Как определить индукцию магнитного поля создаваемого витком с током

Поле витка с током

Магнитное поле, создаваемое элементом тока.

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция поля B, создаваемого несколькими источниками, равна векторной сумме индукций отдельных источников:

Поэтому магнитное поле тока можно рассматривать, как сумму полей всех движущихся зарядов. Поле, создаваемое участком проводника, повторяет свойства поля движущегося точечного заряда: такая же зависимость магнитной индукции от направления и расстояния; направление силовых линий находится по правилу буравчика (см. рис.9).

Магнитная индукция dB, создаваемая участком проводника длиной dL, рассчитывается по закону Био-Савара- Лапласа:

где I – ток, протекающий через участок проводника; r – радиус-вектор, проведенный от участка проводника в точку, в которой рассчитывается магнитная индукция; dL – вектор, его направление совпадает с направлением тока в проводнике.

Поле, создаваемое проводником произвольной формы, находится интегрированием выражения (13), по всем элементам проводника dL:

Результирующее поле зависит от расстояния до проводника, от конфигурации и размеров проводника, а также от силы тока в цепи.

Рассчитаем магнитную индукцию на оси круглой рамки с током.

Вектор магнитной индукции dB в точке А, создаваемой элементом рамки dL,находится по формуле (10) (см. рис.10)

Вектор dB перпендикулярен r и dL, он направлен под углом φ к оси кольца. Его величина равна

Полное магнитное поле от всего проводника с током находится интегрированием выражения (10) по всему контуру. Прежде, чем интегрировать, отметим, что из-за осевой симметрии задачи результирующая индукция должна быть направлена вертикально вверх. Горизонтальные компоненты вектора dB от различных участков кольца скомпенсируют друг друга, поэтому нас будет интересовать только вертикальная составляющая вектора dB

Для всех участков кольца dL расстояния r до точки наблюдения одинаковы, также не изменяется и угол φ. Проинтегрируем (12) по dL,

С учетом того, что , а , получим

В центре кольца (z = 0) магнитная индукция равна

где n —единичный вектор нормали к плоскости кольца.

Следует отметить, что в целом поле кольца с током существенно неоднородно (см. рис.11). Однако в середине витка это поле можно считать достаточно однородным.

Если в (13) ток I выразить через магнитный момент кольца p_m=IS=πR 2 I, то поле вдоль оси кольца

При большом удалении от витка поле спадает, как 1/z 3 . По такому же закону убывает напряженность электрического поля, создаваемого электрическим диполем. Поведение витка с током в магнитном поле полностью повторяет поведение электрического диполя в электрическом поле. Также виток с током подобен постоянному магниту, у которого имеется два полюса – северный и южный (см. далее). Поэтому виток с током можно рассматривать, как магнитный диполь.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Как определить индукцию магнитного поля создаваемого витком с током

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользаоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции , которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δ, взятую по всему контуру :

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи ₂ и ₃ пронизывают контур в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, , а . Ток ₁ не пронизывает контур .

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции.

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса , лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее.

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае . Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами . Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.

На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Источник

Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового витка с током

Вначале решим более общую задачу нахождения магнитной индукции на оси витка с током. Для этого сделаем рисунок 3.8, на котором изобразим элемент тока и вектор магнитной индукции , который он создает на оси кругового контура в некоторой точке .

Рис. 3.8 Определение магнитной индукции

на оси кругового витка с током

Вектор магнитной индукции , создаваемый бесконечно малым элементом контура может быть определен с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.10).

