Меню

Гармонический ток в элементах электрической цепи



Гармонический ток в элементах электрической цепи

Переменным называется ток, который изменяется с течением времени:

Мгновенным значением переменного тока называется его значение в фиксированный момент времени.

Периодическим называют такой переменный ток, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени:

— период переменного тока, т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения тока повторяются в той же последовательности.

Простейшим типом периодического тока является гармонический ток:

где амплитуда тока;
полная фаза колебания;
начальная фаза колебания (при );
круговая частота (угловая скорость).

где — частота переменного периодического тока, численно равная числу периодов в 1секунду:

Гармонический ток можно представить в виде проекции на вертикальную ось вращающегося вектора (рис.3.1).

Действующим или эффективным значением гармонического тока называется значение такого постоянного тока, который протекая через одно и тоже неизменное сопротивление за период времени выделяет такое же количество тепла, что и рассматриваемый гармонический ток.

Между амплитудным и действующим значением гармонического тока существует простая связь:

Аналогично для напряжения и ЭДС:

Для мгновенных значений достаточно медленно изменяющихся переменных ЭДС и токов справедливы основные законы постоянного тока в их наиболее общей форме.

При этом следует иметь в виду, что сопротивление одной и той же электрической цепи для постоянного и переменного токов не совпадают . Так один и тот же резистор для постоянного и переменного токов имеет разное электрическое сопротивление.

Основными элементами электрической цепи переменного тока являются активное сопротивление, индуктивность и ёмкость.

Активное сопротивление представляет собой элемент электрической цепи, в котором при прохождении тока происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.

Численное значение активного сопротивления определяется отношением мощности, расходуемой на тепло к квадрату действующего значения переменного тока:

Необходимо помнить, что

В цепи переменного тока с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе (рис.3.2).

Тогда на основании закона Ома для участка цепи без ЭДС:

Подставляя (1) в (2) получим:

Начальная фаза тока .

Начальная фаза напряжения .

Разность фаз между напряжением и током:

В цепи с активным сопротивлением мгновенные, амплитудные и действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома:

Индуктивность — это элемент электрической цепи, способный накапливать энергию магнитного поля.

В цепи переменного тока с индуктивностью напряжение опережает по фазе ток на (рис.3.3). Покажем это.

При прохождении переменного тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции:

На основании закона Ома для участка цепи с ЭДС можно записать:

где — мгновенное напряжение на индуктивности, уравновешивающее ЭДС самоиндукции.

Начальная фаза тока .

Начальная фаза напряжения .

Разность фаз между напряжением и током:

ЭДС самоиндукции отстаёт по фазе от тока на угол , так как .

Таким образом, в цепи переменного тока с индуктивностью амплитудные и действующие значения напряжения и тока формально связаны законом Ома:

где — индуктивное сопротивление, измеряемое в [Ом]. Это расчётная величина, которая не имеет физического смысла.

Ёмкость — это элемент электрической цепи, способный накапливать энергию электрического поля.

В цепи переменного тока с ёмкостью напряжение отстаёт по фазе от тока на угол (рис.3.4). Докажем это.

Это напряжение приложено к конденсатору от внешнего источника. Оно уравновешивает ЭДС ёмкости (аналогичную ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности), которая возникает при наличии зарядов на обкладках конденсатора.

На основании закона Ома для участка цепи с ЭДС можно записать:

За положительное направление тока в соответствии с законом сохранения электрического заряда принимается направление, при котором заряды покидают обкладки конденсатора:

Подставляя значение , получим:

Начальная фаза напряжения .

Начальная фаза тока .

Разность фаз между напряжением и током:

При этом ЭДС ёмкости опережает по фазе ток на угол . Таким образом, в цепи переменного тока с ёмкостью амплитудные и действующие значения напряжения и тока формально связаны законом Ома:

где — ёмкостное сопротивление, измеряемое в [Ом].

Это расчётная величина, которая не имеет физического смысла.

В общем случае в состав цепи переменного тока могут входить и активное сопротивление, и ёмкость, и индуктивность. Все эти элементы могут быть соединены между собой как последовательно, так и параллельно. На рисунке 3.5 показана схема последовательного соединения указанных элементов и соответствующая им векторная диаграмма для тока и напряжений.

