Меню

Две катушки с током оси которых расположены



Взаимоиндукция

Дата публикации: 06 марта 2015 .
Категория: Статьи.

В статье «Явление электромагнитной индукции» было дано определение взаимоиндукции. Было указано, что взаимоиндукцией называется влияние изменяющегося магнитного поля одного проводника на другой проводник, в результате чего во втором проводнике возникает индуктированная электродвижущая сила (ЭДС). Пусть мы имеем два проводника I и II (рисунок 1) или две катушки, или два контура.

Явление взаимоиндукции

Ток в первом проводнике i1 создается источником напряжения (на чертеже не показанном). Ток i1 образует магнитный поток Ф1, одна часть которого Ф12 пересекает второй проводник, а другая часть Ф11 замыкается помимо второго проводника:

Если вместо проводников возьмем две катушки с числом витков w1 и w2, то потокосцепление второго контура будет:

Так как поток Ф12 пропорционален току i1, то зависимость между потокосцеплением ψ12 и током i1 будет:

где M12коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом взаимоиндукции или взаимной индуктивностью двух катушек (или контуров).

Размерность взаимной индуктивности определяется так:

Таким образом, взаимная индуктивность M измеряется в тех же единицах, что и индуктивность L.

Взаимная индуктивность зависит от числа витков катушек, их размера, взаимного расположения катушек и магнитной проницаемости среды, в которой находятся катушки.

Если пропускать ток i2 по второму проводнику, то по аналогии можно написать:

откуда получим формулу взаимоиндукции для второго контура

Пользуясь законом Ома для магнитной цепи, можно доказать, что

где Rм – магнитное сопротивление замкнутого контура, по которому проходят магнитные потоки Ф12 и Ф21.

Следовательно, взаимная индуктивность двух индуктивно или магнитно-связанных цепей не зависит от того, какой цепью будет создаваться магнитный поток.

При изменении тока i1 магнитные потоки Ф11 и Ф12 будут изменяться и во втором контуре возникнет индуктированная ЭДС, величина которой будет равна:

Эти ЭДС называются ЭДС взаимоиндукции. Если первый контур обладает сопротивлением r1 и индуктивностью L1, то напряжение U1, приложенное к этому контуру, должно уравновесить ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, а также падение напряжения в сопротивлении r1 контура:

Для второго контура:

Между индуктивностями L1 и L2 контуров и взаимной индуктивностью M существует зависимость:

Однако эта формула верна когда весь поток, создаваемый первым контуром, сцепляется с витками второго контура. На практике M меньше , то есть

Величина k меньше единицы и называется коэффициентом связи катушек. Этот коэффициент равнялся бы единице в том случае, если бы Ф12 = Ф1 и Ф21 = Ф2.

Электромагнитная связь между двумя контурами может быть изменена, если сближать контуры или удалять их один от другого, а также если менять взаимное расположение контуров.

В технике применяют приборы, работающие по принципу взаимной индукции и служащие для изменения индуктивности цепи. Такие приборы называются вариометрами. Они состоят из двух последовательно соединенных катушек, одна из которых может вращаться внутри другой.

Пусть обе катушки расположены так, чтобы оси их были параллельны одна другой и магнитные поля катушек направлены одинаково (согласное включение). В этом случае:

где индуктивность системы

Если повернуть внутреннюю катушку на 180°, то в этом случае магнитные потоки будут направлены навстречу один другому (встречное включение).

Вращая внутреннюю катушку между первым и вторым положениями, мы можем менять индуктивность системы в пределах от L’ до L’’.

По принципу взаимной индуктивности работают трансформаторы, нашедшие весьма широкое применение в технике.

Бывает, что взаимная индукция нежелательна: две линии связи (телефонные) оказывают взаимное влияние, мешая работе одна другой. Линии сильного тока, расположенные параллельно и вблизи линии связи, индуктируют в последней токи, вызывающие шум и треск, мешающие телефонным переговорам.

Взаимоиндукция на примерах

Рисунок 2. Взаимоиндукция

И для вашего развития посмотрите доклад доктора технических наук Ацюковского Владимира Акимовича, о взаимоиндукции проводников:

Источник: Кузнецов М.И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560с.

Источник

Задание №16 ЕГЭ по физике

Электростатика и магнитные явления

Для решения задания №16 нужно знать основы электростатики, а также явление электромагнитной индукции и законы, связанные с нею. В помощь приведены необходимые теоретические сведения, формулы для решения расчетных задач по этим темам.

Теория к заданию №16 ЕГЭ по физике

Закон Кулона

Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия пары неподвижных точечных заряженных тел:

где q1 и q2 – величина взаимодействующих зарядов, r – расстояние между заряженными телами, k – электрическая постоянная (k=9˙10 9 Н˙м 2 /Кл 2 ).

Напряженность электрического поля

Напряженность – величина, количественно характеризующая электрическое поле в конкретной его точке. Определяется как результат воздействия поля на точечный неподвижный заряд. Напряженность эл.поля имеет определенную направленность; она направлена из точки с положительным зарядом и в точку с отрицательным.

Проводники и диэлектрики в электрическом поле

При воздействии внешнего эл.поля в проводниках происходит перераспределение свободных электронов, в результате которого они (т.е. отрицательные заряды) концентрируются на одном конце поверхности проводника, а нескомпенсированные положительные заряды – на другом. При этом свободные электроны всегда перемещаются в направлении, противоположном направлению вектора напряженности.