Как следует из правил векторного произведения, магнитная индукция будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора и , поэтому модуль вектора будет равен

Для нахождения полной магнитной индукции от всего контура необходимо векторно сложить от всех элементов контура, т. е. фактически сосчитать интеграл по длине кольца

Данный интеграл можно упростить, если представить в виде суммы двух составляющих и

При этом в силу симметрии , поэтому результирующий вектор магнитной индукции будет лежать на оси . Следовательно, для нахождения модуля вектора нужно сложить проекции всех векторов , каждая из которых равна

Учитывая, что и , получим для интеграла следующее выражение

Нетрудно заметить, что вычисление получившегося интеграла даст длину контура, т. е. . В итоге суммарная магнитная индукция, создаваемая круговым контуром на оси в точке , равна

Читайте также:  Направление тока самоиндукции это

Используя магнитный момент контура, формулу (3.19) можно переписать следующим образом

Теперь отметим, что полученное в общем виде решение (3.19) позволяет проанализировать предельный случай, когда точка помещена в центре витка. В этом случае и решение для магнитной индукции поля в центре кольца с током примет вид

Результирующий вектор магнитной индукции (3.19) направлен вдоль оси тока, а его направление связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.9).

Рис. 3.9 Определение магнитной индукции

в центре кругового витка с током

Индукция магнитного поля в центре дуги окружности

Данная задача может быть решена как частный случай рассмотренной в предыдущем пункте задачи. В этом случае интеграл в формуле (3.18) следует брать не по всей длине окружности, а только по ее дуге l. А также учесть то, что индукция ищется в центре дуги, поэтому . В результате получим

где – длина дуги; – радиус дуги.

5 Вектор индукции магнитного поля движущегося в вакууме точечного заряда (без вывода формулы)

где – электрический заряд; – постоянная нерелятивистская скорость; – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

Силы Ампера и Лоренца

Опыты по отклонению рамки с током в магнитном поле показывают, что на всякий проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует механическая сила, называемая силой Ампера.

Закон Ампера определяет силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле:

где – сила тока; – элемент длины провода (вектор совпадает по направлению с током ); – длина проводника. Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению вектора магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением (рис. 3.10):

Сила Ампера всегда направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и , а ее направление как результат векторного произведения определяется правилом правого винта: если смотреть вдоль вектора , то поворот от к по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке.

Рис. 3.10 Правило левой руки и правило буравчика для силы Ампера

С другой стороны, для определения направления силы Ампера можно также применить мнемоническоеправило левой руки (рис. 3.10): нужно поместить ладонь так, чтобы силовые линии магнитной индукции входили в нее, вытянутые пальцы показывали направление тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера.

Исходя из формулы (3.22), найдем выражение для силы взаимодействия двух бесконечно длинных, прямых, параллельных друг другу проводников, по которым текут токи I₁ и I₂ (рис. 3.11) (опыт Ампера). Расстояние между проводами равно a.

Определим силу Ампера dF₂₁, действующую со стороны магнитного поля первого тока I₁ на элемент l₂dl второго тока.

Величина магнитной индукции этого поля B₁ в точке расположения элемента второго проводника с током равна

Рис. 3.11 Опыт Ампера по определению силы взаимодействия

двух прямолинейных токов

Тогда с учетом (3.22) получим

Рассуждая точно так же, можно показать, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, создаваемого вторым проводником с током, на элемент первого проводника I₁dl , равна

т. e. dF₁₂ = dF₂₁. Таким образом, мы вывели формулу (3.1), которая была получена Ампером экспериментальным путем.

На рис. 3.11 показано направление сил Ампера. В случае, когда токи направлены в одну и ту же сторону, то это ‑ силы притяжения, а в случае токов разного направления ‑ силы отталкивания.

Из формулы (3.24), можно получить силу Ампера, действующую на единицу длины проводника

Таким образом, сила взаимодействия двух параллельных прямых проводников с токами прямо пропорциональна произведению величин токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Закон Ампера утверждает, что на элемент с током, помещенный в магнитное поле, действует сила. Но всякий ток есть перемещение заряженных частиц. Естественно предположить, что силы, действующие на проводник с током в магнитном поле, обусловлены силами, действующими на отдельные движущиеся заряды. Этот вывод подтверждается рядом опытов (например, электронный пучок в магнитном поле отклоняется).

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле, исходя из закона Ампера. Для этого в формулу, определяющую элементарную силу Ампера

подставим выражение для силы электрического тока

где I – сила тока, протекающего через проводник; Q – величина полного заряда протекшего за время t; q – величина заряда одной частицы; N – общее число заряженных частиц, прошедших через проводник объемом V, длиной l и сечением S; n – число частиц в единице объема (концентрация); v – скорость частицы.

