Меню

Анализ электрических цепей синусоидального тока с r элементом



ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СВОЙСТВАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С R – , L –, С – ЭЛЕМЕНТАМИ

Цель работы: получить навыки измерения и расчета сопротивлений и мощностей в цепи синусоидального тока; приобрести навыки сборки электрической схемы.

1. Общие сведения.

Схемы замещения элементов электрических цепей синусоидального тока (математические модели электрических цепей) составляются с помощью условных обозначений R–, L–, С– элементов. Параметры этих элементов:

— резистивный элемент с активным сопротивлением R, Ом, или активной проводимостью G = 1/R, Cм;

— индуктивный элемент с индуктивностью L, Гн, и реактивным индуктивным сопротивлением XL = 2πƒL, Ом или реактивной индуктивной проводимостью BL = 1/XL, См;

— емкостный элемент с емкостью С, Ф, и реактивным емкостным сопротивлением XC =1/2πƒC, Ом или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC См.

Цепь с резистивным элементом.

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R (рис.1) приложено напряжение

Рис. 1. Электрическая цепь с резистивным элементом

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенного значения напряжения u = Ri, т. е.

Из вышеприведенного видно, что вектора напряжения и тока в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, что показано на векторной и временной диаграммах (рис. 2 , рис.3).

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи равен

Комплексные напряжение и ток цепи с резистивнымэлементом:

= e j 0 ; φu = 0°;

İ = Ie j 0 ; φi = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = Ue j 0 /Ie j 0 = R,

т. е.комплексное сопротивление цепи с резистивным элементом равно положительному вещественному числу, модуль которого равен R

Векторная (на комплексной плоскости) и временные диаграммы приведены на рис. 2 и 3.

Рис. 2. Векторная диаграмма Рис. 3. Временная диаграмма

цепи с R-элементом цепи с R-элементом

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих на плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой величины (напряжения, токи). Каждый вектор вычерчивается на комплексной плоскости с учетом его величины, начальной фазы, отсчитываемый от оси + 1.

Мощность цепи:

p = ui = UmахsinωtImахsinωt = UmахImахsin 2 ωt = UI(1 – cos2ωt),

т. к. напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Так как cosφ = 1, то среднее значение мощности за период равно активной мощности.

Р = UI = RI 2 ,

где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс. Временная диаграмма мощности цепи приведена на рис.3.

В комплексной форме полная мощность:

Активная мощность измеряется ваттметром РW = UI = RI 2 , ток – амперметром, а напряжение – вольтметром. Таким образом, активное сопротивление цепи, содержащей только резистивный элемент, можно определить по показаниям амперметра и вольтметра или по показаниям ваттметра и амперметра.

Цепь с емкостным элементом.

Конденсатор – это элемент электрической цепи, обладающий емкостью. Конденсатор состоит из двух пластин с большой поверхностью, выполненных из проводникового материала и разделенных диэлектриком. Емкость конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

При подаче на конденсатор синусоидального напряжения в силу того, что напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, меняется и заряд на пластинах конденсатора. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С.

Рис. 4. Электрическая цепь с С-элементом

Пусть напряжение источника питания u = Uмахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Cuc, где uс — падение напряжения на конденсаторе.

По второго закона Кирхгофа для цепи имеем u = uc.

Следовательно, ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени равен:

i = dQ/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2),

Таким образом, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом). Это емкостное сопротивление

Xс = 1/ωC = 1/2πfC = Uc/I

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue j 0 ; ψu = 0º;

İ = Ie j 90 ; ψi = + 90º;

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = ψu — ψi = 0º — 90º = — 90º.

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue j 0 /Ie j 90 = Хсej 90 = -jXс.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с С-элементом равно отрицательному мнимому числу. Модуль комплексного сопротивления

Р = ui = UmахsinωtImахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода, когда ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна и энергия передается от источника питания к цепи, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуетсяреактивной мощностью Qс, равной амплитуде мгновенного значения мощности Qс = UI = — XсI 2 , где Qс – реактивная мощность цепи, вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи с С-элементом равна реактивной мощности.

В комплексной форме полная мощность:

S = = Se j φ = UIcos90° — jUIsin90° = — jUI, ВА

Изменение мощности цепи с С-элементом, а также временные и векторная ( на комплексной плоскости) диаграммы напряжения и тока представлены на рис. 5,6.