Диэлектрики в электрическом поле поляризируются. Это явление заключается в повороте электрических диполей диэлектрика либо в ограниченном смещении его зарядов под воздействием внешнего эл.поля.

Понятие электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении электрического (индукционного) тока в замкнутом проводнике (проводящем контуре) при изменениях магнитного поля. Магнитная индукция В является количественной характеристикой, демонстрирующей способность магнитного поля осуществлять силовое воздействие на контур. В – векторная величина. Единицей ее измерения является 1 Тл (тесла).

Электродвижущая сила (ЭДС)

ЭДС индукции (ε) – количественная характеристика, определяющая, как в проводящем контуре меняется магнитное поле. В замкнутом контуре ЭДС представляет собой модуль скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

ЭДС вычисляется по формуле: , где – магнитный поток, – время движения магнитного потока. ЭДС – векторная величина. Направление этого вектора всегда противоположно направлению вектора Ф. Единица изменения ЭДС – 1 Вб/с.

Индукционный ток

Сила индукционного тока рассчитывается так: . Сопротивление R в этой формуле принято считать величиной постоянной, исходя из чего, ЭДС прямо пропорциональна величине индукционного тока.

Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по физике

Демонстрационный вариант 2018

На железный сердечник надеты две катушки, как показано на рисунке. По правой катушке пропускают ток, который меняется согласно приведенному графику. На основании этого графике выберите два верных утверждения о процессах, происходящих в катушках и сердечнике.

  1. В промежутках 0–1 и 1–2 с направления тока в правой катушке различны.
  2. В промежутке времени 2–3 с сила тока в левой катушке отлична от нуля.
  3. Модуль силы тока в левой катушке в промежутке 1–2 с больше, чем в промежутке 3–5 с.
  4. В промежутке 0–2 с модуль магнитной индукции в сердечнике минимален.
  5. В промежутке 1–2 с сила тока в левой катушке равномерно увеличивается.
Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем рисунок и соотносим процессы, происходящие в катушках, со значениями на графике.
  2. Записываем формулу для наведенной ЭДС.
  3. Анализируем формулу.
  4. Анализируем варианты ответа и делаем выводы и правильности предложенных утверждений.
Решение:

1. На рисунке видно, что обе катушки имеют общий сердечник. Правая катушка подключена к аккумулятору, силу тока в ней может менять с помощью реостата. Магнитное поле (магнитный поток) создается током в правой катушке и пронизывает левую. Соответственно, в левой катушке наводится ЭДС. Амперметр на рисунке предназначен для измерения силы тока. Его показания, отображенные на графике, при необходимости могут служить альтернативой вольтметру для измерения ЭДС (см.раздел «Индукционный ток»).

2. Записываем формулу для ЭДС: .

3. Из формулы следует, что при увеличении магнитного потока (∆Ф) ЭДС увеличивается. И наоборот. Когда же ∆Ф не изменяется, ЭДС не возникает, т.е. равна нулю.

4. Анализируем предложенные варианты ответов.

1) На графике линия значений для i разделена осью ОХ, т.е. часть их имеет отрицательные значения (отриц.сила тока), часть – положительные (положит.сила тока). Это означает, что на промежутках 0–1 и 1–2 ток движется в разных направлениях, и утверждение верно.

2) На промежутке 2–3 сила тока не меняется → она постоянна → магнитный поток не меняется и ЭДС отсутствует. Следовательно, утверждение неверно.

3) На промежутке 1–2 сила тока в правой катушке – и, следовательно, в сердечнике – меняется на 4 А за 1 с (равна 4 А/с), на промежутке 3–5 – на 4 А за 2 с (равна 2 А/с). Т.е. на промежутке 1–2 сила тока в левой катушке больше, чем на промежутке 3–5. О модуле силы тока здесь упоминается вот почему. Из графика следует, что индукционный ток на промежутке 1–2 возрастает, на 3–5 убывает. Но сравнить здесь предлагается только абсолютные величины изменения, т.е. модули. Итак, утверждение верно.

4) Из графика видно, что на промежутке 0–2 в правой катушке ток изменятся быстро. Это говорит о том, что магнитная индукция (ее модуль) тоже изменяется с определенной скоростью, и ее значение не является минимальным. Утверждение неверно.

5) Чтобы разобраться, верно или нет это утверждение, следует использовать понятие производной.

Поскольку график на промежутке 1–2 представляет собой прямую линию, то мы имеем дело с линейной функцией (у=ax+b). Это означает, что магнитный поток меняется линейно. ЭДС – это фактически производная от магнитного потока (. Производная от линейной функции есть величина постоянная, т.е. ЭДС здесь постоянна. А т.к. она пропорциональна силе тока, то, значит, и сила тока в левой катушке на промежутке 1–2 постоянна. Таким образом, утверждение неверно.

Первый вариант задания (Демидова, №3)

Два незаряженных пластмассовых кубика 1 и 2 сблизили вплотную и поместили в электрическое поле, напряжённость которого направлена горизонтально вправо, как показано в левой части рисунка. То же самое проделали с двумя незаряженными стальными кубиками 3 и 4. Затем кубики быстро раздвинули и уже потом убрали электрическое поле (правая часть рисунка).

Выберите два верных утверждения, описывающих данный процесс.