В цепи, состоящей из последовательно соединённых , и через все элементы протекает один и тот же ток:

Падение напряжения на элементах цепи:

Приложенное мгновенное значение напряжения равно сумме мгновенных падений напряжения на отдельных элементах цепи:

Сложение этих гармонических напряжений произведено в векторной форме (рис.3.5). Порядок построения векторной диаграммы обозначен цифрами.

— активная составляющая напряжения.

— реактивная составляющая напряжения.

Из векторной диаграммы следует, что

— полное сопротивление цепи;

— активная составляющая сопротивления цепи;

— реактивная составляющая сопротивления цепи.

Условились индуктивное сопротивление считать положительным, а ёмкостное — отрицательным.

Поэтому реактивное сопротивление цепи в зависимости от знака может иметь либо индуктивный характер X_c)$ —> X_c)$»>, либо ёмкостный характер .

Реактивные сопротивления , и зависят от частоты. Соответствующие графики приведены на рисунке3.6.

Читайте также:  Эдс батареи источников постоянного тока состоящей из последовательно соединенных источников равна

В зависимости от знака реактивного сопротивления треугольники напряжений могут иметь вид:

Угол положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе.

Если все стороны треугольников напряжений (рис.3.7) разделить на амплитуду тока, то получатся соответствующие треугольники сопротивлений (рис.3.8).

Угол всегда отсчитывается от к .

Из треугольников сопротивлений (рис.3.8) следует ряд важных соотношений:

На частоте полное реактивное сопротивление цепи становится равным нулю и цепь из , и ведёт себя как чисто активное сопротивление:

где активное сопротивление катушки индуктивности;
активное сопротивление конденсатора;
активное сопротивление внешнего резистора.

Состояние электрической цепи на частоте носит название резонанса напряжений.

Работа в цепи переменного тока за время одного периода выражается формулой:

где и — действующие (эффективные) значения напряжения и тока.

Средняя за период мощность называется активной мощностью:

Она расходуется в активном сопротивлении цепи переменного тока.

Наряду с изложенным необходимо иметь в виду, что любая реальная катушка индуктивности как и любой реальный конденсатор при работе в цепи переменного тока имеют не только реактивные, но и активные сопротивления. На рисунке3.9 показаны реальные катушка индуктивности и конденсатор и их эквивалентные схемы:

Источник

Гармонический ток в пассивных элементах электрической цепи

1. Резистивное сопротивление

начальная фаза напряжения на резистивном сопротивлении равна фазе тока и угол φ=0.

Гармонические напряжение и ток в резистивном сопротивлении совпадают по фазе.

2 Индуктивность.

UmL=ImωL амплитуда напряжения на индуктивности пропорциональна частоте,

ωL=xL — индуктивное сопротивление, φL = ΨULi = π/2 — сдвиг фаз между индуктивным напряжением и током (индуктивное напряжение опережает ток на четверть периода (90 0) ).

— комплексное сопротивление индуктивного элемента, при постоянном токе (ω =0) xL(0)=0

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте

Емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода (90 )

Анализ последовательной RLC-цепи при гармоническом воздействии

На основе второго закона Кирхгофа u = uR+uC +uL или в комплексной

U=UR +UC +UL . С учетом

получим

где — комплексное сопротивлениеRLC — цепи

Преобразовав, получаем, что ,

где — реактивное сопро­тивление,— полное сопротивление цепи, а— угол сдвига фазRLC цепи.

Запишем закон Ома в комплексной форме с учетом фазовых соотношений :

. Здесь .

Треугольник сопротивлений в RLC – цепи.

— полное сопротивление RLC — цепи,

угол сдвига фаз RLC — цепи.

Рассмотрим зависимости полного сопротивления Z и угла сдвига фаз φ в последовательной RLC-цепи от частоты. На некоторой частоте ωможет выполняться равенство

– резонансная частота RLC — цепи

До частоты ω напряжение отстает от тока, после ω напряжение опережает ток.

Рассмотрим зависимость тока и напряжения на резисторе от частоты

Рассмотрим напряжения на индуктивности и емкости

;

Варианты графиков UL . UC в RLC – цепи. Графики могут иметь максимумы, а могут и не иметь (это зависит от соотношения величин элементов).