В результате получим:

Направление вектора совпадаёт с направлением скорости v, поэтому их можно поменять местами.

Эта сила действует на все движущиеся заряды в проводнике длиной и сечением S, число таких зарядов:

Следовательно, сила, действующая на один заряд, будет равна:

Формула (3.28) определяет силу Лоренца, величина которой

где a — угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции.

В экспериментальной физике часто встречается ситуация, когда заряженная частица движется одновременно и в магнитном и электрическом поле. В этом случае рассматривают полную силу Лоренца в виде

где – электрический заряд; – напряженность электрического поля; – скорость частицы; – индукция магнитного поля.

Только в магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца (рис. 3.12)

Рис. 3.12 Сила Лоренца

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Взаимная ориентация трех векторов ‑ , и , входящих в (3.30), показана на рис. 313 для положительно заряженной частицы.

Рис. 3.13 Сила Лоренца, действующая на положительный заряд

Как видно из рис. 3.13, если частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям , то она равномерно движется в магнитном поле по окружности радиусом и периодом обращения:

где – масса частицы.

Отношение магнитного момента к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите,

где ‑ заряд частицы; т ‑ масса частицы.

Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в однородном магнитном поле, когда ее скорость направлена под произвольным углом a к вектору магнитной индукции (рис. 3.14). Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом , то она движется по винтовой линии.

Разложим вектор скорости на составляющие v_|| (параллельную вектору ) и v_^(перпендикулярную вектору ):

Наличие v_^ приводит к тому, что на частицу будет действовать сила Лоренца и она будет двигаться по окружности радиусом R в плоскости перпендикулярной вектору :

Период такого движения (время одного витка частицы по окружности) равен

Рис. 3.14 Движение по винтовой линии заряженной частицы

в магнитном поле

За счет наличия v_|| частица будет двигаться равномерно вдоль , так как на v_|| магнитное поле не действует.

Таким образом, частица участвует одновременно в двух движениях. Результирующая траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением индукции магнитного поля. Расстояние h между соседними витками называется шагом винтовой линии и равно:

Действие магнитного поля на движущийся заряд находит большое практическое применение, в частности, в работе электронно-лучевой трубки, где используется явление отклонения заряженных частиц электрическим и магнитным полями, а также в работе масс-спектрографов, позволяющих определить удельный заряд частиц (q/m) и ускорителей заряженных частиц (циклотронов).

Рассмотрим один такой пример, назыаемый «магнитной бутылкой» (рис. 3.15). Пусть неоднородное магнитное поле создано двумя витками с токами, протекающими в одном направлении. Сгущение линий индукции в какой-либо пространнственной области означает большее значение величины магнитной индукции в этой области. Индукция магнитного поля вблизи витков с током больше, чем в пространстве между ними. По этой причине радиус винтовой линии траектории частицы, обратно пропорциональный модулю индукции, меньше вблизи витков, чем в пространстве между ними. После того, как частица, двигаясь вправо по винтовой линии, пройдет среднюю точку, сила Лоренца, действующая на чатицу, приобретает компоненту , тормозящую ее движение вправо. В определенный момент эта компонента силы останавливает движение частицы в этом направлении и отталкивает ее влево к витку 1. При приближении заряженной частицы к витку 1 она также тормозится и начинает циркулировать между витками, оказавшись в магнитной ловушке, или между «магнитными зеркалами». Магнитные ловушки используются для удержания в определенной области пространства высокотемпературной плазмы ( К) при управляемом термоядерном синтезе.

Рис. 3.15 Магнитная «бутылка»

Закономерностями движения заряженных частиц в магнитном поле можно объяснить особенности движения космических лучей вблизи Земли. Космические лучи – это потоки заряженных частиц большой энергии. При приближении к поверхности Земли эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. Те из них, которые направляются к магнитным полюсам, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на них. Заряженные частицы, подлетающие к Земле вблизи экватора, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля, их траектория будет искривляться. и лишь самые быстрые из них достигнут поверхности Земли (рис. 3.16).