  1. После разделения кубик 3 имеет отрицательный заряд.
  2. При помещении пластмассовых кубиков в электрическое поле наблюдается явление поляризации.
  3. В электрическом поле кубики 1 и 2 приобретают суммарный отрицательный заряд.
  4. В электрическом поле кубики 3 и 4 приобретают суммарный отрицательный заряд.
  5. После разделения кубик 2 имеет положительный заряд.
Алгоритм решения:
  1. Анализируем физические процессы, описанные в условии.
  2. Анализируем предложенные варианты ответов и определяем правильность каждого из них.
  3. Записываем ответ.
Читайте также:  Частота силы тока в россии
Решение:

1. Пластмассовые кубики являются диэлектриками. После их помещения в эл.поле перемещения свободных зарядов в них происходить не будет, но возникнет явление поляризации, т.е. выстраивания диполей в том же направлении, в котором направлен вектор напряженности.

Стальные кубики – проводники. Поскольку они расположены вплотную, то заряды в них перераспределятся так: свободные электроны сконцентрируются в 3-м кубике, а положительные заряды – в 4-м. такое перераспределение связано с направлением напряженности. Напряженность направлена вправо, а значит, свободные электроны переместятся влево, т.е. в 3-й кубик.

2. Утверждение 1 верно, исходя из приведенного выше анализа. Утверждение 2 верно, т.к. пластмассовые кубики являются диэлектриками. Утверждение 3 неверно, поскольку кубики 1 и 2 не являются проводниками и перераспределения зарядов в них не происходит. Утверждение 4 неверно; суммарный отрицательный заряд концентрируется только в одном кубике – 3-м. Утверждение 5 неверно, т.к. перераспределения зарядов в кубиках-диэлектриках не происходит.

Второй вариант задания (Демидова, № 10)

Две маленькие закрепленные бусинки, расположенные в точках А и В, несут на себе заряды +q>0 и -2q соответственно (см. рисунок).

Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

  1. На бусинку А со стороны бусинки В действует сила Кулона, направленная горизонтально влево.
  2. Напряженность результирующего электростатического поля в точке С направлена горизонтально вправо.
  3. Модули сил Кулона, действующих на бусинки, одинаковы.
  4. Если бусинки соединить медной проволокой, они будут притягивать друг друга.
  5. Если бусинки соединить стеклянной палочкой, их заряды станут равными.
Алгоритм решения:
  1. Анализируем физические процессы, описанные в условии и в предложенных вариантах ответов.
  2. Делаем анализ и расчеты (при необходимости) для каждого из вариантов ответа и выводы об истинности каждого утверждения.
  3. Записываем ответ.
Решение:

1. В задаче взаимодействуют два заряженных тела (бусинки). Они имеют разные знаки, следовательно, притягиваются. Электростатическое поле, созданное зарядами, имеет напряженность, направленную горизонтально.

2. Разберем каждое из утверждений:

1) Бусинка А притягивается бусинкой В. Направление силы Кулона – в сторону бусинки В от бусинки А, т.е. горизонтально слева направо. Утверждение неверно.

2) Результирующая напряженность в точке С формируется из напряженностей, исходящих от точек А и В. Т.к. заряд А положительный, то направление напряженности – горизонтально из т.А в сторону т.С. Напряженность в т.В направлена от т.С горизонтально в т.В, поскольку напряженность отрицательного заряда направлена в него («входит» в него). Соответственно, получаем 2 вектора напряженности, направленные вправо по горизонтали. Результирующая напряженность направлена горизонтально вправо. Утверждение верно.

3) На каждую бусинку по закону Кулона действует сила . Т.е. величина силы в обоих случаях одинакова. Утверждение верно.

4) Медная проволока – проводник. Поэтому после соединения бусинок под воздействием электростатического поля происходит перераспределение заряженных частиц, и заряды выравниваются. Их величина станет равной (+q-2q)/2 = -0,5q. Таким образом, на полюсах (в точках А и В) возникнут отрицательные заряды, которые будут отталкиваться. Утверждение неверно.

5) Заряды не станут равными, поскольку стеклянная палочка не является проводником (стекло – диэлектрик) и перераспределение зарядов не вызывает. Утверждение неверно.

Источник

Самостоятельная работа Магнитное поле катушки с током. Электромагниты и их применение 8 класс

Самостоятельная работа Магнитное поле катушки с током. Электромагниты и их применение. Постоянные магниты. Магнитное поле постоянных магнитов. Магнитное поле Земли 8 класс с ответами. Самостоятельная работа представлена в двух вариантах, в каждом варианте по 5 заданий.

Вариант 1

1. Приведите примеры промышленного использования электромагнитов.

2. Какие изменения в свойствах электромагнита произойдут, если внутрь катушки внести железный стержень?

3. На рисунке указаны полюса источника тока, к которому присоединен электромагнит. Какой полюс электромагнита располагается наверху?

Рисунок к 3 заданию 1 вариант

4. На рисунке указано положение северного полюса электромагнита. Где располагается положительная клемма источника тока?

Рисунок к 4 заданию 1 вариант

5. Почему северный полюс магнитной стрелки показывает на север?

Вариант 2

1. Какое преимущество имеют электромагниты перед постоянными магнитами?

2. Как изменятся магнитные свойства катушки с током, если в ней увеличить силу тока?

3. На рисунке указаны полюса источника тока, к которому присоединен электромагнит. Какой полюс электромагнита располагается справа?

Рисунок к 3 заданию 2 вариант

4. На рисунке указано положение южного полюса электромагнита. Где располагается положительная клемма источника тока?

Рисунок к 4 заданию 2 вариант

5. Что является основной частью компаса? В каких районах Земли магнитная стрелка ведет себя «странно»?