Векторные диаграммы последовательной RLC-цепи

Совокупность нескольких векторов, отображающих токи и напряжения в некоторой цепи, называется векторной диаграммой. Для последовательной RLC – цепи диаграмму строят, откладывая по горизонтали ток, затем также по направлению тока откладывают в масштабе вектор резистивного напряжения, потом из его конца откладывают перпендикулярно вверх вектор индуктивного напряжения и из его конца вниз вектор емкостного.

Вид диаграмм зависит от выбранной частоты по отношению к резонансной.

1) ω ω. UL > UC

Источник

Гармонический ток в сопротивлении

Тогда ток в сопротивлении R (рис. 3.3) можно определить по закону Ома: ,

Сдвиг фаз между напряжением и током , т.е. ток и напряжение на сопротивлении совпадают по фазе.

Поскольку , то для действующих значений справедливо

где Zполное сопротивление цепи (импеданс), равное отношению действующих значений напряжения и тока.

Для цепи, представленной на рис. 3.3, полное сопротивление .

Для определения мгновенной мощности, поступающей в сопротивление, воспользуемся полученным выше соотношением для мгновенной мощности:

Активная мощность, равная средней мощности за период,

Таким образом, в резистивном элементе с сопротивлением R электромагнитная энергия преобразуется в тепловую при мощности преобразования Резистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.

Гармонический ток в индуктивности

Индуктивность – элемент цепи, который учитывает энергию магнитного поля . При увеличении (уменьшении) тока энергия магнитного поля увеличивается (уменьшается). Следовательно, индуктивные элементы можно рассматривать как аккумуляторы (накопители энергии).

При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции eL. По закону Ленца eL препятствует изменению тока. Поэтому при традиционном выборе одинаковых положительных направлений для тока iL и ЭДС eL, как показано на рис. 3.5, знаки eL и противоположны и Чтобы через индуктивность проходил переменный ток, к ее выводам надо приложить напряжение uL, равное по величине и противоположное по направлению ЭДС eL:

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью. Единица измерения индуктивности – генри (Гн).

Так как электрическому току всегда сопутствует магнитное поле, любой обтекаемый током участок цепи, представляющий электротехническое устройство, должен характеризоваться индуктивностью.

Закон Ома для цепи с индуктивным элементом .

Читайте также:  Цепи с двумя источниками тока или напряжения

– индуктивное сопротивление, имеет размерность сопротивления. Полное сопротивление Z также равно XL.

Начальная фаза напряжения , сдвиг фаз .

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на индуктивности связаны законом Ома.

2. Напряжение uL опережает по фазе ток iL на .

Из выражения (3.16) следует, что средняя мощность за период, а следовательно, и активная мощность равны нулю. Индуктивность – реактивный элемент.

Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 3.6). Если p(t)> 0, индуктивность заряжается энергией

в виде энергии магнитного поля; если p(t) 0, емкость заряжается энергией в виде энергии электрического поля; если p(t)

Реактивное сопротивление последовательной RLC – цепи

может принимать следующие значения:

– цепь носит чисто активный характер (в цепи резонанс);

– цепь носит индуктивный характер, т.е. ;

– цепь носит емкостный характер, т.е. .

Полное сопротивление цепи

угол разности фаз

определяется по оси от кривой напряжения к кривой тока и бывает острым или прямым: j 0при индуктивном характере цепи (ток отстает по фазе от напряжения), j = 0при резистивном характере цепи (индуктивное и емкостное сопротивления равны) – такой режим цепи называют резонансом напряжений.

Из выражений и следует, что связь активного и реактивного сопротивления с полным сопротивлением выражается следующими формулами:

что удобно представлять с помощью треугольника сопротивлений (рис. 3.10).

Умножив левые и правые части выражений для сопротивлений (3.24) на действующее значение тока I, получим соответственно действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, которые называют активной и реактивной составляющими напряжения:

Тогда действующее значение суммарного напряжения можно определить как Для напряжений также можно построить прямоугольный треугольник напряжений.

3.2.5. Параллельное соединение R, L, C

Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L, C (рис. 3.11), приложено синусоидальное напряжение то по I закону Кирхгофа синусоидальный ток в неразветвленной части равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях где

– совпадает по фазе с напряжением u(t);

– отстает по фазе от напряжения u(t) на ;

– опережает по фазе напряжение u(t) на .

Выражение (3.26) является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.

Активная проводимость цепи , всегда положительна.