Рис. 5. Временная диаграмма Рис.6. Векторная диаграмма

цепи с С-элементом цепи с С-элементом

В цепи с С— элементом ёмкостное сопротивление Хс и реактивная мощность Qc определяются по показаниям вольтметра Uc и амперметра Iа и равны :

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим цепь с идеальной катушкой индуктивности с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление Rк = 0.

Рис. 7.Электрическая цепь с индуктивным элементом

Пусть к цепи с приложено напряжение u = Umахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

еL = — wdФ/dt = — Ldi/dt,

где w — число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что еL всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции eL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС еL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке uL.

По II ЗК имеем u — uL = 0, а с учетом того, что uL = — еL, получаем

Umах sinωtLdi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи:

i = (Umах/L)sinωtdt = — UmахcosωtL = Umахsin (ωt— π/2)/ωL =

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.

Это индуктивное сопротивление XL = ωL = 2πfL.

Читайте также:  Среднее значение тока напряжения это

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. Тогда:

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то XLI = U = ЕL

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции eL.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue j 0 , ψu = 0 o ;

İ = Iej 90 , ψi = — 90 o .

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = 0° – (-90° ) = +90 o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue j 0 /Iej 90 = XLe j 90 = jXL.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Мощность цепи с L-элементом:

р = ui = Umахsinωt — Imахsin(ωt — 90°) = — UIsin2ωt.

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью QL = UI.

Реактивная мощность цепи QL = ULI = XLI 2 , вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи в комплексной форме:

S = = Se j φ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI, ВА

Временная и векторная (на комплексной плоскости) диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рисунках 8 и 9.

Рис.8. Временная диаграмма Рис.9. Векторная диаграмма

Цепь с реальной индуктивной катушкой.

Схема замещения реальной индуктивной катушки содержит R и L – элементы (рис.9).

Рис.9. Схема цепи с R и L — элементами

Комплексное сопротивление цепи

Zэкв = R + jXL = ze jφ

φ = arctqXL/R

Напряжения участков цепи :

Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой представлена на рис.10.

Рис.10.Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой; ψi = 45º

Источник

Учебные материалы

Помощь студентам

Если к участку с последовательным соединением элементов R, L, C приложено синусоидальное напряжение

то и ток в цепи синусоидальный

При этом следует иметь в виду, что начальная фаза тока yi будет определяться соотношением R, L, C.

На каждом из элементов будет падать напряжение UR, UL, UC.

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Для комплексных выражений можно записать

Подставив в выражение

Получим закон Ома в комплексной форме:

Представим комплексное сопротивление Z в показательной форме:

— модуль комплексного сопротивления, который называют полным сопротивлением;

— аргумент комплексного сопротивления.

Для удобства запоминания формулы строят треугольник сопротивлений

В рассматриваемой цепи знак угла сдвига фаз j между током и напряжением определяется знаком реактивного сопротивления

то есть соотношением между индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Если XL>XC, то нагрузка в цепи имеет активно-индуктивный характер, то есть ток по фазе отстает от напряжения на угол

Если X L C , то нагрузка имеет активно-емкостный характер, то есть ток по фазе опережает напряжение.

В качестве примера рассмотрим пример построения векторной диаграммы для случая, когда в цепи X L >X C .

Начальную фазу тока примем равной нулю, то есть

Для напряжений по второму закону Кирхгофа можно записать

Кроме того, при X L >X C будет соблюдаться условие U L >U C .

Векторная диаграмма будет иметь вид:

— реактивная составляющая напряжения U, приложенного к рассматриваемой цепи;

— активная составляющая напряжения U.

Порядок построения векторной диаграммы:

  1. строим вектор тока I (при нулевой начальной фазе он расположен горизонтально);
  2. строим вектор падения напряжения U B на активном сопротивлении (он совпадает по направлению с вектором тока I , сдвиг фаз равен нулю);
  3. строим вектор падения напряжения U L на индуктивном сопротивлении (он опережает по фазе вектор тока на 90°);
  4. строим вектор падения напряжения U C на емкостном сопротивлении (конденсатора) (он отстает по фазе от вектора тока на 90°);
  5. складывая векторы U B , U L , U C , получаем вектор общего напряжения U , который опережает по фазе на угол j>0 вектор тока I , что указывает на активно-индуктивный характер нагрузки.

Источник

5 Однофазные электрические цепи синусоидального тока (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 5

Однофазные электрические цепи синусоидального тока (продолжение)

Электрическая цепь с R— элементом

Рассмотрим схему с R-элементом, как показано на рис.1. Расставим направления тока и напряжения и запишем уравнения электрического состояния этой схемы согласно закону Ома:

i = u/R=(Um/R)sin(ωt+ ψu)= Imsin(ωt+ψi)

тогда угол сдвига фаз между напряжением и током будет равен 0, т.е. φ = ψu — ψi = 0, что и соответствует временной диаграмме показанной на рис.1 , напряжение и ток совпадают по фазе.

Для действующих значений закон Ома: U = RI

; Z = R

комплексное сопротивление резистивного элемента является всегда действительным положительным числом, которое равно значению активного сопротивления R.

Мощность на R— элементе:

R = Р ± jQ угол сдвига фаз φ = 0, тогда Р = UIcosφ = UI, Q = UIsinφ = 0, следовательно на резистивном элементе полная мощность равна активной мощности. Это означает, что на резисторе совершается работа по преобразованию электрической энергии в тепловую.

R =Р

Электрическая цепь с емкостным С — элементом

Идеальный конденсатор, когда его активное сопротивление Rc = 0.

i == C= ω·Umcos(ωt+ ψu)

i = ω·Umsin(ωt+ ψu+90 0 )

начальная фаза тока ψi = ψu + 90 о

Из векторной диаграммы видно, что ток на конденсаторе опережает напряжение на 90 0

, так как φ = -90 о , то Z = Z·cos(-90 о ) + jZ·sin(-90 о )= —jZ, а модуль комплексного сопротивления , следовательно, сопротивление конденсатора чисто реактивное и равно: .

Закон Ома: U=I·(-Xc)

Мощность на C – элементе: c = Р ± jQ , угол сдвига фаз φ = -90 о , тогда Р = UIcosφ = 0, Q = UIsinφ = —UI, следовательно на C – элементе происходит обмен энергией между источником электрической энергии и электрическим полем конденсатора, что определяет реактивную мощность Q.

С — элемент работы не совершает, поэтому активная мощность равна 0.

c= — jQ.

Электрическая цепь с индуктивным L — элементом

Идеальная катушка индуктивности имеет активное сопротивление RL=0.

i(t) = Imsin(ωt + ψi)

eL = — L = — LωImcos(ωt + ψi)

u = — eL; u(t) = Um sin(ωt + ψu)

начальная фаза ψu = ψi + 90°

угол сдвига фаз φ = ψu — ψi = 90 о

Из векторной диаграммы видно, что ток на катушке индуктивности напряжение опережает ток на 90 0 , так как φ = 90 0 , то Z = Zcos(90 о ) + jZsin(90 о ) = jZ, а модуль комплексного сопротивления Z = XL = ωL, следовательно сопротивление чисто реактивное и равно:

ZL = jZ = Z

Закон Ома: U = I·(XL)

Мощность на L элементе: S = Р ± jQ , угол сдвига фаз φ = 90 о , тогда

Р = UIcosφ = 0, Q = UIsinφ = UI, следовательно на L – элементе происходит обмен энергией между источником электрической энергии и магнитным полем катушки, что определяет реактивную мощность Q. L — элемент работы не совершает, поэтому активная мощность равна 0.

L = jQ

Реальная катушка имеет активное сопротивление, определяемое сопротивлением проводов, поэтому полное комплексное сопротивление равно:

Анализ цепей синусоидального тока

1. Анализ цепей синусоидального тока происходит при условии, что все элементы цепи идеальны, т.е. R, L, C идеальны.

Электрическое состояние цепей синусоидального тока описывается теми же законами, что и в цепях постоянного тока.

Закон Ома:

Первый закон Кирхгофа в тригонометрическом виде:

Первый закон Кирхгофа в комплексном виде:

Второй закон Кирхгофа в тригонометрическом виде:

Второй закон Кирхгофа в комплексном виде:

Алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах равна сумме сторонних ЭДС входящих в этот контур. m – число участков контура Правила знаков при составлении уравнений такие же что в цепях постоянного тока.

Последовательное соединение элементов в цепи синусоидального тока:

цепь RLC

По второму закону Кирхгофа в комплексной форме

— закон Ома

Zэкв – модуль эквивалентного сопротивления (полное сопротивление определяет связь между U и I)

— аргумент, связь между начальными фазами

Треугольники сопротивлений и напряжений

X – реактивное сопротивление X = XL XC

; ;

X – алгебраическая величина, его знак зависит от соотношения XL и XC

; комплексное сопротивление

Цепь RL

;

Источник

Исследование электрической цепи синусоидального тока

Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Методы расчета электрических цепей. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции.

  • посмотреть текст работы
  • скачать работу можно здесь
  • полная информация о работе
  • весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

1. Ознакомление с электрическими цепями синусоидального тока

2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током

3. Методы расчета электрических цепей

3.1 Законы Кирхгофа

3.2 Метод контурных токов

3.3 Принцип суперпозиции

3.4 Метод межузлового напряжения

4. Практическая часть

4.1 Исходные данные

4.2 Основные формулы

4.2.1 Расчет цепи для первого случая (без подключенного конденсатора С2)

4.2.2 Расчет цепи для второго случая (с подключенным конденсатором С2)

Список использованных источников

Введение

В настоящее время централизованное производство и распределение электрической энергии осуществляется на переменном токе. Переменный ток занял господствующее положение в промышленном приводе и электрическом освещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и электротермии, а также в быту.

Поведение параметров переменного тока описывается многими законами, и в этой работе они будут описаны в теоретической части, а также применены в практической.

Целью курсовой работы является исследование электрической цепи синусоидального тока.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— ознакомиться с электрическими цепями синусоидального тока;

— рассмотреть элементы R,L,C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током;

— выявить методы расчета электрических цепей;

— провести анализ электрической цепи синусоидального тока.

Теоретическую основу исследования составили труды российских ученых (А.И. Астайкин, А.П. Помазков, Г.И. Атабеков, В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. А.И. Запасный, Ю.В. Буртаев, П.Н. Овсянников, Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышев, В.П. Попов и др.) в области анализа электрической цепи синусоидального тока, использовалась специальная литература по основам теории цепей и теоретическим основам электротехники.

1. Ознакомление с электрическими цепями синусоидального тока

Рассмотрим переменные э.д.с., токи и напряжения и величины, которыми они характеризуются.

Переменными называют э.д.с., токи и напряжения, изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

Цепи, в которых действует переменный ток — называют цепями переменного тока.

В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени t называют мгновенными и обозначают строчными буквами. Например, выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией

единственной переменной в правой части, которой является время t. Амплитуда Im равна максимальному значению тока. Аргумент синуса (щt+шi), измеряемый в радианах, определяет фазный угол синусоидальной функции тока в любой момент времени t и называется фазой, а величина шi, равная фазному углу в момент начала отсчёта времени (t=0), — начальной фазой. Величина щ определяет число радианов, на которое изменяется фаза колебаний за секунду, и называется угловой частотой.

Синусоидальные э.д.с., ток и напряжение являются периодическими функциями времени. Через промежуток времени Т, называемый периодом, фаза колебаний изменяется на угол 2р, и цикл колебаний повторяется снова: i(t)=i(t+T) (Рис. 2.1), следовательно, период и угловая частота связаны соотношением щТ=2р. Длительность периода принято измерять в секундах. Величину, обратную периоду, называют частотой и обозначают f. Частота определяется количеством периодов в секунду: f=1/T и измеряется в герцах (Гц).

Рис 2.1. Изменение синусоиды тока во времени

Всё сказанное относительно тока справедливо также для синусоидально изменяющихся напряжений u(t) и э.д.с. e(t).

При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных электрических величин одной частоты обычно интересуются разностью их фазовых углов, называемой углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз двух синусоидальных функций определяют как разность их начальных фаз. Если синусоиды имеют одинаковые начальные фазы, то говорят о совпадении по фазе, если разность фаз равна , то говорят, что синусоиды противоположны по фазе. Фазовые соотношения имеют очень важное значение при анализе электрических цепей переменного тока. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи принято обозначать буквой ц и определять вычитанием начальные фазы тока из начальной фазы напряжения:

Угол ц — величина алгебраическая. Если >, то >0, при этом говорят, что напряжение опережает ток по фазе или ток отстаёт по фазе от напряжения. В случае 0 , напряжение на индуктивности опережает ток на 90 0 . Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:

На рис. 3.2 можем пронаблюдать поведение тока, напряжения и мощности на каждом элементе в отдельности:

Рис. 3.2 — Диаграмма изменения мгновенных значений напряжения, тока и мощности для а) сопротивления R, б) индуктивности L, в) емкости С.

Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.

Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно Oм и Oм.(Рис. 3.3)

Рис.3.3 — Зависимость индуктивного и емкостного сопротивления от угловой частоты щ.

Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока — метод комплексных величин или символический метод, но это уже отдельная тема.

Комплексы амплитуд напряжения и тока на элементах R,L,C связаны между собой.

Для сопротивления R: (Рис. 3.4)

Рис. 3.4 — участок цепи с сопротивлением R.

Перейдем к проекциям вращающихся векторов:

Для индуктивности L (Рис. 3.5)

Рис. 3.5 — Участок цепи с индуктивностью L

: — комплексное сопротивление индуктивности.

— комплексное сопротивление индуктивности.

Для емкости C: (Рис. 3.6)

Рис. 3.6 — Участок цепи с емкостью С.

: — комплексное сопротивление емкости.

Таким образом, для любого элемента в цепи синусоидального тока — некоторое комплексное число по размерности соответствует сопротивлению, и поэтому его называют комплексом полного сопротивления и обозначают . Тогда:

представляет закон Ома в символической форме.

Комплекс полного сопротивления участка пассивной цепи синусоидального тока рассчитывают так же, как в цепи постоянного тока, если вместо элементов участка использовать комплексные сопротивления этих элементов.

— коэффициент пропорциональности между амплитудными или действующими значениями напряжения и тока на данном элементе;

показывает на сколько фаза напряжения больше фазы тока на данном элементе.

Иногда строят треугольник сопротивлений. Фактически это и есть изображение комплекса полного сопротивления на комплексной плоскости.

Рис. 3.7 — Изображение комплекса полного сопротивления на комплексной плоскости.

Величина , как любое комплексное число, может быть представлена в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

где — вещественная часть комплекса полного сопротивления, ее называют активной составляющей комплекса полного сопротивления;

— мнимая часть комплекса полного сопротивления, ее называют реактивной составляющей комплекса полного сопротивления;

— модуль комплекса полного сопротивления;

Читайте также:  Такое номинальное напряжение постоянного тока должно быть при электропитании релейной аппаратуры

— фаза комплекса полного сопротивления, изменяется в пределах .

Величину обратную комплексу полного сопротивления называют комплексом полной проводимости (КПП):

Для получения в «буквах» активной и реактивной составляющих комплекса полной проводимости по заданным в «буквах» активной и реактивной составляющим комплекса полного сопротивления:

Таким образом, используя полученные формулы, расчетным путем можно получить фазовые соотношения напряжений и токов RLC — цепи, и, построив диаграммы по этим значениям, наглядно пронаблюдать за поведением напряжений и токов, с учетов сдвигов по фазе.

3. Методы расчета электрических цепей

3.1 Законы Кирхгофа

Основными законами, используемыми для анализа и расчёта электрических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,- со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, которую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или э.д.с., в противном случае берут со знаком минус.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить уравнения по первому второму закону Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа можно составить y-1 независимых уравнений, где y- количество узлов цепи. Использовать все y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

Если в результате решения этих уравнений получатся отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения.

3.2 Метод контурных токов

Сложную электрическую цепь, содержащую несколько активных и пассивных элементов и имеющую много узлов и контуров, рассчитать с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет довольно трудно, так как будет связано с решением большого количества уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для независимых контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удаётся снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчётные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На основе составленных уравнений выписывается матрица вида Здесь квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; матрица- столбец неизвестных контурных токов; матрица- столбец известных контурных э.д.с. Диагональные элементы матрицы , называемые контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные элементы матрицы равны сопротивлениям общих ветвей смежных контуров и имеют знак минус. Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Решением уравнения будет , где — матрица, обратная матрице коэффициентов .

3.3 Принцип суперпозиции

Применяя принцип суперпозиции можно найти ток любой ветви или напряжение любого участка электрической цепи как алгебраическую сумму частичных токов или напряжений, вызываемых отдельным действием источников э.д.с. и тока. С помощью принципа суперпозиции (наложения) расчёт сложной цепи с несколькими источниками э.д.с. и тока можно свести к расчёту нескольких цепей с одним источником.

Для определения токов в цепи вначале полагают, что в ней действует только один источник э.д.с. (например ). При этом сопротивления всех элементов считают неизменными. Определяют частичные токи от действия этого источника. Далее проводят расчёт частичных токов от действия другого источника э.д.с. и т. д. рассматривая каждый следующий источник в отдельности и находя частичные токи от их действия. Алгебраическое суммирование частичных токов с учётом их направлений даёт значения действительных токов ветвей.

Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции является довольно громоздким и поэтому применяется редко. Он целесообразен тогда, когда электрическое состояние цепи определено для каких либо источников э.д.с. и токов и требуется проанализировать электрическое состояние цепи при изменении э.д.с. или тока одного из источников. В этом случае нет необходимости вновь рассчитывать значения токов и напряжений от действия всех источников, а достаточно определить лишь частичные токи и напряжения от действия дополнительной э.д.с. или дополнительного тока источника, а также токи и напряжения от действия нового источника как алгебраическую сумму прежних и частичных токов и напряжений.

синусоидальный ток цепь напряжение

3.4 Метод межузлового напряжения

В реальных электрических цепях очень часто несколько источников и приёмников электрической энергии включаются параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединённые параллельно, имеет только два узла, например узлы А и В. Для определения токов во всех ветвях достаточно найти напряжение между двумя узлами. Формулу для этого напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции.

Частичное напряжение от действия источника тока J можно определить исходя из того, что ток J равен сумме токов всех ветвей. Далее необходимо определить частичные напряжения от действия каждого источника э.д.с. в отдельности. Таким образом, если схема содержит k источников тока и m источников э.д.с., то напряжение между узлами равно алгебраической сумме всех частичных напряжений, т.е.

Произведения и берут со знаком плюс, когда направление Е и J противоположны выбранному условно-положительному направлению межузлового напряжения и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

Зная межузловое напряжение, легко можно найти токи как в пассивных, так и в активных ветвях.

4. Практическая часть

4.1 Исходные данные

Для электрической цепи, представленной на рис. 1 с известными параметрами:

R = 0,82 кОм = 820 Ом;

L = 4,7 мГн = 4,7*10 -3 Гн;

С1 = 1 нФ = 1*10 -9 Ф;

С2 = 3,6 нФ = 3,6*10 -9 Ф;

f = 50 кГц = 5*10 4 Гц,

составить уравнение баланса и рассчитать:

— модуль общего тока I;

Рис. 1- Параллельная RLC-цепь

4.3 Основные формулы

Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов в одноконтурной цепи ( рис.1), состоящей из параллельно соединенных активного сопротивления R, катушки индуктивности L и емкости С, описывается выражением:

Баланс токов в цепи описывается следующими соотношениями:

tg ц =(1/(щL- 1/щC))/ (1/R) = (bL-bC) /g=b/g, -90є 4 = 3,14*10 5 (c -1 );

g = 1/820 = 1,2*10 -3 (См);

bc = 3,14*10 5 *1*10 -9 = 3,14*10 -4 (См);

b = bL — bC = 6,776 — 3,14*10 -4 = 3,7757 (См)

tg ц =3,7757 /1,2*10 -3 = 3146,42

ц = arctg 3146,42 = 90 0 .

y = v1/820 2 + 1/(3,14*10 5 *4,7*10 -3 — 3,14*10 5 *1*10 -9 ) 2 = 3,8*10 -2 (См).

I = y*U = 3,8*10 -2 *3,54 = 13,45*10 -2 (А)

IR = g*U = 1,2*10 -3 *3,54 = 4,248*10 -3 (А).

4.2.2 Расчет цепи для второго случая (с подключенным конденсатором С2)

С = С1 + С2 = 1*10 -9 + 3,6*10 -9 = 4,6*10 -9 Ф;

bc = 3,14*10 5 *4,6*10 -9 = 14,444*10 -4 (См);

b = bL — bC = 6,776 -14,444*10 -4 = 6,7746(См);

tg ц =6,7746 /1,2*10 -3 =5646,47;

ц = arctg 5646,47 = 90 0 .

y = v1/820 2 + 1/(3,14*10 5 *4,7*10 -3 — 3,14*10 5 *(1*10 -9 + 3,6*10 -9 )) 2 = 3,8*10 -2 (См).

I = y*U = 3,8*10 -2 *3,54 = 13,45*10 -2 (А);

IR = g*U = 1,2*10 -3 *3,54 = 4,248*10 -3 (А).

Источник