Ответы на самостоятельную работу Магнитное поле катушки с током. Электромагниты и их применение. Постоянные магниты. Магнитное поле постоянных магнитов. Магнитное поле Земли 8 класс
Вариант 1
1. Для сортировки деталей, магнитные держатели, в звуковых устройствах, например, в звукоснимателе, магнитные сепараторы для зерна.
2. Электромагнитные свойства усилятся.
3. Южный полюс.
4. Положительная клемма расположена снизу.
5. Максимальное количество магнитных зарядов Земли находятся на Северном и Южном магнитных полюсах (не совпадающих с полюсами географической зоны). Стрелка поворачивается к противоположным магнитным зарядам Земли и всегда показывает на Север.
Вариант 2
1. Электромагниты обладают свойства притягивать объекты тогда, когда нам это необходимо. Начинает течь ток и магнит работает. Можно менять вектор магнитной индукции, изменяя величину силы тока, или его направления.
2. Магнитные свойства катушки увеличатся.
3. Южный полюс
4. Положительная клемма расположена сверху.
5. Магнитная стрелка, является основной частью компаса. Странно стрелка будет вести себя на экваторе. Также странно будет вести себя в местах магнитной аномалии, чаще всего там располагаются большие залежи железной руды.

Источник

Учебники

Разделы физики

Журнал «Квант»

Лауреаты премий по физике

Общие

Слободянюк А.И. Физика 10/12.13

§12. Постоянное магнитное поле

12.13 Применение теоремы о циркуляции к расчету магнитного поля.

12.13.1 Поле цилиндрического проводника с током.

Img Slob-10-12-055.jpg

Постоянный электрический ток силой I протекает по длинному цилиндрическому проводнику радиуса R (Рис. 55). Найдем распределение индукции магнитного в пространстве, как внутри цилиндра, так и вне его. Будем считать, что ток равномерно распределен по поперечному сечению цилиндра, то есть плотность тока является постоянной и равной

Это предположение выглядит логичным, однако не обоснованным, на самом деле, расчет распределения плотности тока является отдельной сложной задачей.

Можно повторить все рассуждения и экспериментальные обоснования, которые привели нас к выводу о том, что силовые линии магнитного поля прямого тока являются концентрическими окружностями. В данном случае симметрия задачи также осевая, поэтому и здесь силовые линии – окружности с центрами на оси цилиндра. Для расчета величины магнитной индукции, конечно, допустимо использовать закон Био-Саварра-Лапласа и принцип суперпозиции. Но зачем идти таким длинным путем, если есть возможность воспользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Сначала в качестве контура L1 выберем окружность радиуса r, совпадающую с одной из силовых линий, которая расположена внутри цилиндра. На этой окружности вектор индукции направлен по касательной к контуру (это же силовая линия) и постоянен по модулю, поэтому циркуляция вектора индукции равна произведению ее модуля на длину окружности \(

\Gamma_B = B \cdot 2 \pi r\) . Сила тока, пересекающего контур, равна произведению плотности тока на площадь круга, ограниченного рассматриваемым контуром \(

I_1 = j \cdot \pi r^2 = I \frac\) . По известной теореме, циркуляция вектора магнитной индукции равна электрическому току, пресекающему контур, умноженному на магнитную постоянную, поэтому справедливо равенство

B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I \frac\) ,

из которого находим значение индукции поля

которая возрастает пропорционально расстоянию до оси цилиндра.

Если вычислить циркуляцию для кругового контура L2, радиус r которого превышает радиус цилиндра, то она, по-прежнему, будет равна \(

\Gamma_B = B \cdot 2 \pi r\) , но сила тока, пересекающего контур, будет равна I (весь ток пересекает контур), поэтому теорема о циркуляции для этого контура будет иметь вид

B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I\) ,

из которой следует, что магнитное поле в рассматриваемом случае совпадает с полем прямого тока, индукция которого равна

и убывает обратно пропорционально расстоянию до оси цилиндра. На поверхности цилиндра (при r = R) формулы (2) и (3) приводят к одному и тому же результату, здесь индукция поля максимальна \(

Важно отметить, что распределение магнитного поля вне цилиндра не зависит от распределения плотности тока внутри цилиндра, если это распределение сохраняет осевую симметрию. Поэтому если поле создается электрическими токами, протекающими по тонким проводам, то нас не интересует распределение плотности тока в поперечном сечении.

Img Slob-10-12-056.jpg

График зависимости индукции поля от расстояния до оси цилиндра приведен на рис. 56.

12.13.2 Поле пластины с током.

Img Slob-10-12-057.jpg

Электрический ток равномерно протекает по очень большой пластине (то есть будем считать ее бесконечной), линейная плотность тока равна i (Рис.57). Найдем индукцию магнитного поля, Создаваемого таким распределением токов.

В том случае, когда электрический ток протекает по тонкой пластине, можно пренебречь толщиной пластины, или распределением плотности тока по глубине, то распределение токов на поверхности удобно характеризовать линейной плотностью – отношением силы тока, пересекающего малый отрезок, перпендикулярный направлению тока, к длине этого отрезка

Линейную плотность тока можно считать вектором, указывающим направление движения зарядов.

Img Slob-10-12-058.jpg

Линейная плотность тока является некоторым аналогом поверхностной плотности заряда – когда можно пренебречь толщиной слоя, в котором находятся заряды, можно считать, что все заряды находятся на поверхности, и описывать их распределение поверхностной плотностью σ. Кстати, равномерное распределение поверхностных токов можно получить, если равномерно заряженную пластину (с постоянной плотностью заряда σ) двигать с постоянной скоростью \(

\vec \upsilon\) , направленной вдоль плоскости пластины (Рис. 58). В этом случае линейная плотность электрического тока равна \(

\vec i = \sigma \vec \upsilon\) (докажите это самостоятельно).

