Баланс мощностей с источником тока примеры

Расчет электрической цепи и лабораторные работы по электротехнике

Баланс мощностей

Для проверки правильности результатов расчета электрической схемы составляется баланс электрических мощностей. В соответствии с законом

сохранения энергии в любой отдельно взятой электрической цепи мощность, развиваемая источниками в этой цепи, равна мощности, расходуемой в приемниках энергии. При этом следует иметь в виду, что при определенных условиях некоторые источники, действующие в цепи, не генерируют, а, наоборот, потребляют энергию. Следовательно, суммарную мощность источников, действующих в цепи, находят в виде алгебраической суммы мощности отдельных источников. Со знаком “плюс” берется мощность источников, генерирующих энергию (рисунок 3.22, а, б), а со знаком “минус” – мощность источников, потребляющих энергию (рисунок 3.22, в, г). На рисунках буквой А обозначен активный двухполюсник, внутренняя схема которого представляет совокупность источников энергии и резисторов, соединенных между собой определенным образом.

Мощность источника напряжения равна произведению ЭДС E источника и проходящего по нему тока I (P = ЕI), а мощность источника тока определяется произведением напряжения UJ на его зажимах и генерируемого источником тока J (P = UJJ). На рисунке 3.22, а, б мощность источников берется с положительным знаком, а на рисунке 3.22, в, г – с отрицательным.

Таким образом, мощность источников, действующих в цепи, находят по формуле

(3.20)

В резисторах электрическая энергия необратимо превращается в тепловую. Мощность, потребляемая всеми резисторами в цепи, равна сумме мощностей каждого резистора:

Pнагр = (3.21)

Относительную ошибку вычислений находят по формуле

(3.22)

Составим баланс мощностей для примера 3.4. Найдем напряжение UJ на зажимах источника тока по второму закону Кирхгофа для контура b-c-d-b:

UJ = E5 – R5I5 + R3I3 = 118,325 В.

Из полученных в результате расчета значений токов следует, что энергию генерируют источники ЭДС E1, E4 и источник тока J, в то время как источник ЭДС E5 является ее потребителем. Таким образом, мощность, развиваемая источниками,

Pист = E1I1 + E4I4 – E5I5 +UJJ = 404,935 Вт.

Мощность, выделяемая в сопротивлениях резисторов (мощность нагрузки),

Pнагр = 404,92 Вт.

Относительная ошибка вычислений

Вывод: расчет токов схемы выполнен правильно, т. к. баланс мощностей выполняется.

В схеме можно предварительно произвести эквивалентные преобразования, позволяющие исключить из нее ветви с источниками токов и, следовательно, уменьшить число контуров.

В этом случае система контурных уравнений (3.19) может быть записана в матричной форме:

(3.23)

где ; ; ;

– квадратная матрица сопротивлений электрической цепи порядка n;

– матрица-столбец искомых контурных токов;

– матрица-столбец контурных ЭДС.

Решение матричного уравнения (3.23) находим в следующей форме:

. (3.24)

При расчете многоконтурных электрических цепей матричная форма записи позволяет использовать при решении системы уравнений ЭВМ.

Пример 3.5 Рассчитать токи в схеме на рисунке 3.23 с параметрами E1 = 12 В, E5 = 8 В, J = 2 A, r01 = 1 Ом, r05 = 1,2 Ом, R1 = 11 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 14 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 6,8 Ом, R6 = 6 Ом методом контурных токов. Построить потенциальную диаграмму для контура a-b-c-d-a.

Решение. Подключим источник тока J параллельно сопротивлениям R2 и R4 (рисунок 3.24, а), распределение токов в узлах a, b и c при этом останется прежним. Заменим параллельное соединение источников тока J и сопротивлений R2 и R4 эквивалентным последовательным соединением ЭДС Е2 = R2J = 16 В и Е4 = R4J = 10 В с соответствующими сопротивлениями R2 и R4 (рисунок 3.24, б).

В результате эквивалентных преобразований получим схему на рисунке 3.25. Токи в ветвях с сопротивлениями R2 и R4 этой схемы будут отличаться от токов в исходной схеме, поэтому обозначим их и .

Выберем независимые контуры и направим в них контурные токи I11, I22 и I33. Запишем систему уравнений относительно неизвестных контурных токов в матричной форме и найдем ее решение.