Рис. 3.16 Образование Полярного сияния

Поэтому интенсивность космических лучей доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем вблизи полюсов. С этим связан тот факт что, Полярное сияние наблюдается главным образом в приполярных областях Земли.

Эффект Холла

В 1880г. американский физик Холл провел следующий опыт: он пропускал постоянный электрический ток I через пластинку из золота и измерял разность потенциалов между противолежащими точками A и C на верхней и нижней гранях (рис. 3.17).

Рис. 3.17 Эффект Холла

В отсутствии магнитного поля , т. к. для однородной пластины поперечное сечение является эквипотенциальной поверхностью. Когда пластины помещаются в однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное к ее боковым граням ‑ между точками A и C возникала разность потенциалов. Это явление было позднее названо эффектом Холла.

Экспериментально было обнаружено, что

где I ‑ сила тока; B ‑ индукция магнитного поля; b ‑ ширина пластины; ‑ постоянная Холла.

Дальнейшее исследование показало, что эффект Холла наблюдается во всех проводниках и полупроводниках. Величина константы Холла зависит от материала пластины, причем этот коэффициент для одних веществ положителен, а для других ‑ отрицателен.

Явление Холла можно объяснить, исходя из силы Лоренца. На заряд, движущийся в магнитном поле с индукцией B, действует сила Лоренца

Рис. 3.18 Знак эффекта Холла

Если носителями тока в веществе являются положительные заряды то под действием силы Лоренца эти заряды q отклоняются к верхней грани (при выбранных направлениях и ). Следовательно, вблизи верхней грани возникнет избыток зарядов, а вблизи нижней грани – недостаток зарядов, т. е. возникает разность потенциалов. В случае отрицательных зарядов, как видно из рисунка 3.18, знак разности потенциалов будет противоположым.

Найдем теперь выражение для . При возникновении разности потенциалов в пластине возникает электрическое поле в вертикальном направлении. Со стороны этого электрического поля на заряд q будет действовать сила , направленная против силы Лоренца. При некотором значении эти силы уравновесят друг друга, и установится равновесный процесс прохождения тока

Если пластина достаточно длинная и широкая, то поперечное электрическое поле можно считать однородным. Для однородного поля можно написать связь между E и в виде:

Силу тока I можно выразить следующим образом:

где v ‑ скорость упорядоченного движения зарядов; n ‑ число зарядов в единице объема; – площадь поперечного сечения пластины.

подставляя (3.35) в (3.33) получим

Сравнивая эту формулу с экспериментальной (3.31), имеем

Отсюда видно, что, знак константы Холла совпадает со знаком заряда q носителей тока. В полупроводниках носителями тока могут быть электроны ( ) и положительные дырки ( ). На основании измерения константы Холла для полупроводников можно судить о природе его проводимости. При электронной проводимости , при дырочной проводимости .

С помощью константы Холла можно также определить концентрацию носителей тока, если характер проводимости и заряд носителей тока известны (например, для металлов):

На принципе, похожем на эффект Холла, основана работа МГД- генераторов (магнитогидродинамических генераторов). В эффекте Холла используется ток проводимости, а можно использовать конвекционный ток. Например, по трубе продувается поток раскаленных газов (следовательно, ионизированных) в магнитном поле. В трубу вводятся электроды, на них возникает разность потенциалов. Величина оказывается пропорциональной скорости движения газа. Для увеличения электропроводимости должна быть велика концентрация ионов n, что можно достигнуть повышением температуры газа. Кроме того, в поток газа вводятся специальные присадки ‑ элементы с малой энергией ионизации.

К.П.Д. МГД-генераторов может достигать 50…60%, в то время, как у тепловых электростанций . Также преимуществом МГД-генераторов является то, что в них нет никаких механических движущихся частей и, следовательно, потерь на преодоление трения.