Читайте также:  Как зависит мощность тока в лампе от силы тока от напряжения

Вернемся к расчету магнитного поля. Прежде всего, нам необходимо попытаться определить направление вектора индукции этого поля. Используя симметрию задачи можно утверждать, что вектор индукции может зависеть только от расстояния до плоскости (если сместится на некоторое расстояние вдоль плоскости, то распределение токов не изменится, почему должно изменится создаваемое им поле?). Поле под плоскостью совпадет с полем над плоскостью при его повороте на 180° (при таком повороте распределение токов на плоскости не изменяется).

Далее – вектор индукции такого поля не может иметь составляющей, перпендикулярной пластине, иначе не будет выполняться теорема о магнитном потоке.

Наконец, прямой электрический ток, создает магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен направления тока – откуда в данной задаче взяться составляющей вектора индукции, параллельной току?

Таким образом, мы приходим к выводу, что вектор индукции изучаемого поля и его силовые линии направлены параллельно пластине и перпендикулярно направлению тока (Рис. 57).

Img Slob-10-12-059.jpg

К этому же выводу можно прийти на основании принципа суперпозиции. Для этого следует разбить плоскость на ряд очень тонких полосок, параллельных направлению тока, которые можно рассматривать как линейные токи (Рис. 59).

Затем следует просуммировать [1] векторы индукции полей, создаваемых каждой полоской. Понятно, что на бесконечной плоскости каждой полоске I1 (за исключением I, той, которая находится непосредственно под точкой наблюдения A) найдется симметричная ей I2. Сумма векторов индукции полей, создаваемых симметричными полосками, направлена параллельно плоскости и перпендикулярно току (так же как и вектор индукции центральной полоски I). Следовательно, и сумма векторов индукции полей, создаваемых всеми полосками направлена также.

Все эти рассуждения нам необходимы, чтобы выбрать контур для подсчета циркуляции в виде прямоугольника ABCD (Рис. 57), симметричного относительно пластины, плоскость которого перпендикулярна пластине и направлению тока, а две его стороны параллельны пластине (длины этих сторон обозначим l). На сторонах BC и DA вектор индукции перпендикулярен им (поэтому здесь \(

\vec B \cdot \Delta \vec l = 0\)), а на сторонах параллельных плоскости вектор индукции постоянен и направлен вдоль контура (поэтому на каждой из этих сторон \(

\sum_k \vec B_k \cdot \Delta \vec l_k = Bl\)). Таким образом, циркуляция вектора индукции по данному контуру равна \(

\Gamma_B = 2 Bl\) . Используя теорему о циркуляции, запишем уравнение

\Gamma_B = 2 Bl = \mu_0 I = \mu_0 il\) ,

(где \(I = il\) — сила тока, пересекающего контур) из которого определим индукцию поля

Во-первых, полученный результат говорит, что магнитное поле является однородным — его индукция постоянна (заранее мы не могли утверждать, что она не зависит от расстояния до пластины). Во-вторых, полученная формула удивительно похожа на формулу для напряженности поля равномерно заряженной пластины (если правильно поменять магнитную и электрическую постоянные); правда, вектор напряженности перпендикулярен пластине, а вектор индукции параллелен ей.

12.13.3 Поле соленоида.

Img Slob-10-12-060.jpg

Соленоидом называется цилиндрическая катушка с проволочной обмоткой, по которой можно пропускать электрический ток (Рис. 60). Такой прибор широко используется в различных приборах для создания магнитного поля и других целей.

Сейчас наша задача – рассчитать характеристики магнитного поля, создаваемого электрическим током, протекающим по обмотке. Будем считать, что все параметры катушки (соленоида) нам известны. Для этого, прежде всего, необходимо качественно обсудить структуру магнитного поля. Первое, самое очевидное, источник обладает осевой симметрией, поэтому создаваемое им поле также должно быть осесимметричным, поэтому достаточно рассмотреть структуру поля (например, его силовые линии).

Далее воспользуемся способом рассуждений Майкла Фарадея, который с каждым электрическим зарядом связывал определенное число силовых линий электрического поля исходящих из заряда (своеобразная трактовка теоремы Гаусса), а с каждым элементом тока определенное число замкнутых силовых линий магнитного поля (теорема о циркуляции индукции магнитного поля).

Img Slob-10-12-061.jpg

Соленоид является совокупностью параллельных практически плоских круговых витков, поле которого мы изучали. Посмотрим еще раз на силовые линии поля одного витка (На Рис. 61 показаны поля двух витков – каждое из которых часть рисунка 33). Силовые линии должны охватить проводник с током, поэтому они сгущаются внутри витка, а снаружи удаляются от него. Если сблизить два витка, то силовые линии начнут охватывать оба проводника (токи в них текут в одном направлении), что приведет к еще большему сгущению внутри витков и удалению от них снаружи. Добавление числа витков будет усиливать этот эффект. Поэтому следует ожидать, что для длинного соленоида с большим числом витков, силовые линии внутри соленоида будут почти прямыми линиями с небольшими искривлениями при приближении к границам катушки (Рис. 62), а снаружи от него будут замыкаться где-то очень далеко от катушки.

Img Slob-10-12-062.jpg

Проведем еще одну цепочку рассуждений, приводящих к такому же выводу о структуре магнитного поля соленоида.