,

где R11 = R1 + r01 + R2 + R3 = 34 Ом;

R22 = R2 + R4 + r05 + R5 = 21 Ом;

R33 = R3 + R6 + r05 + R5 = 28 Ом;

R12 = R21 = – R2 = – 8 Ом;

R13 = R31 = R3 = 14 Ом;

R23 = R32 = r05 + R5 = 8 Ом;

E11 = E1 – E2 = – 4 В;

E22 = E2 + E4 – E5 = 18 В;

E33 = – E5 = – 8 В.

Решение системы линейных алгебраических уравнений выполним методом Крамера. Найдем определитель матрицы сопротивлений

1,012∙104 Ом3,

а также следующие определители:

Находим контурные токи:

Токи ветвей схемы 3.25:

I1 = I11 = 0,674 A; = – I11 + I22 = 0,842 A; I3 = – I11 – I33 = 0,382 A;

= I22 = 1,516 A; I5 = – I22 – I33 = – 0,46 A; I6 = – I33 = 1,056 A.

Вернемся к исходной схеме и определим токи во второй и четвертой ветвях по первому закону Кирхгофа:

I2 = I3 – I5 – J = – 1,158 А; I4 = I1 + I2 = – 0,484 А.

Проверим правильность результатов расчета по балансу электрических мощностей. Найдем напряжение UJ на зажимах источника тока:

UJ = – R2I2 – R4I4 = 11,684 В.

Истинные направления токов I2 и I4 противоположны предварительно выбранным.

Из проведенных расчетов следует, что источник ЭДС E1 и источник тока J функционируют в режиме генерирования энергии, в то время как источник ЭДС E5 ее потребляет.

Мощность источников Pист = E1I1 – E5I5 + UJJ = 27,776 Вт.

Мощность нагрузки

Pнагр = 27,777 Вт.

Построим потенциальную диаграмму, т. е. распределение потенциалов узлов, в том числе и устранимых m и n вдоль контура a-b-c-d-a (рисунок 3.26) в зависимости от сопротивлений участков, входящих в этот контур. Выделим из схемы 3.23 этот контур и укажем действительные направления токов в ветвях. Ток на любом участке схемы определяется не абсолютными значениями потенциалов точек, к которым этот участок присоединен, а их разностью. Следовательно, потенциал одной из точек схемы можно принять равным нулю. Примем, например, потенциал узла а равным нулю (φа = 0) и найдем потенциалы остальных точек контура:

φb = –R2I2 = – 9,264 В; φn = φb + R5I5 = – 6,136 В; φc = φn + E5 + r05I5 = 2,416 В;

φd = φc–R6I6 = – 3,92 В; φm= φd + E1– r01I1 = 7,406 В; φa = φm – R1I1 = – 0,008 В.

Потенциальная диаграмма представлена на рисунке 3.27.

Понятие проводимости приобретает особый смысл в том случае, если ветвь содержит активные и реактивные элементы. На ветви, изображенной на рис.2.22, определим ее активную и реактивную проводимости:

Рис.2.22. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

. 58(2.49)

Из векторной диаграммы (рис.2.21) можно выделить треугольник токов (рис. 2.23).

Рис.2.23. Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей (рис. 2.24).

Рис.2.24. Скалярный треугольник проводимостей

Источник

Баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока)

Определение токов всех ветвей методом контурных токов.

Уравнения рекомендуется составлять для тех же контуров, которые были выбраны в п.1. Направления контурных токов следует выбирать совпадающими с направлениями обхода контуров. Предварительно необходимо преобразовать источник тока в эквивалентный источник напряжения.

Схема, по которой составляются уравнения, представлена на рис.2.

Рис.2. схема для расчета цепи по методу контурных токов

Уравнение контурных токов имеет вид:

Эти уравнения можно решать любым известным методом. В качестве примера следующие числовые значения:

Подставлять числа в уравнения следует в том же порядке, в каком расположены с соответствующие им буквенные обозначения.

Подставив численные значения в уравнения (4), получим:

(2 + 7 + 15)I_A – 15 I_B – 2 I_C = 0,

– 15 I_A + (6 + 4 + 15)I_B – 4 I_C = – 47, (5)

– 2 I_A – 4 I_C + (5 + 2 + 4)I_C = 18 + 25.