Источник

Индукция магнитного поля прямого и

Кругового проводника с током

Основные формулы и законы

Магнитнаяиндукциия поля бесконечного прямолинейного проводникас током I в вакууме на расстоянии r от проводника

где – магнитная постоянная

Магнитная индукция в центре кругового витка с током

Магнитная индукция на оси кругового витка с током на расстоянии х от центра витка

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника

Магнитная индукция внутри соленоида вдали от его концов

Принцип суперпозиции

Примеры решения задач

Задача 7.1. Два круговых проводника одинакового радиуса с общим центром О расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Индукция в точке О равна В = 2 мТл = 2∙10 -3 Тл. Индукция магнитного поля первого проводника с током I₁ = 8 А в этой же точке В₁ = 1,6 мТл = 1,6∙10 -3 Тл. Определить индукцию В₂ магнитного поля второго проводника в точке 0 и силу тока I₂ в нем.

Индукция магнитного поля кругового тока I₁ в центре петли (в точке О) по величине равна

а тока I₂ соответственно

Направления векторов и указаны на рис. 7.1 и составляют между собой прямой угол.

Результирующая индукция в точке О равна

Отсюда искомые величины:

Задача 7.2. Найти величину индукции магнитного поля в центре петли радиусом R = 10 см = 0,1 м, образованной бесконечно длинным тонким проводником с током I = 50 А.

Решение

Вектор индукции магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током на расстоянии r от него по величине равен

и направлен в центре (точке О) петли перпендикулярно ее плоскости на нас.

Вектор индукции магнитного поля кругового тока в центре петли по направлению совпадает с и по величине равен

Индукции поля, создаваемого проводником и круговым током в центре петли равна

Задача 7.3. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток I. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О. Радиус изогнутой части контура равен R.

Решение

Разобьем нашу фигуру на 5 частей: часть окружности и 4 стороны квадрата. От каждой из частей определим направление вектора магнитной индукции. Вектор индукции от 3/4 части окружности равен

и направлен в точке 0 перпендикулярно ее плоскости от нас.

Так как точка О лежит на оси проводников 2 и 5, то .

Векторы магнитной индукции, создаваемые проводниками 3 и 4, будут в точке О направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас. В силу симметрии задачи вклад от этих двух проводников будет одинаковым. Для определения значения магнитной индукции от проводника 3 воспользуемся формулой для отрезка проводника:

Для нашего случая магнитная индукция, создаваемая проводником 3, равна:

Согласно принципу суперпозиции

Таким образом, в точке О значение магнитной индукции равно

Сила Лоренца, сила Ампера

Основные формулы и законы

Магнитная сила (сила Лоренца):

Полная сила, действующая на заряд:

Сила Ампера:

Магнитная индукция поля бесконечного прямолинейного проводникас током I в вакууме на расстоянии r от проводника:

Магнитная индукция в центре кругового витка с током

Примеры решения задач

Задача 7.4. В поле прямого провода с током I в одной плоскости с ним находится квадратная рамка с током i и стороной a так, что две ее стороны параллельны проводу. Ближайшая сторона рамки находится на расстоянии от провода. Определить силу Ампера, действующую на рамку.

Решение

Прямой провод с током создает вокруг себя магнитное поле. Направление вектора индукции магнитного поля показано на рис. 7.4. Каждая из сторон рамки, являющаяся проводником с током i, находится в магнитном поле провода, поэтому, на каждую из сторон рамки действует сила Ампера, лежащая в плоскости, перпендикулярной вектору индукции, и направленная перпендикулярно стороне (см. рис. 7.5).

Поскольку угол между направлением тока в рамке и вектором индукции прямой, то силы Ампера, действующие на стороны 1 и 3, равны, cоответственно

где В₁ и В₃ – значения магнитной индукции в местах, где расположены стороны рамки 1 и 3.

В силу симметрии задачи, ясно, что силы, действующие на стороны рамки 2 и 4, равны между собой.

Для определения значений сил, действующих на стороны рамки 2 и 4, выделим малый участок рамки шириной dx, в пределах которого значение магнитной индукции будем считать равным

Элементарная сила Ампера, действующая на малый участок, равна

Результирующая сила, действующая на рамку:

Поскольку силы, действующие на стороны 2 и 4, компенсируют друг друга, то результирующая сила будет равна

и направлена в сторону прямого провода.