Img Slob-10-12-063.jpg

Сначала рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной плоскости, которое является однородным с каждой стороны от плоскости и зеркально симметричным. А затем мысленно свернем часть плоскости в цилиндрическую трубку (Рис. 63). Внутри векторы напряженности окажутся направленными противоположно друг другу, поэтому скомпенсируют друг друга – поле внутри равномерно заряженного цилиндра отсутствует, а снаружи будет радиальным (Рис. 63).

Img Slob-10-12-064.jpg

Теперь «сделаем» соленоид из участка плоскости, по которой равномерно протекает электрический ток. В этом случае силовые линии внутри цилиндра сгущаются, а снаружи имеют возможность «разбежаться» (Рис. 64).

Img Slob-10-12-065.jpg

Интересная конструкция получится, если расположить параллельно две плоских пластины, по которым токи текут в противоположных направлениях. В этом случае магнитное поле будет создаваться только между пластинами, так как снаружи поля пластин направлены противоположно и компенсируют друг друга. Не напоминает ли эта система плоский конденсатор? Похожая ситуация и в случае соленоида – снаружи вблизи соленоида магнитное поле отсутствует.

Задание для самостоятельной работы.

  1. «Сверните» мысленно из части плоскости, по которой течет постоянный электрический ток, цилиндр так, чтобы ток тек вдоль цилиндра (параллельно его оси). Установите структуру магнитного поля, создаваемого этим током.

После того, как структура поля установлена, расчет величины индукции поля является «примитивной задачкой». Выберем контур (см. Рис. 62) для применения теоремы о циркуляции в виде прямоугольника ABCD, стороны которого AB и CD параллельны оси катушки. Подсчет циркуляции вектора индукции магнитного поля (то есть суммы \(

\Gamma_B = \sum_i \vec B_i \cdot \Delta \vec l_i\)) в рассматриваемом случае прост: на стороне AB магнитное поле отсутствует; на сторонах BC и DA вектор индукции перпендикулярен контуру (поэтому соответствующие слагаемые также равны нулю); на стороне CD вектор индукции постоянен и параллелен этой стороне, поэтому здесь \(

\sum_i \vec B_i \cdot \Delta \vec l_i = Bl\) (l — длина этой стороны контура). Таким образом, уравнение теоремы о циркуляции в данном случае имеет вид

Bl = \mu_0 N I\) , (1)

где N — число витков обмотки, которые попали внутрь выбранного контура. Из этого уравнения находим индукцию магнитного поля внутри соленоида

n = \frac\) — число витков обмотки на единицу длины соленоида, эта величина также называется плотностью намотки.

Из окончательной формулы (2) следует, что поле внутри длинного соленоида является однородным. При приближении к торцам соленоида начинают сказываться, так называемые, краевые эффекты: во-первых, поле перестает быть однородным, появляются радиальные составляющие вектора индукции (силовые линии изгибаются), во-вторых, величина индукции поля уменьшается.

Задание для самостоятельной работы.

Покажите, в точке находящейся в центре торца соленоида, индукция поля уменьшается в два раза по сравнению с индукцией поля в точках далеких от торцов. (Подсказка: мысленно присоедините к рассматриваемому торцу еще один такой же соленоид).

Источник

с инета для метод

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

Действие магнитной составляющей си-

лы Лоренца F приводит к тому, что при

включении тока электроны начинают сме-

щаться к оси проводника ( рис. 9.4 ). В ре-

зультате на поверхности появляется избы-

точный положительный заряд, а в остальном

объеме – отрицательный. Таким образом,

возникает электрическое поле, со стороны

которого на электроны также действует си-

ла. Равновесие в проводнике будет достиг-

нуто тогда, когда действующая на электроны

сила Лоренца (9.12) станет равной нулю, и в

каждой точке проводника будет выполнять-

Индукция магнитного поля на расстоянии r от оси сплошного цилиндрического проводника равна

Рис. 9.4. Определение разности потенциалов U между осью и поверхностью сплошного цилиндрического проводника с током (задача 9.3.5 )

(см. задачу 7.3.10 главы 7). Напряженность электрического поля в произвольной точке проводника направлена по радиусу проводника и для ее проекции на радиальное направление получаем:

Отсюда находим разность потенциалов между осью проводника и его поверхностью

Замечание . Чтобы найти распределение заряда внутри провода, можно воспользоваться результатами задачи 1.3.13 главы 1. В ней было показано, что такая напряженность электрического поля, пропорциональная радиус-вектору r точки, получается внутри равно-

282 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

мерно заряженного цилиндра и равна E = r , где ρ – плотность

заряда. Приравнивая это выражение полученной выше напряжен-

ности Е , получаем ρ = −ε 0 µ 0 ne π 2 R 4 .

Нахождение энергии магнитного поля и магнитных сил, действующих на проводники с током, ограниченные

Задача 9.3.6. По тонкой проволоке диаметром D , согнутой в виде окружности радиуса R , течет постоянный ток I . Проволока разрывается, если величина механического напряжения в ней достигает величины σ 0 . При каком значении индукции B к однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, произойдет разрыв проволоки?

Замкнутое кольцо с током можно рассматривать как магнитный момент p m = IS n (см. (7.16) в главе 7). Так как вектор индукции магнитного поля параллелен p m , то согласно (9.3) отсутствует вращающий момент, действующий на проводник со стороны внешнего магнитного поля.

Рис. 9.5. Силы, действующие на элемент кольца с током во внешнем магнитном поле В (задача 9.3.6 )

Поскольку магнитное поле однородно, то согласно (9.2), полная сила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, также равна нулю, т.е. проводник находится в положении равновесия.