– 15 I_A + 25 I_B – 4 I_C = – 47, (6)

Решать систему (6) можно любым способом. Применим, например, способ определений:

– 15	– 2
Δ =	– 15	– 4	=
– 2	– 4

= 24 * 25 * 11 + (– 15) * (– 4) * (– 2) + (– 2) * (– 15) * (– 4) –

– (– 2) * 25 * (– 2) – 24 * (– 4) (– 4) – (– 15) * (– 15) * 11 =

= 6600 – 120 –120 –100 – 384 –2475 = 3401,

– 15	– 2
ΔA =	– 47	– 4	=
– 4

= 0 * 25 * 11 + (– 15) * (– 4) * 43 + (– 2) * (– 47) * (– 4) –

– (– 2) * 25 * 43 – 0 * (– 4) * (– 4) – (– 15) * (– 47) * 11 =

= 0 + 2580 – 376 + 2150 – 0 – 7755 = – 3401,

= 24 * (– 47) * 11 + 0 (– 4) * (– 2) + (– 2) * (– 15) * 43 –

– (– 2) * (– 47) * (– 2) – 24 * (– 4) * 43 – 0 * (– 15) * 11 =

= – 12408 + 0 + 1290 + 188 + 4128 + 0 = – 6802,

– 15
ΔB =	– 15	– 47	=
– 2	– 4

= 24 * 25 * 43 + (– 15) * (– 47) * (– 2) + 0 * (– 15) * (–4) –

– 0 * 25 * (– 2) – 24 (– 47) * (–4) – (– 15) * (– 15) * 43 =

= 25800 – 1410 + 0 – 0 – 4512 – 9675 = 10203.

I_A = – 3401 / 3401 = – 1A,

I_B = – 6802 / 3401 = – 2A,

I_C = 10203 / 3401 = 3A.

Сравнивая направление токов в ветвях схемы, изображенной на рис.1, с направлениями контурных токов на рис.2, получим:

Из рис.1 видно, что

Определение токов всех ветвей методом узловых потенциалов.

Воспользуемся схемой рис.1. примем потенциал узла d, равным нулю.

Тогда уравнения узловых потенциалов будут иметь следующий вид:

Здесь G_k = 1 / R_K проводимость К–й ветви.

Наиболее точные результаты получается в том что случае, когда вычисления производятся без перехода к десятичным дробям. Подставим числовые значения в первое уравнение системы (7):

(1/6 + 1/15 + 1/7) * φ_a – 1/7 * φ_b – 1/15 * φ_c = 1/6.

Общий знаменатель простых дробей в этом уравнении равен 210. Умножив уравнение на 210, получим:

(35 + 14 + 30) * φ_a – 30 * φ_b – 14 * φ_c = 47 * 35,

79 * φ_a – 30 * φ_b – 14 * φ_c = 1645.

Произведя аналогичные действия над остальными уравнениями, получим следующую систему уравнения:

79 * φ_a – 30 * φ_b – 14 * φ_c = 1645,

– 10 * φ_a + 59 * φ_b – 35 φ_c = 602, (8)

– 4 * φ_a – 30 * φ_b + 49 * φ_c = 0.

Решив систему уравнений (8), получим

φ_a = 35 В; φ_b = 28 В; φ_с = 20В.

Потенциалы точек n и m найдем из схемы рис.1:

Для определения токов в ветвях напишем на основании рис.1:

I I ₂ = φ_m – φ_b / R₂ = 18 – 28 / 5 = – 2A,

Таблица сравнения результатов расчета токов методами контурных токов и узловых потенциалов.

Токи в ветвях, А	I1	I2	I3	I4	I5	I6	I I 2
Метод контурных токов	– 1	– 2
Метод узловых потенциалов	– 1	– 2

Если расчеты производились без округления десятичных дробей, их результаты должны совпадать абсолютно. Если же в ходе расчетов применялись десятичные дроби с округлением до нескольких значащих цифр, возможны расхождения результатов. В любом случае результаты следует проводить в таблице в виде десятичных дробей, оставляя не более трех значащих цифр после запятой.

Баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока).

Баланс мощностей включает:

а) суммарную мощность, расходуемую резисторами, т.е. выделяемую ими в виде тепла: P_p = ΣI 2 R.

