Меню

Чему равен переходный ток



ЛЕКЦИЯ 1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Включение и выключение источников и приемников электроэнергии, возникновение коротких замыканий и т. п. связано с мгновенным изме­нением параметров электрических цепей и сопровождается протеканием в них переходных электромагнитных процессов. Переходным называется процесс, возникающий в любой системе при переходе от одного устано­вившегося процесса (режима) к другому. Электромагнитные переходные процессы занимают обычно относительно небольшое время (от долей до нескольких секунд), но сопровождаются „бросками» токов, „провалами» или „всплесками» напряжений, которые могут вызвать срабатывание за­щитных устройств, повреждение деталей, чрезмерные перегревы, пробой изоляции и др.

Рис. 1.1. Схема электрической цепи с обобщенными парамет­рами при подключении к ис­точнику электроэнергии

При подключении r –L цепи выключателем S источнику постоянного тока возникает переходный процесс между начальным установившимся режимом работы, соответствующим i= 0и конечным установившимся режимом, соответствую­щим току i= iуст. Изменение тока в цепи от 0 до iуст за время переходного процесса связано с изменением магнитного потока катушки и возникно­вением в ней ЭДС самоиндукции е L = — L (di/dt). На основании второго закона Кирхгофа (сумма напряжений и ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений) применительно к схеме на рис. 1.1 можно составить следующее уравнение:

(1.1)

Уравнение (1.1) называется линейным дифференциальным уравне­нием первого порядка. Полное решение данного уравнения относительно тока находится как сумма токов двух частных решений, т. е.

i= i+ iсв (1.2)

Значение тока первого частного решения соответствует установив­шемуся процессу, который наступает в цепи после окончания переходного процесса. Данный ток принято называть принужденным (или установив­шимся) , поскольку он течет под действием напряжения источника элект­роэнергии. Значение принужденного тока находится из уравнения (1.1), написанного для установившегося режима, т. е.

iпрr + L diпр/dt = u (1.3)

Поскольку iпр=const, diпр/dt=0, Следовательно, iпр r = u или iпр = u / r ( 1.4)

Формула (1.4) соответствует закону Ома для электрической цепи постоянного тока. Значение тока второго частного решения iсвсоответ­ствует .свободному процессу изменения тока при отсутствии в цепи источ­ника электроэнергии (при закороченном источнике) под действием запасенной в цепи энергии. Данный ток принято называть свободным. Значение свободного тока находится из уравнения (1.1) при u=0, т.е.

iсвr + L diсв/dt = 0 (1.5)

Решение данного дифференциального уравнения можно представить в сле­дующем виде:

iсв = А е — α t (1.6)

где А — постоянная интегрирования; е — основание натуральных логариф­мов (е = 2,72); α — корень характеристического уравнения.

Постоянная интегрирования А определяется уравнением (1.2) для на­чальных условий t= 0, i=0

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, имеем откуда

A=u/ r (1.7)

Дифференциальному уравнению (8.5) соответствует следующее ха­рактеристическое уравнение:

r +La =0

откуда корень уравнения a = r/L(1.8)

Объединив формулы (8.6) — (8.8), получим

iсв= (- u/r) е – r / Lt

Обычно данную формулу принято записывать в виде

iсв= (- u/r) е – τ / t (1.9)

где τ — постоянная времени электрической цепи L/r , с.

Из формул (1.4) и (1.9) следует, что принужденный ток имеет по­стоянное значение, а свободный ток является затухающим. Процесс зату­хания свободного тока определяется множителем Объединив формулы (1.2), (1.4) и 1.9), получим полное решение уравнения (1.1) в виде

( i=u/r – (u/r) е –τ/t = u/r( 1- е –τ/t )(1.12)

Рис. 1.2. График изменения токов при подключении электрической цепи к источнику постоянного тока

На рис. 1.2 представлен график изменения принужденного, свободного и общего (результирующего) то­ков, построенных на основании формул (1.4), (1.9) и (1.12) или (1.2). Из графика видно, что значения принужденного и свободного токов распо­ложены в первом и четвертом квадрантах, ординаты которых имеют про­тивоположное направление. При t=0 значения принужденного и свободного токов равны, но противоположны по направлению, поэтому значение общего тока равно нулю. По мере уменьшения свободного тока происходит нарастание общего тока. Приiсв=0 значение общего тока достигает значения принужденного (установившегося) токаiуст.Нарастание общего тока происходит по кривой, подобной кривой затухания свободного тока. Если через начало коорди­нат провести касательную к кривой общего тока, то она, пересекая линию принужденного тока, отсечет отрезок, равный постоянной времени т. Из графика ясно, что длительность переходного процесса пропорцио­нальна значению т, а следовательно отношению L/ r. При L>r переходный процесс затягивается, при L