Читайте также:  Хамид гулом ток шери

На элемент проводника dl ( рис. 9.5 ) действует сила Ампера (9.1)

Эта сила должна быть скомпенсирована равнодействую-

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

щей d F T сил натяжения Т и Т ′ , приложенных к концам данного

элемента dF = Td α = T

. Приравнивая модули этих сил, получа-

Проволока разорвётся, если механическое напряжение в ней

достигнет предельного, то есть

поперечного сечения проводника).

Окончательно получим: B = σ 0 π D 2 . 4 IR

Ответ: B = σ 0 π D 2 . 4 IR

Задача 9.3.7 (базовая задача) . Две катушки с магнитными моментами p 1 и p 2 расположены так, что их оси находятся на одной прямой. Расстояние L между ними велико по сравнению с размерами катушек. Определить силу взаимодействия между катушками.

Поскольку L намного больше размеров катушек, то такую систему можно рассматривать как систему из двух точечных магнитных моментов (см. теоретический материал главы 7), один из которых находится в поле, создаваемом другим.

Будем рассматривать вторую катушку в поле первой. Выберем ось Х декартовой системы координат совпадающей с прямой, соединяющей центры катушек (см. рис. 9.6 ). Ввиду симметрии задачи сила будет иметь только х — компоненту. Тогда согласно (9.2) на вторую катушку действует сила, величина которой равна

F = F x = p 2 x ∂ B 1 x .

(7.21) теоретического мате-

Рис. 9.6. К расчёту силы взаимодействия

риала главы 7, магнитное поле

двух магнитных диполей (задача 9.3.7 )

284 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

на оси точечного магнитного момента равно B = µ 0 2 p m , следова- 4 π x 3

тельно, индукция магнитного поля, создаваемого первой катушкой

Окончательно получим: F

Замечание. Катушки притягиваются

имеют одинаковый знак ( p 1 ↑↑ p 2 ) и отталкиваются ( F x > 0), если p 1 x и p 2 х имеют разные знаки ( p 1 ↑↓ p 2 ) – ситуация, приведённая на

Задача 9.3.8 (базовая задача) . По длинному однослойному соленоиду с n витками на единицу длины течет ток I . Определить давление, действующее на боковую поверхность соленоида.

Каждый из витков со-

леноида представляет со-

бой кольцо с током, нахо-

дящееся во внешнем од-

нородном (если пренеб-

ми) магнитном поле, пер-

рис. 9.7 ). Согласно

Рис.9.7. Силы, действующие на виток со-

леноида со стороны его собственного маг-

нитного поля (задача 9.3.8 )

Найдем эти силы энергетическим методом.

Пусть радиус соленоида увеличился на dR при неизменной силе тока. Тогда согласно (9.8 ′ ) работа сил давления на боковую по-

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

верхность соленоида будет равна приращению его энергии

δ A = pdV = p 2 π RldR = δ W I=const ,

где V – объем соленоида, R – его радиус, l –длина. Энергия соленоида согласно (9.5) равна

W = 1 LI 2 = 1 µ 0 n 2 π R 2 lI 2 ,

где использовано, что индуктивность соленоида L = µ 0 n 2 V (см. задачу 8.3.10 главы 8).

Из этих соотношений находим величину давления

n 2 π R 2 l I 2

где B = µ 0 nI – индукция магнитного поля на оси длинного соленоида (см. задачу 7.3.5 главы 7).

Ответ: p = µ 0 n 2 I 2 2 .

Замечание 1. Длинный соленоид разделяет все пространство на две области: внутри соленоида, в которой существует магнитное поле с индукцией B = µ 0 nI (см. задачу 7.3.5 главы 7), и снаружи соленоида – где магнитное поле очень мало.

Согласно (9.11) давление, оказываемое на боковую поверхность соленоида силами Ампера равно

Замечание 2 . Наличие сил давления, действующих на боковую поверхность соленоида, приводит к тому, что максимальное значение индукции магнитного поля, которое можно получить с помощью соленоидов, не превышает 50 Тл (для импульсного соленоида). При такой величине B на проволоку из бериллиевой бронзы, из которой изготавливаются импульсные соленоиды, оказывается дав-

ление равное p = B 2 ( 2 µ 0 ) ≈ 2 10 9 Па , близкое к её пределу прочности.

286 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Замечание 3. Вследствие взаимного притяжения витков соленоида на его торцевую поверхность будут действовать силы, стягивающие его. Величину давления, действующего на торцевую поверхность соленоида можно определить аналогично решению данной задачи (см. задачу 9.4.7 для самостоятельного решения).

Определение вращающего момента и сил, действующих на проводник с током и магнитный диполь в магнитном поле

Задача 9.3.9 (базовая задача) . Квадратная рамка со стороной

а , изготовленная из тонкого проводника, расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I 0 . Определить внешнюю силу, которая удерживает рамку в равновесии, если по ней течёт ток I , а расстояние между проводом и ближней к нему стороной рамки равно 2 а ( рис. 9.8 а ).

Рис. 9.8 а. Взаимное располо- Рис.9.8 б. Определение силы, действующей на

жение проводников с токами в

рамку со стороны магнитного поля прямого

провода (задача 9.3.9 )

Способ 1. Согласно закону Ампера (9.1) на стороны рамки будут действовать разные силы со стороны магнитного поля прямого провода с током I 0 . Направим ось Х перпендикулярно проводу в плоскости рамки. Вектор магнитной индукции поля прямого провода В направлен перпендикулярно плоскости рамки, а его модуль

равен B = µ 0 I (см. задачу 7.3.9 главы 7), где I – сила тока в прово- 2 π x

де, а х – расстояние от него до рассматриваемой точки.