В рассматриваемом примере необходимо учесть, что в исходной схеме по резистору R₂ протекает ток I₂ I . Поэтому

2 2 *6 + 2 2 *5 + 4 2 *2 + 1 2 *7 + 5 2 *4 + 1 2 *15 = 192Вт;

б) суммарную мощность, вырабатываемую источниками,

Произведение EI берется со знаком «+», если условное направление тока совпадает с направлением э.д.с. В противном случае оно имеет знак «–».

В произведении I_kU напряжение U равно разности потенциалов точки, к которой направлен ток I_k и точки, из которой он вытекает. В нашем случае (см. рис.1)

Вт.

Равенство P_p = P_и выражает баланс мощностей и является подтверждением правильности расчета токов.

6. Определение тока I₁ в заданной схеме с помощью метода эквивалентного генератора.

Расчет с помощью метода эквивалентного генератора включает в себя три этапа.

1. Определение напряжения холостого хода U_x.

Удалим из цепи резистор R₁ и найдем напряжение U_x на месте образовавшегося разрыва. Это напряжение следует направлять в ту же сторону, в какую был направлен ток I₁ на рис.1. Источник тока заменим эквивалентным источником напряжения.

Полученная схема изображена на рис.3.

Рис.3. Схема для расчета U_x

Для определения U_x можно воспользоваться любым методом расчета цепей.

Используем в качестве примера метод контурных токов. Так токи на рис.3 не равны ранее найденным токам, обозначим их I_xA и I_xc . Составим уравнение контурных токов:

Подставим числовые значения сопротивлений и э.д.с., получим

Решив эту систему уравнений, получим

I_xA = 0,331А, I_xс = 3,969А.Чтобы определить U_x совершим обход по пути a – c – d – n. С учетом направлений токов I_xA и I_xс и э.д.с. Е₁ получим

= — 15 *0,331 – 4 * 3,969 + 47 = 26,159В.

2. Определение входного сопротивления цепи со стороны зажимов а – n.

Заменим источники э.д.с. проводниками с нулевым сопротивлением и изобразим цепь таким образом, чтобы она приобрела более простую форму (рис.4).

Рис.4. Схема для определения входного сопротивления

Для этого начнем с узла а, к которому (см. рис.3) присоединены резисторы R₄ и R₆ . Их противоположные полюсы образуют соответственно узлы b и с, между которыми включен резистор R₃ . К узлу b присоединен резистор R₂ , а к узлу с – резистор R₅. Взаимное соединение полюсов этих резисторов образует узел d, соединенный проводником с полюсом n.

Чтобы найти сопротивление R_bx между полюсами а и n, необходимо преобразовать один из треугольников сопротивлений в звезду (или одну из звезд в треугольник). Схема, в которой треугольник a – b – c преобразован в звезду, показана на рис.5

Рис.5. Преобразованная схема для определения входного сопротивления

Сопротивление лучей звезды

Из рис.5 видно, что

Ом

3. Найдем ток I₁ по формуле метода эквивалентного генератора:

I₁ = U_x / R_bx + R₁ = 26,159 / 7,081 + 6 = 1,999А.

В пп. 2 и 3 было определено I₁ = 2А. Некоторое расхождение в значениях I₁, найденных различными методами, связанно с упомянутым выше окружением десятичных дробей.

Источник

Баланс мощностей в цепях переменного тока

Комплексной мощностью называется произведение комплекса действующего значения напряжения на сопряжённый комплекс действующего значения тока .

Знак мнимой части сопряжённого комплекса изменён на обратный ( ) знак заданного комплексного числа (пример: , )).

Пусть на участке электрической цепи известно напряжение , ток . Сопряжённый ток равен: .

Тогда полная комплексная мощность данного участка равна:

где – сдвиг фаз между напряжением и током.

, [Вт] – активная мощность участка,

, [ВАр] – реактивная мощность участка.

Знак «+» перед соответствует индуктивному характеру сопротивления , знак «–» соответствует ёмкостному характеру .

При выполнении условия баланса мощностей активная и реактивная мощности источников питания должны равняться потребляемым активной и реактивной мощностям.

Мощности источника Э.Д.С. определяем по формуле:

где – сопряжённый комплекс тока в ветви с источником Э.Д.С.

Мощность источника тока:

где – напряжение на зажимах источника тока;

– сопряжённый ток источника тока.

Мощность источника Э.Д.С. входит в выражение баланса со знаком «+», если направление Э.Д.С. источника и тока в этой ветви совпадают; если направления Э.Д.С. источника и тока не совпадают, то мощность источника Э.Д.С. отрицательная.