При подключении электрической цепи (см. рис. 1.1) к источнику си­нусоидального переменного тока напряжением u = (Umax / Z) sin (wt+α – φ) урав­нение переходного процесса (8.1) и методика его решения полностью со­храняются. Однако значения принужденного, свободного и общего токов при этом будут определяться другими формулами. Значение принужден­ного (установившегося) тока по аналогии с формулой (1,4) определяется законом Ома для электрической цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления r и индуктивного сопротивления х =wt, т. е.

i = (Umax / Z ) sin (wt+α – φ) = I max sin (wt+α – φ) (1.13)

Z = √г 2 + х 2 — полное, активное и реактивное сопротивления электрической

цепи; а — угол, определяющий, напряжение в момент включения при t=0; φ — сдвиг фаз (угол между векторами) тока и напряжения;Imах — амплитудное значение тока.

Свободный ток при t=0 равен по значению и противоположен по направлению принужденному току, т. е,

Затем данный ток затухает по экспоненциальной кривой, что определяется множителем е – τ / t . Формула свободного тока в этом случае будет иметь вид:

iсв= — — I max sin (α – φ) е –τ/t (1.15)

где τ= L/r = х/wг — постоянная времени электрической цепи.

Общий ток переходного процесса определяется формулой

i = i пр+ iсв= I max [sin (wt+α – φ) — sin (α – φ) е –τ/t ](1.16)

Из формулы (1.13) следует, что принужденный ток изменяется по синусоидальному закону, имеет периодический характер и его называют периодическим током. Характер изменения свободного тока, согласно (1.15), является затухающим и непериодическим, поэтому его принято называть апериодическим.

Анализ формул (1.13), (1.15) и (1.16) дает возможность убедиться, что наибольшие мгновенные значения токов переходного процесса соот­ветствуют включению цепи в момент прохождения напряжения через ну­левое значение (при а = 0), а также при φ = — 90 0 ,т. е. пренебрегая актив­ным сопротивлением цепи (практически при x >r). Тогда

(1.17)

(1.18)

i = iпр + iсв = -I max cosωt + I max e -t/τ (1.19)

На рис. 1.3 представлен график изменения токов, построенных на ос­новании формул (1.17) — (1.19). Из графика видно, что при I = 0 значе­ния периодического и апериодического токов равны Imax,, но противопо­ложны по знаку (направлению). Апериодический ток iа расположенный в первом квадранте, затухает до нуля, не изменяя своего направления. Периодический ток iпр изменяется по синусоидальной (косинусоидальной) кривой с неизменным значением амплитуды 1тзх.

Рис. 1.3. График изменения токов при подключении элек­трической цепи к источнику переменного тока

Через половину периода изменения периодического тока, т. е. при wt= л = Т/2 и t = 1/2f = 0,01 с, амплитуды периодического и апериодиче­ского токов, имея одинаковое направление, дают наибольшее суммарное значение общего тока, которое принято называть ударным током. Значе­ние ударного тока определяется формулой (1.19) при соs π = -1 и τ = 0,01 с

Обозначив Куд = (1 + e -0/01/ τ ), получим: iуд = Куд Imax

Из формулы следует, что значение ударного коэффициента из­меняется в пределах от 1 до 2 в зависимости от изменения τ в пределах от 0 до ∞ (τ= 0 при х = 0; τ= ∞ при r= 0). В первом случае свободный ток равен нулю, во втором — свободный ток не затухает.

Практически при х>r переходный процесс растягивается, а значение ударного коэффициента приближается к 2; при r > х процесс быстро за­тухает, а значение коэффициента приближается к 1.

Возникновение короткого замыкания, например между точками а и б схемы на рис. 1.4, связано с мгновенным образованием замкнутой электрической цепи и появлением в ней тока iк.з , что аналогично подключению переключателем приемника к источнику электроэнергии. Переходный процесс подключения электрической цепи к источнику совпадает с переходным процессом короткого замыкания и описывается формулами (1.1 -1.22).

Рис.1.4 Схема электрической сети при возникновении короткого замыкания в кабеле.

Вместе с тем следует заметить, что указанные формулы получены на основе постоянных значений э.д.с. и напряжения источника питания и постоянных значений активных и реактивных сопротивлений электрической цепи. На практике, при рассмотрении переходных процессов, значения э.д.с. и внутренние сопротивления источников питания ( генераторов) и приемников (двигателей) могут изменяться. Поэтому параметры xи и rи источников и xп и rп приемников на схемах обычно разделяют.

Контрольные вопросы

1.Назовите причины возникновения переходных процессов в энергосистемах.

2.Напишите уравнение переходного процесса при подключении простой R-L цепи к источнику постоянного напряжения.

3. Как определить принужденный ( установившийся) и свободный ток в этой цепи? Что является причиной появления свободного тока в цепи?

4.Напишите уравнение переходного процесса при подключении простой R-L цепи к источнику переменного напряжения.

5.Как определить периодический ток и апериодический ( свободный) ток в этой цепи. Условия подключения цепи , при которых имеет место максимальные значения апериодических токов.

6 Что такое ударный ток и как его определить?

7. Каковы особенности переходного процесса, соответствующие режиму короткого замыкания в цепи переменного ток?

Источник

Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации iL(−)<\displaystyle i_(0_<->)>, равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации iL(+)<\displaystyle i_(0_<+>)>, так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

Второй закон коммутации

Напряжение на емкостном элементе С непосредственно до коммутации uC(−)<\displaystyle u_(0_<->)> равно напряжению во время коммутации, и напряжению на емкостном элементе непосредственно после коммутации uC(+)<\displaystyle u_(0_<+>)>, так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

Читайте также:  Что такое максимальная сила тока генератора

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание

  1. t=−<\displaystyle t=0_<->> — время непосредственно до коммутации.
  2. t= — непосредственно во время коммутации.
  3. t=+<\displaystyle t=0_<+>> — время непосредственно после коммутации.

Методы расчёта переходных процессов

  • Классический метод (решение дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики).
  • Операторный метод (перенос расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t<\displaystyle t>) в область функций комплексного переменного, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические).
  • Метод переменных состояния (составление и решение системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных. Число переменных состояний равно числу независимых накопителей энергии).

Выполнение расчетов стандартным способом

Перед тем как выполнять расчет переходных процессов, нужно максимально уменьшить количество накопителей энергии. С этой целью исключаются любые виды параллельных и последовательных соединений реактивных элементов одного типа.

Используемое дифференциальное уравнение будет зависеть от количества реактивных элементов в расчетной схеме. На практике, при выполнении анализа, рекомендуется выполнять все действия в следующем алгоритме:

  • Расчет установившегося режима при условии t→∞ вместе с установленными токами и напряжениями.
  • Расчет режима, предшествующего коммутации. Токи и напряжения в момент коммутации будут использоваться в качестве независимых первоначальных условий.
  • Составление дифференциальных уравнений для свободного процесса.
  • Поместить в уравнения полученные предварительные данные, найти постоянные интегрирования и на их основе вычислить изменения анализируемых токов и напряжений.

Трансформатор в электрических цепях

Коммутация электрических цепей

Компенсация реактивной мощности в электрических сетях

Расчет электрических цепей

Буквенные обозначения элементов на электрических схемах

Расчет электрических нагрузок

Возникновение переходных процессов и законы коммутации

Основы > Теоретические основы электротехники

Возникновение переходных процессов и законы коммутации
В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, будем считать, что начало отсчета времени переходного процесса t=0 начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим 0 — , а сразу после мгновенной коммутации 0 + .Сформулируем два закона коммутации.1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственнопосле коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t=0+ , или, короче, t=0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0-, и дальше начинает изменяться именно с этого значения:Так, при включении ветви с катушкой, в которой не было тока, ток в этой ветви в момент коммутации равен нулю. Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа.

Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления Возникновение переходных процессов и законы коммутации Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях — википедия с видео // wiki 2 Законы коммутации — студопедия Территория электротехнической информации websor Территория электротехнической информации websor Расчет переходных процессов в цепях первого порядка Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях

Все страницы раздела «Классический метод расчета переходных процессов» на websor Законы коммутации Переходный, установившийся и свободный процессы Короткое замыкание rL-цепи Включение rL-цепи на постоянное напряжение Включение rL-цепи на синусоидальное напряжениеКороткое замыкание rС-цепи Включение rС-цепи на постоянное напряжение Включение rС-цепи на синусоидальное напряжение Переходные процессы в rLC-цепи Апериодическая разрядка конденсатора Предельный случай апериодической разрядки конденсатора Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора Включение rLC-цепи на постоянное напряжение Общий случай расчета переходных процессов классическим методом Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы Переходная и импульсная переходная характеристики Запись интеграла Дюамеля Метод переменных состояния Численные методы решения уравнений состояния Дискретные модели электрической цепи Переходные процессы при некорректных коммутациях Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

2. На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения:
Так, при включении ветви с конденсатором, который не был заряжен, напряжение на конденсаторе в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться опять-таки второй закон Кирхгофа.С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока и напряжения объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергии магнитного поля и энергии электрического поля ). Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью и не могут ее обеспечить.

В этом разделе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Поэтому исключается из рассмотрения нелинейный элемент — электрическая дуга, которая может возникнуть при коммутациях. Чтобы исключить влияние дуги, будем считать, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, т. е. теоретически мгновенная.Записанные выше законы коммутации для тока и напряжения в ветвях, содержащих реактивные элементы, при некоторых коммутациях не выполняются. Такие коммутации называют «некорректными» (приводят к требованию скачкообразных изменений токов и напряжений ). Расчет переходных процессов в таких цепях рассматривается в разделе.

Исследование и методы анализа

Основной задачей такого изучения является установление конкретной закономерности и временного промежутка, на протяжении которого токи и напряжения будут реально отклоняться в отдельных участках цепи от своих первоначальных значений. В конечном итоге, следует определить момент времени, когда наступит окончание переходного процесса.

  • Включение и выключение рубильников осуществляется мгновенно, электрическая дуга при этом не образуется.
  • Сам переходный процесс теоретически проходит в течение бесконечно длительного времени. В этот период наступает постепенное слияние переходного режима с обновленным рабочим режимом. Временные рамки, заданные условно, ограничиваются продолжительностью переходных процессов.
  • Порядок работы, установленный после выполнения коммутации, рассчитывается исходя из теоретической выкладки t→∞, что означает бесконечно длительное время, прошедшее после коммутации.

Расчет режима, установленного до коммутации, выполняется исходя из предположения об окончании в цепи предыдущего переходного процесса. В некоторых случаях анализ приходится выполнять в условиях продолжающегося переходного помежутка, вызванного действиями предыдущих коммутаций. Для анализа применяются дифференциальные уравнения, подобранные для конкретной электрической цепи и соответствующие законам Кирхгофа и методам контурных токов.

Законы коммутации

В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.

Потокосцепление скачком измениться не может

Заряд емкости скачком измениться не может

Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может:

по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может:

За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.

Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.

Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного. Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.

Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления Возникновение переходных процессов и законы коммутации Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях — википедия с видео // wiki 2 Законы коммутации — студопедия Территория электротехнической информации websor Территория электротехнической информации websor Возникновение переходных процессов и законы коммутации Расчет переходных процессов в цепях первого порядка

Уравнение цепи имеет вид:

Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.

— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,

— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).

В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.

Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.

Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.

До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации

ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.

Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

Свободную составляющую находим из уравнения:

Решение этого уравнения

k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.

А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности

Решение будет иметь вид:

Понятие переходного процесса

В установленном режиме стационара параметры цепи остаются неизменными и находятся под влиянием одного лишь источника энергии. Поэтому посредством источников постоянного тока, в цепи создается аналогичный постоянный ток, а источники переменного напряжения производят переменный ток с частотой, равной частоте этого источника.

Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления Возникновение переходных процессов и законы коммутации Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях — википедия с видео // wiki 2 Законы коммутации — студопедия Территория электротехнической информации websor Территория электротехнической информации websor

Переходные процессы в электрических цепях наступают в связи со многими вариантами изменений установленного режима этих цепей. В первую очередь, это коммутационные процессы, связанные с подачей и выключением питания. Другим фактором являются аварийные ситуации в виде коротких замыканий, перегрузок, оборванного проводника и других.