Реактивная проводимость цепи , в зависимости от знака может иметь индуктивный (В > 0)или емкостный (B 0; при этом ток опережает по фазе напряжение.

– при емкостном характере цепи, т.е. при B

Источник

Портал ТОЭ

1.5 Особенности протекания гармонического тока в элементах электрической цепи

При наличии источника электрической энергии, вырабатывающего гармоническое напряжение, в линейной цепи протекает гармонический ток, а к отдельным элементам цепи прикладывается гармоническое напряжение. Однако, начальные фазы напряжения и тока могут быть различными.

Начальные фазы отсчитываются от момента, соответствующего началу синусоиды (переход от отрицательных к положительным значениям), до момента t = 0 .

Вводится понятие угла сдвига фаз между напряжением и током:

Определим кривые u и i на элементах R , L , C .

1. Если к сопротивлению R подвести u = U m sin ( ωt + ψ ) , в цепи потечёт ток

u R и i совпадают по фазе на резисторе

Законом Ома связаны не только мгновенные, но и максимальные, и действующие значения:

Мгновенная мощность, посупающая в сопротивление

Т.е. она состоит из постоянной составляющей и гармонической, изменяющейся с двойной частотой.

Среднее значение мощности за период P = ∫ T p R dt называют активной мощностью и измеряют в ваттах (Вт).

Сопротивление проводника на переменном токе больше, чем на постоянном (из-за поверхностного эффекта, вихревых токов и излучения энергии в пространство), поэтому иногда в отличие от сопротивления на постоянном токе сопротивление на переменном токе называют активным.

2. При подключении индуктивности к источнику тока J = J m sin ( ωt + ψ J ) по ней потечёт ток i = I mL sin ( ωt + ψ i ) , где J m = I mL , ψ J = ψ i .

Таким образом напряжение на индуктивности опережает ток на .

Величина ωL имеет размерность сопроитвления и называется индуктивным сопротивлением. Обратная ей величина (в отдельных случаях) называется индуктивной проводимостью: X L = ωL , b L = 1 ∕ X L = 1 ∕ ωL .

Параметр X L учитывает явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность:

Поступающая от источника энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Таки образом происходит колебание энергии между источником и индуктивностью.

Произведение Q L = U L I L называют реактивной мощностью индуктивности и измеряют в ВАр (вольт-ампер реактивный).

3. При подключении ёмкости к источнику u C = U m sin ( ωt + ψ u ) после окончания заряда через неё потечёт ток i C = Cdu C ∕ dt , где u C = u .

Таким образом на ёмкости ток опережает напряжение по фазе на .

Величина X C = 1 ∕ ωC называется ёмкостным сопротивлением . В частном случае b C = 1 ∕X C = ωC – ёмкостная проводимость.

Поступающая от источника энергия временно запасается в электрическом поле ёмкости, а затем возвращается в источник при исчезновении электрического поля. Таким образом происходит колебание энергии между источником и ёмкостью.

Активная мощность P C = 0 .

Произведение Q C = U C I C = X C I C 2 = b C U C 2 называют реактивной мощностью ёмкости, измеряют в ВАр, но в расчётах используют со знаком � − �.

Сведём результаты параграфа в таблицу.

Обозначение Мгновенное Действующее Мощность Векторная
значение значение диаграмма
u R = Ri i R = gu R U = RI I = gU P = U R I R = = I R 2 = U R 2 g Q R = 0
u L = L i L = ∫ u L dt U L = X L I L I L = b L U L X L = ωL P = 0 Q L = U L I L = = X L I L 2 = b L U L 2
i C = C u C = ∫ i C dt U C = X C I C I C = b C U C X C = P = 0 Q C = U C I C = = X C I C 2 = b C U C 2
Читайте также:  Класс точности трансформатора тока буква s

Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны.

Новости

07.07.2016
Добавлен калькулятор для решения систем нелинейных алгебраических уравнений: перейти.

30.06.2016
На сайте реализован адаптивный дизайн, страницы адекватно отображаются как на больших мониторах, так и на мобильных устройствах.

Спонсор

РГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн.

Источник

Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА (37с.)

Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

Гармоническими называются сигналы, ток и напряжение которых изменяются во времени по закону косинуса (или синуса) :

где — амплитуды тока и напряжения,

— начальные фазы тока и напряжения.

Угловая частота определяется через период и частоту колебаний

где — частота (Гц) .