Мощность источника тока входит в выражение баланса со знаком «+», если ток источника и напряжения на его зажимах направлены навстречу друг другу. При совпадении направлений тока источника и напряжения мощность источника отрицательная.

Активная и реактивная мощности потребителей равны соответственно:

где – модуль действующего значения тока i–ой ветви.

где – эквивалентное реактивное сопротивление i–ой ветви.

При выполнении условия баланса мощностей:

Примеры расчёта цепей однофазного синусоидального тока

Пример 6.1

	Дано: , , , Определить токи в ветвях, составить и рассчитать баланс мощностей для схемы на рис. 6.1.
Рис. 6.1

Решение

Для расчёта будем использовать метод контурных токов.

Значение контурного тока принимаем равным величине источника тока . Уравнение составляем для контурного тока :

Выражаем ток из предыдущего уравнения:

Ток в третьей ветви равен контурному току , . Запишем этот ток в показательной форме комплексного числа:

Ток во второй ветви определим как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через данную ветвь:

Полная мощность приёмников определяется по формуле:

Активную мощность приёмников в данной схеме определим по следующей формуле:

Реактивную мощность приёмников определяем по формуле:

Полная мощность, выделяемая в систему источниками, определяется по формуле:

Выполнение баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.

Пример 6.2

Рис. 6.2

Дано: , , , , , . Для схемы на рис. 6.2 рассчитать ток в неразветвлённой части схемы. Записать .

Решение

Записываем функцию времени в виде показательной формы комплексного числа:

Определяем входное сопротивление схемы относительно зажимов источника напряжения:

Мгновенное значение тока имеет вид:

Пример 6.3

Рассчитать токи , , в схеме примера 6.2 графоаналитическим методом, построить топографическую диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов.

Решение

Графоаналитический метод расчёта – это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчёта. Метод основан на линейной зависимости между токами и напряжениями. Поэтому векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения, питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения. На диаграмме изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

	Обозначим токи на схеме. Выберем масштабы: масштаб для тока ; масштаб для напряжения . Построение начинаем из точки, соответствующей отрицательной полярности входных зажимов, это точка «е» (рис. 6.3).
Рис. 6.3

Принимаем действующее значение тока . Откладываем вектор в горизонтальном направлении (рис. 6.4).

Токи и напряжения, определённые с помощью диаграммы, будем обозначать одним штрихом.

Определяем по законуОма для действующих значений напряжения на участках « » и « » цепи.

Строим вектора данных напряжений. Участок « » содержит ёмкость, напряжение на нём отстаёт от тока на , участок « » – резистивный – его напряжение совпадает с током по фазе. Концы векторов напряжений обозначаем соответствующими буквами.

Сумма векторов и определяет вектор напряжения на участке «c–e». Из диаграммы по масштабу определяем величину напряжения Далее по закону Ома для участка с резистором определяем ток . Вектор тока строим с учётом масштаба из конца вектора , учитывая, что совпадает по фазе с напряжением . Сумма векторов и даёт вектор тока в общей ветви цепи: . По диаграмме определяем действующее значение . Теперь определяем действующие значения напряжений и . Строим вектор из точки С. Напряжение опережает ток на , т.к. участок « » – индуктивный, напряжение совпадает по фазе с током , т.к. участок « » содержит активное сопротивление.

Теперь соединим начало координат (точку «е») с точкой «а», получим вектор приложенного к цепи напряжения , равный с учётом : . Входное напряжение имеет начальную фазу . С учётом этого строим координатные оси. Ось вещественных чисел является осью отсчёта углов начальных фаз всех токов и напряжений.

По условию задачи 6.2. действующее значение входного напряжения равно . Для определения истинных значений токов и напряжений вводим коэффициент пересчёта .

Определим исходные токи:

Мгновенные значения этих токов:

Аналогично определяют напряжения на участках цепи.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Следует помнить!

1) Построение топографической диаграммы начинается из точки, наиболее удалённой от входных зажимов и соответствующей отрицательной полярности источника. Эта точка является базисной, её потенциал условно равен нулю, её помещают в начало координат.

2) Построение векторов напряжений производят навстречу токам. Длина вектора равна его действующему значению, угол между вектором и осью абсцисс равен начальной фазе напряжения.

3) Построение векторов напряжений производят строго в соответствии с расположением элементов в цепи.

4) Каждой точке схемы соответствует определённая точка на топографической диаграмме. Топографические диаграммы представляют диаграммы комплексных потенциалов.

5) Конец вектора напряжения на топографической диаграмме указывает точку высшего потенциала.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующего в расчёте. Например, действующее значение между точками « » и « » схемы:

Пример 6.4

	Дано: , , . Определить токи , , в схеме рис. 6.5; записать их мгновенные значения; определить показания ваттметра; построить векторную диаграмму токов и напряжений. По векторной диаграмме определить показания вольтметра. Проверить выполнение баланса мощностей.
Рис. 6.5

Решение

Применим метод комплексных амплитуд. Изобразим расчетную схему без подключенных приборов (рис. 6.6).

еделим комплексное сопротивление цепи:

Запишем комплекс действующего значения входного нпряжения: .;

По закону Ома определяем входной ток:

Для определения токов и рассчитаем напряжение :

Токи и соответственно равны:

Определим показания ваттметра:

Расчет подтверждает – что активная мощность в ветви с конденсатором отсутствует.

Замечание! При расчете показаний ваттметра положительные направления тока , протекающего через последовательную обмотку ваттметра и напряжения , приложенного к параллельной обмотке ваттметра должны быть одинаковы относительно одноименных зажимов обмоток прибора, обозначенных точкой. Тогда , и стрелка ваттметра отклоняется по шкале вправо. Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы напряжений и токов: , .

Векторную диаграмму токов строим согласно первого закона Кирхгофа в комплексной форме ; векторную диаграмму напряжений – согласно второго закона Кирхгофа в комплексной форме . Построение начинаем с вектора тока . Под углом к оси вещественных чисел строим вектор, длина которого равна в выбранном масштабе. Из конца вектора строим вектор тока , что соответствует сложению векторов. Результирующий вектор .

Строим вектора напряжений на всех участках цепи. Построение начинаем из начала координат с вектора напряжения . Длина вектора соответствует действующему значению в выбранном масштабе напряжений. Направление вектора совпадает с направлением вектора тока , т.к. участок a–d – резистивный. Действующее значение напряжения . Вектор опережает ток , на . Сумма векторов напряжений и равна вектору напряжения , что соответствует рассчитанному ранее значению: . Вольтметр, подключенный параллельно участку а – в, покажет действующее значение .

Из конца вектора строим вектор напряжения . Длина вектора равна действующему значению в выбранном масштабе напряжений. Вектор опережает вектор тока на .

Длина результирующего вектора равна его действующему значению , начальная фаза , что соответствует исходным данным задачи.

Составим уравнение баланса мощностей в комплексной форме и проверим его выполнение:

Активная мощность потребителей:

Реактивная мощность потребителей:

Баланс мощностей выполняется.

Пример 6.5

	Дано: , , , , , , , . Для схемы на рис. 6.8 определить напряжение и записать его мгновенное значение.
Рис. 6.8

Решение

Принимаем 1-ый узел за базисный: .

Потенциалы 2–го и 4–го узлов будут соответственно равны:

Источник

Основы электротехники и электроники: Курс лекций , страница 6

Произведем проверку расчета токов с помощью баланса мощности. При расчете мощности источников токи мы должны направить так, чтобы они совпадали с направлением ЭДС (См. Рис. 8.2). Итак, мощность источников:

С учетом вычислительных погрешностей .

Общий вид системы уравнений метода контурных токов:

где называется собственным или полным сопротивлением контура. Оно равно сумме всех сопротивлений контура и всегда положительно.

называется сопротивлением смежной ветви. Если контурные токи в смежной ветви встречны, . Если контурные токи в смежной ветви одного направления, . И при этом всегда справедливо равенство .

называется контурной ЭДС. Контурная ЭДС равна алгебраической сумме отдельных ЭДС контура.

Главный определитель системы (8.7) имеет вид:

Он всегда симметричен относительно главной диагонали.

Чтобы решить систему (8.7) методом Крамера, необходимо найти алгебраические дополнения определителя (8.8).