Электромагнитная индукция

Основные формулы и законы

Магнитный поток

Магнитный поток через поверхность равен

ЭДС электромагнитной индукции

Индукционный ток в замкнутом проводящем контуре:

ЭДС электромагнитной индукции при движении прямолинейного проводника в однородном магнитном поле перпендикулярно силовым линиям:

Если проводник движется под углом a к силовым линиям поля, то ЭДС индукции будет определяться соотношением:

.

Магнитный поток, охватываемый контуром, пропорционален силе тока в проводнике:

Индуктивность соленоида:

ЭДС самоиндукции в проводнике в отсутствие ферромагнетиков (L = const):

Магнитная энергия, запасенная в соленоиде:

Примеры решения задач

Задача 7.5. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I, расположена прямоугольная рамка размером а х b так, что большие стороны ее длиной b параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно с. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку.

Решение

Магнитный поток через поверхность площади рамки равен

Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки, поэтому для всех точек плоскости рамки . Магнитная индукция, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х, то и элементарный поток будет зависеть от х, где х – расстояние от провода до точки, в которой определяется В:

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной b, шириной dx и площадью dS = bdx. В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной.

Тогда элементарный магнитный поток можно записать в виде:

Проинтегрировав данное выражение в пределах от с до с + а, найдем:

Задача 7.6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл расположен проволочный виток таким образом, что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, прошедший через гальванометр при повороте витка на некоторый угол, равен q = 0,08 Кл. На какой угол повернули виток, если его площадь S = 0,4 м 2 , а сопротивление витка вместе с гальванометром R = 1,5 (Ом)?

Решение

Выберем направление нормали к витку таким образом, чтобы в начальном положении она была перпендикулярна вектору . Тогда начальный поток будет равен

а после поворота на угол φ поток станет равен

Прошедший через виток заряд выражается через изменение потока

Определим изменение потока

а затем и заряд

Из последнего уравнения получим:

Искомый угол поворота равен:

Задача 7.7. Провод, имеющий форму параболы , находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости параболы. Из вершины параболы в момент t = 0 начали двигать прямолинейную перемычку, параллельную оси х. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре как функцию у, если перемычку перемещают с постоянной скоростью v.

Решение

При перемещении перемычки на расстояние dy увеличение площади контура равно:

Увеличение площади приводит к изменению магнитного потока через контур и, соответственно, к появлению ЭДС. Найдем ее.

Модуль ЭДС равен:

В нашей задаче перемычку двигают с постоянной скоростью , поэтому

Окончательно, ЭДС индукции как функция координаты у будет иметь вид

Задача 7.8. Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости. Рамку поступательно перемещают с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния х.

Решение

ЭДС индукции равна

В нашей задаче изменение магнитного потока идет не за счет изменения площади, а за счет изменения величины вектора В в зависимости от х.

Для бесконечного длинного провода:

Из последней формулы имеем:

Магнитный поток, пронизывающий рамку:

Площадь элементарной площадки:

Изменение магнитного потока через элементарную площадку:

Знак минус показывает, что с удалением от провода величина потока убывает. ЭДС индукции равна

Задача 7.9. По катушке индуктивности L = 0,03 Гн течет ток I = 0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время ∆t = 10 -3 с. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке.

Решение

При размыкании цепи ток в катушке начнет уменьшаться, что приведет к изменению магнитного потока, пронизывающего витки катушки. При этом в катушке возникнет ЭДС самоиндукции

Следовательно, за время уменьшения тока до нуля в катушке будет действовать ЭДС самоиндукции, среднее значение которой

Источник

Расчёт магнитных полей с помощью закона Био–Савара–Лапласа. Магнитное поле в веществе (Главы 3-4 учебного пособия по общей физике)

Страницы работы

Содержание работы

где v – скорость направленного движения свободных носителей заряда. Умножив В на количество свободных носителей заряда в элементе проводника dl, получим индукцию магнитного поля, созданную этим элементом проводника с током,

поскольку env= j*,

;

поскольку dl.j = dl.j (dl и j совпадают по направлению),

.