В установившемся режиме начальная фаза гармонических колебаний не играет роли и выбирается из соображений удобства. Если рассматриваются одновременно несколько колебаний, то имеет значение разность их начальных фаз (сдвиг фаз). На рисунке 2. 1 показаны гармонические колебания тока и напряжения в некотором участке цепи, описываемые формулами (2. 1) .

Начальная фаза тока принята равной нулю, а начальная фаза напряжения равна — :

Угол сдвига фаз напряжения и тока в данном случае равен . Это значит, что напряжение отстает по фазе от тока на .

Часто пользуются понятием “действующее значение” периодического тока. Под действующим значением тока понимают такой постоянный ток, который в одном и том же сопротивлении за один период выделяет такое же количество тепла, как и периодический ток. Этому определению соответствует равенство

где i — мгновенное значение периодического тока,

I — действующее значение.

Из выражения (2. 2) находим

В частности, для гармонического тока, подставляя его формулу из (2. 1) в соотношение (2. 3), получим

Аналогично можно ввести понятие и величину действующего значения гармонического напряжения

В радиоэлектронике обычно приходится иметь дело с амплитудными значениями токов и напряжений. Но в ряде случаев, например, при проектировании источников питания, расчеты ведут, используя действующие значения, как это принято в электроэнергетике.

Если в линейных электрических цепях действуют гармонические источники, то в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи будут также гармоническими. В общем случае линейная цепь гармонического тока может содержать резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, некоторые участки могут быть магнитно-связанными (взаимная индуктивность). Расчет цепи может заключаться в определении токов ветвей, напряжений на отдельных участках, а также в отыскании характеристических функций цепи (коэффициентов передачи, входного сопротивления и т. д.). Очевидно, что оперировать с токами и напряжениями в гармонической форме при составлении и решении уравнений по законам Кирхгофа крайне неудобно, отношения токов и напряжений (сопротивления, коэффициенты передачи и т. д.) и вовсе не имеют смысла, так как они изменяются во времени. Поэтому анализ электрических цепей при гармонических воздействиях ведется на основе так называемого символического, или комплексного метода, согласно которому гармонические функции времени (ток, напряжение и др. ) представляются векторами или комплексными числами.

Пусть ток изменится по гармоническому закону. Рассмотрим комплексную плоскость, заданную ортами — мнимая ось и +1 — вещественная ось. Поместим на плоскости вектор длиной под углом к вещественной оси и приведем его во вращение вокруг начала координат с угловой скоростью (рисунок 2. 2) .

По истечении времени t вектор займет положение. Угол, на который он повернется относительно вещественной оси, будет равен . Его проекция и на вещественную и мнимую оси будут соответственно равны

Таким образом, проекция вектора на вещественную ось является исходной гармонической функцией. Вектор можно записать и как комплексное число через его проекции

Используя формулу Эйлера , последнее выражение можно переписать в виде

Эта формула является комплексным изображением тока в любой момент времени. Однако в большинстве случаев достаточно знать положение вектора в начальный момент времени t = 0 . Тогда выражение (2. 6) приобретает вид

Это комплексное число (вектор) , модуль которого равен амплитуде тока , а угол- начальной фазе , называется комплексной амплитудой тока или комплексным током.

По аналогии можно ввести понятия и величины : комплексное напряжение , комплексная ЭДС , комплексный магнитный поток и т. д.

С помощью комплексного метода расчет цепей при гармонических воздействиях существенно упрощается.

Пример . Найти напряжение, приложенное ко входу цепи на рисунке 2. 3,

если напряжение на элементах изменяется по гармоническим законам

Для наглядности изобразим эти напряжения в виде векторов (векторная диаграмма, рисунок 2. 4) .

При вращении векторов их взаимное положение не будет изменяться. Поэтому достаточно указать их начальные положения. Согласно второму закону Кирхгофа

Сложение мгновенных значений можно заменить сложением векторов или комплексных чисел, изображающих эти напряжения. Такая замена основана на том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций. В аналитической форме общее комплексное напряжение находится следующим образом

Амплитуда общего напряжения находится как модуль :

а начальная фаза с помощью соотношения

Аналогично можно находить и сумму гармонических токов. Вместо комплексных амплитуд напряжений и токов при анализе можно использовать комплексное действующее значение

Источник