Алгебраическое дополнение Δ_km определителя (8.8) можно получить путем вычеркивания из определителя (8.8) k-го столбца и m-ой строки и умножения полученного определителя на (‑1) k+ m

Решая систему (8.7) в общем виде, получим для любого k-го контурного тока выражение:

Выражение (8.9) имеет важное теоретическое значение и будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении методов расчета электрических цепей.

Особенности метода контурных токов при наличии в цепи источников тока

При наличии в схеме источника тока записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура с источником нельзя. Однако, расчетные контуры можно выбрать так, чтобы каждый источник тока входил только в один независимый контур. Тогда реальный ток источника будет равен контурному току, и, следовательно, этот контурный ток уже будет известен. Для него не надо записывать уравнения по второму закону Кирхгофа. Но он будет входить в уравнения для других контурных токов. При формировании системы уравнений его необходимо перенести в правую часть системы как известную величину.

В схеме четыре независимых контура. Выбираем контуры так, чтобы каждый источник тока входил только в один контур и ток источника был равен контурному. В данном случае:

Составляем систему уравнений для контурных токов I₃₃ и I₄₄:

Преобразуем систему (Пр. 8.2.1), перенеся в правую часть слагаемые, содержащие известные величины:

Подставляем в систему (Пр. 8.2.2) числа:

Систему (Пр. 8.2.3) решаем методом Крамера:

Вычисляем реальные токи через контурные (См. Рис. 8.3):

Произведем проверку расчета токов с помощью баланса мощности. Токи в ветвях с ЭДС направим так, чтобы они совпадали с направлением ЭДС, напряжения на выводах источников тока направим противоположно току источников (Рис. 8.4).

Напряжения на выводах источников тока:

Мощность источников равна мощности потребителей:

9. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

При рациональном выборе контуров всегда можно добиться того, чтобы ветвь с искомым током входила только в один независимый контур. Тогда реальный ток будет совпадать с контурным, и для него будет справедливо соотношение (8.9):

Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей E₁, E₂, E₃…

Тогда соотношение (8.9) предстанет в виде:

Очевидно, что в выражении (9.1) каждое слагаемое представляет собой часть полного тока, обусловленную лишь одной ЭДС.

Отсюда следует важный в теоретическом отношении вывод: ток в произвольной ветви равен алгебраической сумме частичных токов, порождаемых каждым из источников в отдельности.

На этом принципе основан расчетный метод, называемый методом наложения.

Алгоритм расчета цепи методом наложения

Поочередно рассчитываются токи, возникающие от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники мысленно удаляются из цепи, но сохраняются их внутренние сопротивления. Истинный ток определяется алгебраической суммой частичных токов.

Найти неизвестные токи методом наложения (Рис. 9.1).

В схеме два источника. Разбиваем исходную схему на две: схему с источником тока и схему с источником ЭДС.

Находим составляющие токов, создаваемых источником тока. Для этого удаляем из схемы источник ЭДС. Так как внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, на его место (между точками c и d) ставим закоротку (Рис. 9.2).

Не вызывает сомнений, что ток равен току источника:

Для определения токов и воспользуемся так называемым правилом параллельного разброса, которое состоит в следующем. Пусть в узел a втекает известный ток I (Рис. 9.3). Необходимо найти токи и .

Запишем эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей:

Теперь, чтобы найти ток , протекающий через резистор (см. Рис. 9.3), в формулу эквивалентного сопротивления (Пр. 9.1.1) вместо в числителе ставим ток I, втекающий в узел a:

Аналогично находится ток через резистор :

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 267
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 603
• БГУ 155
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 963
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 120
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1966
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 299
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 408
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 498
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 131
• ИжГТУ 145
• КемГППК 171
• КемГУ 508
• КГМТУ 270
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2910
• КрасГАУ 345
• КрасГМУ 629
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 138
• КубГУ 109
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 369
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 331
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 637
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 455
• НИУ МЭИ 640
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 213
• НУК им. Макарова 543
• НВ 1001
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1993
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 302
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 120
• РАНХиГС 190
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 245
• РГГМУ 117
• РГПУ им. Герцена 123
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 123
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 131
• СПбГАСУ 315
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 146
• СПбГПУ 1599
• СПбГТИ (ТУ) 293
• СПбГТУРП 236
• СПбГУ 578
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 194
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1654
• СибГТУ 946
• СГУПС 1473
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2424
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 325
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

• О проекте
• Реклама на сайте
• Правообладателям
• Правила
• Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник