бесконечность, т. е. оторван от атома: атом ионизован.

В соответствии со вторым постулатом Бора, переходя из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией, атом испускает квант . Для частоты излучения имеем: . Сопоставляя последнее выражение с обобщенной формулой Бальмера, получаем выражение для постоянной Ридберга: . Эта формула дает значение , хорошо совпадающее с опытом, что подтверждает верность постулатов Бора для водородоподобных систем.

Полагая в формуле для частоты спектральных линий и получаем группу линий, образующих серию Лаймана. Совершенно аналогично можно получить и линии остальных серий спектра атома водорода.

Теория Бора позволяет объяснить и спектр поглощения атома водорода. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии ( ), то при сообщении атому извне некоторой энергии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбужденное, т. е. спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана.

Подводя итог, можно заключить, что теория Бора с полной отчетливостью показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и главенствующее значение квантовых законов в микромире.

Однако после первых успехов теории яснее проявились ее недочеты. Неудачной была попытка построения теории атома гелия – одного из простейших атомов после атома водорода.

Самой слабой стороной теории Бора, вызвавшей последующие неудачи, была ее внутренняя противоречивость: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. В настоящее время ясно, что она могла быть только переходным этапом на пути создания последовательной теории атомных явлений.

Пример 5. Определить частоту света, излучаемого водородоподобным ионом при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом , если радиус орбиты изменился в раз.

Решение. Частота излучаемого света по обобщенной формуле Бальмера равна: . Радиус n-й орбиты . Отсюда отношение радиусов n-й и m-й орбит равно: . По условию задачи это отношение равно . Используя это, для частоты излучаемого света имеем: .

Пример 6. Во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его фотоном энергией ?

Решение. Энергия атома водорода , находящегося в основном состоянии равна: . При сообщении такому атому энергии он перейдет в состояние с энергией:

Отсюда получаем: . Производя вычисления, находим: .

Пример 7. Атом водорода освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны . Определить, какие спектральные линии появятся в спектре водорода.

Решение. На атом водорода падают фотоны с энергией . Здесь и – частота и длина волны падающего фотона, – постоянная Планка. Атом переходит в возбужденное состояние с энергией . Здесь – энергия атома в основном состоянии. Знак « » взят с учетом того, что энергия может восприниматься атомом только определенными порциями. В нашем случае . Выражая отсюда и производя вычисления, получим . При переходе атома водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом в основное состояние в спектре атома могут появиться линии: – при переходе с третьей орбиты на первую; – при переходе с третьей орбиты на вторую; – при переходе со второй орбиты на первую. По обобщенной формуле Бальмера имеем: . Вычисляя длину волны для указанных переходов, получим: ; ; .

Основы квантовой механики

Гипотеза де Бройля

Невозможность объяснить с помощью теории Бора строение атомов различных элементов сделала необходимым критический пересмотр основ квантовой теории и представлений о природе элементарных частиц (электронов, протонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько полным является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой определенными координатами и импульсом (скоростью).

В результате развития науки о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм (двойственность). Наряду с такими свойствами света, которые самым непосредственным образом свидетельствуют о его волновой природе (явления интерференции, дифракции), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона).

В 1924 г. французский ученый Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что дуализм присущ не только оптическим явлениям, но и имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют и волновые, де Бройль связал с каждым микрообъектом, с одной стороны, корпускулярные характеристики: энергию и импульс , а с другой – волновые характеристики: частоту и длину волны . Соотношения между ними де Бройль принял такие же, что и для света: и .

Читайте также:  Если ток в сетевом кабеле

Гипотеза де Бройля вскоре была блестяще подтверждена экспериментально. Сначала американские физики Девиссон и Джермер (1927 г.) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от кристаллической пластинки, дает дифракционную картину. Затем Томсон и Тартаковский независимо друг от друга получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. В этом случае опыт осуществлялся следующим образом. Пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывал на нее такое же действие, как и фотон. Полученная дифракционная картина поразительно точно совпадала с дифракционной картиной, полученной при прохождении рентгеновских лучей через металлическую фольгу.