Во всех случаях происходят разного рода переключения, происходящие в той или иной форме. С физической точки зрения все переходные процессы считаются преобразованиями из одного энергетического вида в другой, то есть из режима «до коммутации» в режим «после коммутации».

Переходные процессы отличаются быстродействием. Для их совершения достаточно десятых, сотых или даже миллионных долей секунды. Более продолжительное время требуется значительно реже. Несмотря на кратковременность действия, эти процессы тщательно изучаются. Полученная информация позволяет узнать степень деформации сигнала по параметрам амплитуды и форме, наличие опасных скачков напряжения вверх на некоторых отрезках, представляющих опасность для изоляции. Одновременно отслеживаются и другие потенциально опасные явления.

На практике переходные процессы используются в различных электротехнических устройствах. На производстве слишком большое или, наоборот, слишком малое количество тока в одной и той же установке дают совершенно разные результаты, как положительные, так и отрицательные.

Источник

Переходные процессы в R-L и R-C цепях

Рассмотрим переходные процессы в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор R и индуктивность L . Уравнение Кирхгофа для такой цепи

где u = u ( t ) — напряжение на входе цепи. Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при u = 0, в виде i с = I e pt . Для этого подставим выражение для тока в исходное уравнение и найдем значение p

Выражение Lp + R =0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных тока на p k , где k — порядок производной.

Таким образом, общее решение для тока при переходном процессе в R-L цепи можно представить в виде

где t = 1/|p| = L / R — постоянная времени переходного процесса; I — постоянная интегрирования, определяемая по начальным значениям; i — установившийся ток в цепи, определяемый по параметрам R и L и напряжению на входе u .

Длительность переходного процесса в цепи, определяемая значением t , возрастает с увеличением L и уменьшением R .

Рассмотрим подключение R — L цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС E и резистивным сопротивлением R , т.к. после окончания переходного процесса i = const и u L = Ldi / dt = 0, т.е. i у = E / R .

Полный ток в переходном процессе из выражения (1)

Для определения постоянной I найдем начальное тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации ток останется нулевым. Отсюда

Подставляя найденное значение постоянной I в выражение для тока, получим

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе u R и индуктивности u L

Из выражений (1)-(3) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени t = L / R от нулевого до значения E / R (рис. 1 б)). Падение напряжения на сопротивлении u R повторяет кривую тока в измененном масштабе. Напряжение на индуктивности u L в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до E , а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б)).

Подставляя выражения (3) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

Пусть рассмотренная выше R — L цепь длительное время была подключена к источнику ЭДС E , а затем замкнута накоротко (рис. 2 а)).

В этом случае установившийся ток будет равен нулю и задача сводится к отысканию его свободной составляющей. Из выражения (1)

Постоянную I можно определить из начальных условий. Установившийся ток в цепи до переключения ключа S был равен i (0 — ) = E / R , а т.к. в первый момент после коммутации ток в индуктивности сохраняет свое значение, то i (0 — ) = i (0 + ) = I = E / R . Отсюда ток и падения напряжения в цепи

Из выражений (4) следует, что при замыкании цепи накоротко ток уменьшается от E / R до нуля по экспоненте с постоянной времени t = L / R (рис. 2 б)). Падение напряжения на резисторе изменяется по такому же закону, а напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком изменяется от нуля до — E , а затем снижается до нуля ( рис. 2б)).

Общее падение напряжения на резисторе и индуктивности в любой момент времени

как и следовало ожидать, равно нулю и в переходном процессе происходит преобразование энергии магнитного поля в тепло.

При отключении цепи содержащей индуктивность в ней могут возникать падения напряжений опасные для ее элементов. Пусть R — L цепь с подключенным к ней вольтметром отключается от источника постоянной ЭДС E (рис. 3).

Так как цепь содержит индуктивность, то после размыкания ключа S ток не сможет изменить своего значения и будет протекать в контуре R — L — V . Значение тока до коммутации i (0 — ) = E / R = i (0 + ) = i (0) Уравнение Кирхгофа для этого контура

Ri + R V i + u L = 0,

где R V — сопротивление вольтметра.

Отсюда падение напряжения на вольтметре u V = R V i (0) = ER V / R и на индуктивности u V = ( R + R V ) i (0) = E (1+ R V / R ).