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного элементом dl проводника с током I на расстоянии r от элемента проводника, определяется выражением

.

Это выражение и представляет собой закон Био–Савара–Лапласа.

Из закона видно, что вектор магнитной индукции dB всегда перпендикулярен плоскости, в ко-торой лежат векторы dl и r. Его направление определяется по правилу правого винта.

Модуль вектора dB определяется из выражения

,

где a – угол между векторами dl и r.

* Здесьj – вектор плотности тока.

Необходимо учесть, что полученное выражение позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, созданную одним бесконечно малым элементом проводника dl с током I.

Для того чтобы найти магнитную индукцию, созданную всемпроводником, необходимо использовать принцип суперпозиции, т. е. просуммировать векторы dB, созданные каждым элементом проводника в интересующей нас точке.

3.4. Расчёт магнитных полей с помощью закона

Био–Савара–Лапласа

3.4.1. Индукция магнитного поля отрезка прямолинейного проводника с током

Для всех бесконечно малых элементов dl отрезка векторы dl и r лежат в плоскости листа. Поэтому векторы dB, созданные в выбранной нами точке различными элементами проводника направлены одинаково – перпендикулярно плоскости листа. Следовательно, сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB.

Из рисунка видно, что r = b/sina
(b – расстояние от проводника до инте-ресующей нас точки), и

.

Тогда индукция, созданная элементом проводника dl, равна

.

Индукция магнитного поля, созданного всем проводником, может быть найдена как интеграл от dB в пределах от a₁ до + a₂:

Иногда удобнее воспользоваться другим выражением:

(обратите внимание на рисунок, показывающий углы q₁ и q₂).

Обратите также внимание на то, что если точка расположена так, как показано на следующем рисунке, то q₂ меняет знак и формула для расчёта магнитного поля прямолинейного отрезка записывается следующим образом:

.

3.4.2. Индукция магнитного поля бесконечно длинного

прямолинейного проводника с током

Если длина прямого проводника бесконечно велика, то a₁ = 0, а a₂ = p.

В этом случае индукция магнитного поля, созданного проводником, будет равна

.

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником прямо пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от проводника до интересующей нас точки.

Дополнительно рассмотрим магнитное поле, созданное бесконечным проводником, который изогнут под прямым углом.

Ограничимся получением расчётной формулы для точки А, расположенной на продолжении одной из половин проводника.

Участок DB в точке А не создаёт магнитного поля, так как для него a₁ и a₂ равны 0.

Для участка ВС a₁ = 90 0 , a₂ = -180 0 . Поэтому индукция, созданная этим участком, равна

.

Таким образом, индукция магнитного поля в точке А равна половине индукции, созданной прямым бесконечно длинным проводником с таким же током.

3.4.3. Индукция магнитного поля в центре квадрата

Рассмотрим квадрат со стороной а, в котором течёт ток I.

Все стороны квадрата создают в его центре одинаковое магнитное поле. Поэтому если индукция, созданная одной стороной, равна В, то магнитная индукция, созданная всеми сторонами, равна 4В.

В рассматриваемом случае a₁ = 45 0 , а a₂ = 135 0 (см. рисунок).

Индукция магнитного поля, созданного одной стороной, равна:

.

Соответственно индукция магнитного поля, созданного всеми сторонами, равна

.

В показанном на рисунке случае индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости квадрата на нас.

3.4.4. Расчёт магнитного поля замкнутого кругового тока

(витка с током).

Пусть радиус витка равен R, а ток в нём – I.

Вначале рассмотрим расчёт поля в центре витка.

Каждый элемент тока будет создавать индукцию, направленную вдоль оси витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение dB алгебраическое и

,

(в каждой точке a = 90 0 )

.

Поле на оси витка на расстоянии b от центра витка рассчитывается несколько сложнее. В этом случае векторы dB не параллельны друг другу.

При суммировании составляющие векторов dB, перпендикулярные оси, уничтожаются, а параллельные оси – складываются.

Из рисунка видно, что

;

.

Проинтегрировав это выражение по всему контуру, получаем

.

Источник