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

Полная сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля, равна векторной сумме сил

F = F AB + F BC + F CD + F DA

( рис. 9.8б ). Так как на участках рамки BC и DA токи текут в разные стороны, а направление магнитного поля одинаково, то F BC = – F DA и сумма этих сил равна нулю.

Определим силы, действующие на две других стороны рамки. Используя соотношение (9.1), для модуля сил имеем:

Векторы F АВ и F СD направлены противоположно и, следовательно, х -компонента результирующей силы, действующей на рамку со стороны магнитного поля, равна

F x = − µ 0 I 0 I + µ 0 I 0 I = − µ 0 I 0 I

4 π 6 π 12 π и направлена в сторону провода против оси Х .

Для того, чтобы рамка находилась в равновесии, к ней должна быть приложена внешняя сила F ′ , равная по величине и противопо-

ложная по направлению силе F , то есть F x ′ = µ 0 I 0 I . 12 π

Способ 2. При постоянстве токов, текущих в проводниках, согласно соотношению (9.8 ′ )

δ A = Fdx = δ W I= const .

Так как в рассматриваемой задаче токи, текущие в проводниках, не изменяются, то внешнюю силу, действующую на рамку, можно найти как

Энергия магнитного поля, созданного двумя контурами с токами, согласно (9.6) складывается из собственных магнитных энергий контуров и их взаимной энергии. Собственные магнитные энергии контуров – постоянные величины. От координаты х зависит только энергия взаимодействия, поэтому

W ( x ) = W взаим = L 12 x ) I 0 I ,

288 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где L 12 – коэффициент взаимной индукции системы «провод – рамка».

Найдем взаимную индуктивность L 12 контуров.

Магнитный поток через рамку, создаваемый полем провода, ра-

Тогда L = µ 0 a ln

Так как получившаяся величина отрицательна, искомая магнитная сила направлена против направления оси х , что соответствует притяжению рамки к проводу.

Ответ: F x ′ = µ 0 I 0 I . 12 π

Задача 9.3.10. Соленоид радиуса R и длины l ( l >> R ) имеет обмотку, состоящую из N витков. По соленоиду течет ток силы I . В центре соленоида на его оси помещена небольшая катушка, имеющая магнитный момент p m , направленный перпендикулярно оси соленоида. Определить величину момента сил М , действующих на катушку.

Внутри длинного соленоида магнитное поле однородно. Вектор магнитной индукции такого поля направлен вдоль оси соленоида (см. рис. 9.9 ) и равен по модулю

B = µ 0 nI = µ 0 l I .

Будем рассматривать катушку, как точечный магнитный диполь. Тогда в соответствии с (9.3) момент сил по модулю будет равен

Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике

Рис. 9.9. К определению вращающего момента сил Ампера, действующего на магнитный диполь, помещённый на оси соленоида (задача 9.3.10 )

N M = p m B sin α = p m µ 0 l I ,

где α = 90 ° – угол между векторами p m и В .

Ответ: M = µ 0 p m NI . l

Замечание. Если внутренняя катушка ориентирована соосно соленоиду, то в соответствии с (9.4) момент сил, действующих на неё со стороны магнитного поля соленоида, равен нулю.

Задача 9.3.11. На круглый короткий деревянный цилиндр объёмом V в один слой намотана катушка. По катушке течет ток, поверхностная плотность которого равна i . Определить величину механического момента, который удерживает цилиндр в равновесии, если он находится во внешнем однородном магнитном поле, вектор индукции которого В образует угол α с осью цилиндра.

Рассмотрим элемент катушки длиной dl . Согласно определению (7.16) главы 7, этот элемент можно рассматривать, как магнит-

ный диполь с моментом p m = IS n = idl π R 2 n (где R – радиус катушки), направленным вдоль оси цилиндра (см. рис. 9.10 ). В соответствии с (9.4) на этот элемент катушки со стороны магнитного поля действует вращающий момент, равный по модулю

dM = p m B sin α = idl π R 2 B sin α .

290 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Рис. 9.10. Определение момента сил, действующих на элемент катушки с током во внешнем магнитном поле (задача 9.3.11

Считая, что геометрические размеры катушки (радиус R и длина l ) совпадают с размерами деревянного цилиндра, на который она намотана, получим выражение для момента, действующего на всю катушку со стороны магнитного поля

M = ∫ dM = ∫ idl π R 2 B sin α = iVB sin α .

При интегрировании учтено, что объём катушки равен

В условиях равновесия механический момент, который удерживает цилиндр с катушкой в равновесии, равен по величине моменту магнитных сил, который стремиться повернуть катушку.

Ответ: M = iVB sin α .

Задача 9.3.12. Замкнутый контур с током I , состоящий из двух полуокружностей радиусов а и b , соединённых прямыми участками (см. рис. 9.11а ), находится в поле длинного прямого проводника с током I 0 . Плоскость контура перпендикулярна прямому проводнику, а центры полуокружностей лежат на оси прямого проводника. Найти момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур.

Силовые линии индукции магнитного поля, создаваемого бесконечным прямым проводником с током, являются окружностями, плоскость которых перпендикулярна проводнику. На расстоянии х от проводника величина магнитной индукции его поля равна

B = µ 0 I 0 (см. задачу 7.3.1 главы 7). Следовательно, в каждой точке 2 π r

Источник