Обычно R V >> R , поэтому напряжение на вольтметре и на индуктивности в момент отключения превосходят ЭДС источника в R V / R раз. Это может быть опасным для вольтметра и изоляции катушки. Если индуктивность цепи достаточно велика, то запасенной в ней энергии может оказаться достаточно для разрушения изоляции или входных цепей прибора. Поэтому при отключении цепи постоянного тока с большой индуктивностью ее предварительно замыкают на малое сопротивление, а измерительные приборы отключают .

Рассмотрим теперь процесс подключения R — L цепи к источнику переменной синусоидальной ЭДС (рис. 4 а)).

Ток после коммутации в соответствии с выражением (1)

Установившееся значение i у определяется по закону Ома как

где y — фаза напряжения на входе цепи в момент коммутации, а j = arctg( w L / R ) .

До коммутации ток в цепи был равен нулю, поэтому из выражений (5) и (6) можно найти постоянную I

следовательно, полный ток в цепи после коммутации

Таким образом, ток в цепи состоит из двух составляющих — установившегося периодического синусоидального тока и свободного, уменьшающегося по экспоненте с постоянной времени t = L / R (рис. 4 б)). В результате, ток в некоторые моменты времени превышает амплитудное значение установившегося тока.

Начальное значение свободной составляющей тока I m sin( y — j ) зависит от момента включения y . При y = j +( k +1/2) p ( k = 0, 1, 2 ј ) ток через полпериода после коммутации (рис. 4 в)) достигает максимального значения, равного I max = I m [1+e — p t /( w t ) ]. Значение e — p t /( w t ) w и постоянной времени t . При w ® µ и/или t ® µ I max ® 2.

При y = j + k p ( k = 0, 1, 2 ј ) свободный ток в момент коммутации равен нулю и переходный процесс отсутствует . В цепи сразу после коммутации возникает установившийся режим. Эта особенность переходных процессов на переменном токе используется в устройствах детерминированного включения . В них момент включения нагрузки выбирают таким образом, чтобы уменьшить или исключить большие значения тока, напряжения или других параметров.

Перейдем к рассмотрению переходных процессов в цепи с последовательным соединением резистора R и емкости C . По второму закону Кирхгофа для этой цепи

Ток в емкости можно представить в виде i = Cdu C / dt . Отсюда

Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих u C = u у + u с . Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения ( u = 0) в виде u с = U e pt . Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p

Выражение RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на p k , где k — порядок производной.

Отсюда общее решение для напряжения на емкости

u C = u у + u с = u у + U e — t / t ,

где U — постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений; t = 1/|p| = RC — постоянная времени переходного процесса.

Рассмотрим процесс подключения последовательной R — C цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 5 а)).

В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости U 0 может быть произвольным и иметь произвольный знак по отношению к ЭДС источника.

Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа S всегда будет равно E , т.к. на постоянном токе в установившемся режиме du C / dt = 0 и i = Cdu C / dt = 0, а u C = u — Ri = E — Ri = E . Поэтому из выражения (8) напряжение на емкости в общем виде будет равно

u C = u у + u с = E + U e — t / t .

Пусть напряжение на емкости до коммутации было u C (0 — ) = ± U 0 (знак + соответствует полярности напряжения на рис. 5 а) без скобок). Тогда из (9) для момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную U

а затем и выражение для напряжения на емкости в виде

где t = RC — постоянная времени переходного процесса.

Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе

На рис. 5 б)-г) приведены временные диаграммы переходного процесса подключения R — C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1) E > U 0 > 0 ; 2) E U 0 и U 0 > 0; 3) U 0 U 0 до E . В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U 0 , а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E U 0 , то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости.

Полный разряд емкости происходит при отсутствии внешних источников энергии (рис. 1 а)). После переключения ключа S вся энергия накопленная в электрическом поле емкости C преобразуется в тепло в резисторе R .

Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую

u C = u с = U e — t / t

и если цепь достаточно длительное время была подключена к источнику, то в момент переключения напряжение на емкости будет равно E . Поэтому постоянная U будет равна

u C (0 — ) = E = u C (0 + ) = U ,

а напряжение на емкости в переходном процессе —

u C = E e — t / t .

Отсюда ток в цепи и напряжение на резисторе

Источник

Чему равен переходный ток

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Источник