Советский физик Фабрикант (1948 г.), пропуская очень разреженный пучок электронов через фольгу (промежуток времени между двумя электронами в 10 4 раз был больше времени прохождения электроном прибора), после длительной экспозиции получил дифракционную картину, не отличающуюся от дифракционных картин, получаемых для потоков электронов при короткой экспозиции. Этим было доказано, что волновые свойства частиц не являются свойством их совокупности, а присущи каждой частице в отдельности.

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, можно сопоставить волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля: .

Впоследствии были обнаружены дифракционные явления у нейтронных, атомных и молекулярных пучков, причем длины волн соответствовали соотношению де Бройля. Но если волновые свойства присущи микрочастицам, то они должны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаруживаются экспериментально? Потому что длина волны, соответствующая макроскопическому телу, очень мала и не может быть измерена. В самом деле, пусть тело массой 1 кг движется со скоростью 100 м/с. Его импульс

Значит . Такую длину волны измерить невозможно, поэтому считается, что макротела проявляют только корпускулярные свойства.

Пример 1. Вычислить длину волны де Бройля для молекулы серебра, движущейся со скоростью, совпадающей со средней квадратичной скоростью молекул при температуре 27°С . Будет ли испытывать эта молекула дифракцию при прохождении щели в ?

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул Здесь – универсальная газовая постоянная, – температура, – молярная масса (для серебра ). Длина волны де Бройля . Здесь – импульс молекулы, – масса молекулы, – число Авогадро. Подставляя числовые значения, получаем: . Длина волны сравнима с шириной щели. Значит, дифракция будет иметь место.

Пример 2. Параллельный пучок электронов, прошедший ускоряющую разность потенциалов , падает на щель шириной (рис. 4.2.1). Определить ширину изображения щели на люминесцентном экране, находящимся на расстоянии от щели. Интенсивностью дифракционных максимумов первого и более высоких порядков можно пренебречь.

Решение. Ширина дифракционной картины . Условие минимума первого порядка . Из рис. 4.2.1 видно: . Длина волны де Бройля для электрона . Здесь – масса электрона, – его скорость. Ускоряемый разностью потенциалов электрон приобретает кинетическую энергию , откуда находим: . Используя это, находим: . Отсюда

Источник

Расчет спектра атома водорода

Подставим в формулы (32) и (33) и В результате получим теоретические значения (теор.) энергий фотонов, поглощаемых или излучаемых электроном при его энергетических переходах в атоме водорода, которые практически полностью совпадают с экспериментальными (эксп.) значениями этих энергий, и энергии связей этого электрона с ядром атома (табл. 1).

Таблица 1. Спектр атома водорода

Значения n
(эксп) eV 10,20 12,09 12,75 13,05 13,22
(теор) eV 10,198 12,087 12,748 13,054 13,220
(theor.) eV 3,40 1,51 0,85 0,54 0,38

Из закона спектроскопии (33) следует, что энергии поглощаемых и излучаемых фотонов при переходе электрона между энергетическими уровнями и рассчитываются по формуле [1], [2]

Нетрудно видеть, что формула (42) аналогична формуле (25). С той лишь разницей, что перед скобками стоит не энергия ионизации атома водорода, а энергия связи электрона с ядром атома в момент пребывания его на первом энергетическим уровне. Для электрона атома водорода она равна энергии его ионизации .

Приведем результаты расчета (табл. 2) по этой формуле энергий фотонов (теор.), излучаемых или поглощаемых электроном атома водорода при межуровневых переходах и в сравнении с экспериментальными (эксп.) данными.

Таблица 2. Энергии межуровневых переходов электрона атома

Уровни n, n+1 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6 6. 7 7. 8
(экпер) eV 1,89 0,66 0,30 0,17 0,10 0,07
(теор) eV 1,888 0,661 0,306 0,166 0,100 0,065

Формула (42) позволяет рассчитать энергии излучаемых и поглощаемых фотонов при любых энергетических переходах электрона. Например, при переходе электрона с 3-го на 10-й энергетический уровень он поглощает фотон с энергией, которая рассчитывается по формуле

А если электрон переходит, например, с 15-го на 5-й энергетический уровень, то он излучает фотон с энергией

Таким образом, приведенные формулы позволяют рассчитать энергию поглощаемого или излучаемого фотона электроном при его переходе между любыми энергетическими уровнями в атоме водорода.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник