Меню

Чтобы получить трубку тока следует



Линии и трубки тока. Неразрывность струи

date image2014-02-09
views image4254

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

При изучении жидкостей их рассматривают как сплошную непрерывную среду, не вдаваясь в молекулярное строение жидкостей. При описании движения жидкости проще следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в каждой точке пространства.

Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их была пропорциональна

величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора скорости в разных точках пространства (рис.1). Например, в точке А густота линий, а следовательно и модуль , больше, чем в точке В.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одной и той же скоростью . Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Рассмотрим трубку тока, выберем два ее сечения и , перпендикулярные направлению скорости. Предположим, что во всех точках сечения скорость частиц

жидкости одинакова. За одну секунду через сечение пройдет объем жидкости , а через сечение — (рис.2). Если жидкость несжимаема (то есть плотность ее всюду постоянна), то количество жидкости между сечениями и будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения и должны быть одинаковы

Следовательно для несжимаемой жидкости при стационарном течении величина в любом сечении данной трубки должна быть одинакова

Это выражение есть теорема о неразрывности струи. Из него следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (см. рис.3)

Источник

Чтобы получить трубку тока следует

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

1.6.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует поле векторов скорости. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (Рис. 1.6.1). Эти линии называются линиями тока .

Рис. 1.6.1. Линии тока в жидкости

Густота линий (отношение числа линий к единичной площадке) пропорциональна величине скорости в данном месте.

Картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то такое движение называется установившимся, или стационарным . Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Вектор скорости будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (Рис. 1.6.2).

Рис. 1.6.2. Трубка тока

Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время dt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает значения vdt. Следовательно, за время dt через сечение S пройдет объем жидкости, равный Svdt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (ее плотность одинакова и не изменяется), то количество жидкости между сечениями S1 и S2 (Рис.1.6.3) будет оставаться неизменным.

Рис. 1.6.3. К теореме о неразрывности струи

Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми (считаем, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят):

Читайте также:  Что сделать чтоб не било током от всего

Данный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи . Из соотношения (1.6.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (Рис.1.6.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Рис. 1.6.4. Изменение скорости струи

1.6.2. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с трением. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (Рис.1.6.5). Рассмотрим малый объем жидкости, ограниченной стенками трубки тока и перпендикулярными сечениями S1 и S2. За время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока (сечение S1 переместится в положение S1‘, пройдя путь Δl1, сечение S2 переместится в положение S2‘, пройдя путь Δl2). В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ΔV1 = ΔV2 =ΔV.

Рис. 1.6.5. К выводу уравнения Бернулли

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время Δt в любой из точек незаштрихованного объема (например, в точке О), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ΔЕ можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов ΔV1 и ΔV2.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом (ρ — плотность жидкости):

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (1.6.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым оно приложены, и работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2:

Приравнивая (1.6.2) и (1.6.3), после упрощения получим:

Сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

Данное соотношение носит наименование уравнения Бернулли . Несмотря на то, что оно получено в приближении идеальности жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не слишком велико.

Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда будет выполняться равенство:

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

Для жидкости, текущей горизонтально, выполняется:

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

1.6.3. Силы внутреннего трения

Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим такой опыт. Пусть в жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (Рис. 1.6.6), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними.

Рис. 1.6.6. Внутреннее трение в жидкостях

Считаем нижнюю пластину неподвижной, а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v. Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной силой . Поскольку пластина не получает ускорения, то действие этой силы уравновешивается равное по величине, но противоположно направленной силой .

Из опыта следует, что выполняется:

где S — площадь пластин, h — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости, называемы коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Нижняя пластина при перемещении верхней пластины также оказывается подверженной действию силы , по величине равной силе . Чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, должно выполняться: . Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой . Следовательно, соотношение (1.6.8) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Читайте также:  Как отключить автомат чтобы не ударило током

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону:

Действительно, частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и движутся с той же скоростью, что и пластины. Из (1.6.9) следует:

Подставляя (1.6.10) в (1.6.8), имеем:

Следовательно, сила трения пропорциональна градиенту скорости.

Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м&sup2 поверхности касания слоев (1 Н·с/м&sup2). В СГС единицей вязкости служит 1 пуаз (пз), равный такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 см/с на 1 см, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см&sup2 поверхности касания слоев. 1 Н·с/м&sup2 = 10 пз.

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем у жидкостей вязкость сильно уменьшается с температурой, у газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой возрастает. Такое различие указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. При повышении температуры сильно возрастает подвижность молекул в жидкости, что и влечет уменьшение ее вязкости.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Источник

Уравнение Бернулли. Трубка тока (поверхность тока)

Трубка тока (поверхность тока)

Выделим в движущейся жидкости замкнутый контур, через каждую точку которого проведем линии тока (рис.4.5).

Рис. 4.5. Трубка тока

Образованная таким образом цилиндрическая поверхность носит название трубки тока. Данный контур намечался в прост­ранстве, занятом движущейся жидкостью, поэтому часть ее должна находиться и внутри трубки тока. Количество жидкости внутри поверхности тока или трубке тока будет оставаться постоянным с течением времени, так как по определению она образована линиями тока, касательными к поверхности трубки тока и жидкость не может втекать и вытекать из нее. Данное свойство трубки тока является необходимым при определении объемного и массового расхода жидкости.

Объемным расходом принято называть объемное количество жидкости, проходящей через данное живое сечение в единицу времени, в системе СИ объемный расход измеряется в .

Внутри трубки тока объемный расход остается постоянный.

Объемный расход жидкости через поверхность реального потока будет равен

где — проекция скорости на нормаль к площадке.

Массовым расходом называют массу жидкости, проходящей через рассматриваемое сечение в единицу времени. Массовый расход в системе СИ измеряется в

Массовый расход жидкости через поверхность равен абсолютному значению

Важной характеристикой потока или конечной струйки является

средняя скорость потока в данном сечении.

Это понятие вводится для упрощения решений многих технических расчетов и практических задач, так как в реальных потоках вязкой жидкости локальные скорости по живому сечению распределяются неравномерно.

Средней скоростью называется одинаковая для всех точек сечения фиктивная скорость, при которой данное живое сечение пропускает тот же расход, что и при действительных неравномерно-распределенных локальных скоростях.

Уравнение неразрывности или сплошности (уравнение расхода)

Уравнение неразрывности – это частный случай уравнения сохранения массы жидкости во времени для изолированной системы .

Условимся считать что жидкость, втекающая в выделенный объем в виде параллелепипеда через первую грань вдоль оси будет положительна, а вытекающая через вторую грань будет отрицательна.

Рис. 4.6 К выводу дифференциального уравнения сплошности

Изменение массы жидкости вытекающей из второй грани вдоль оси за время из параллелепипеда составит:

Аналогично на все координатные оси

Суммарное изменение массы внутри элементарного параллелепипеда за счет разности приносимой потоком в параллелепипед и уносимой из него массы по трем координатам и за время составит

Читайте также:  Как рассчитать магнитный поток двигателя постоянного тока

Из математики известно, что:

Изменение массы в неизменном объеме возможно только тогда, когда меняется плотность жидкости.

Изменение плотности по координатам с течение времени будет:

Сгруппировав слагаемые, получим уравнение неразрывности или сплошности:

Для несжимаемой жидкости , тогда расход по длине струйки тока не меняется в данный момент времени и имеет одно и тоже значение.

Уравнения (4.26) называются уравнениями неразрывности (расхода) в гидравлической форме для несжимаемой жидкости.

Профессор Казанского университета И.С. Громека преобразовал уравнения Эйлера в иную форму, соответствующую идеальной, несжимаемой, однородной жидкости. Массовые силы для большинства практических задач соответствовали силе тяжести. Режим движения данной жидкости был стационарным, т.е. и безвихревой.

Умножим каждое из уравнений Эйлера последовательно на , , и .

Система дифференциальных уравнений Л. Эйлера для идеальной движущейся жидкости на координатные оси

Раскроем скобки и сгруппируем, получим:

Это выражение называют уравнением Бернулли в дифференциальной форме. При условии (для несжимаемой жидкости) интегрирование его дает:

Этот интеграл называют интегралом Бернулли, из уравнения (5.8.) следует, что сумма удельной кинетической , удельной потенциальной энергии и удельной работы сил давления — есть величина постоянная.

Для того, чтобы записать интеграл Бернулли в размерностях давления, умножим обе части (5.8) на плотность и получим

— удельная потенциальная энергия единицы объема жидкости, Па.

геометрическое давление — удельная энергия положения единицы объема жидкости, Па.

скоростное давление — удельная кинематическая энергия единицы объема жидкости, Па.

Таким образом, уравнение Бернулли это частный случай закона сохранения энергии.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Чтобы получить трубку тока следует

Если мы проведем линию тока через каждую точку замкнутой кривой, то получим трубку тока.

Струйкой тока, или элементарной трубкой тока, называется трубка тока, поперечное сечение которой является кривой бесконечно малого размера.

Если движение жидкости зависит от времени, то конфигурация трубок тока и струек тока изменяется от момента к моменту; однако наиболее интересные приложения этих понятий связаны с установившимися движениями жидкости, которые мы сейчас будем рассматривать.

В установившемся движении жидкости трубка тока ведет себя подобно действительной трубке, через которую течет жидкость. Это связано с тем, что не может существовать потока жидкости сквозь стенки трубкн тока, так как, по определению, поток всегда касается стенок трубки тока. Кроме того, эти стеики имеют фиксированное положение в пространстве, так как движение установившееся и, следовательно, движение жидкости внутри трубки тока не изменится, если мы заменим стенки твердой поверхностью.

Рассмотрим струйку тока жидкости в установившемся движении. Мы можем считать площадь поперечного сечения струйки настолько малой, что скорость ее будет одинакова в каждой точке сечения, проведенного перпендикулярно направлению скорости.

Пусть теперь скорости потока в точках, где площади поперечных сечений равны (рис. 3). Поскольку жидкость несжимаема, то объем жидкости, вытекающий через одно сечение за данный промежуток времени, должен быть равен объему жидкости, втекающему через другое сечение за то же время. Таким образом, можно записать равенство

Это уравнение представляет собой простейший случай уравнения сохранения массы, или уравнения неразрывности, согласно которому в общем случае движения жидкости количество массы, втекающей в данный объем, должно компенсироваться количеством массы, вытекающей из этого объема. Вышеуказанный результат можно выразить следующей теоремой.

В установившемся движении жидкости произведение скорости на площадь поперечного сечения постоянно вдоль жидкой струйки тока.

Это следует из того, что нить тока расширяется в местах, где скорость жидкости уменьшается, и сужается в местах, где скорость жидкости увеличивается.

Другое важное следствие состоит в том, что струйка тока не может оканчиваться внутри жидкости, если скорость не равна бесконечности в соответствующей точке. Если не рассматривать этот случай, то отсюда следует, что вообще струйки тока либо замкнуты, либо оканчиваются на границе жидкости. То же самое справедливо для линии тока, так как поперечное сечение струйки тока можно считать сколь угодно малым.

Источник